一、選擇題（共20小題；）
1. 已知在 中，，，，則 等于
A. B. C. D.

2. 已知 的內角 ，， 的對邊分別為 ，，．若 ，，，則 等于
A. B. C. D.

3. 在 中，角 ，， 的對邊分別為 ，，，若 ，，，則 等于
A. B. C. D.

4. 兩座燈塔 ， 與海洋觀測站 的距離分別為 ，，燈塔 在觀測站的北偏東 的方向上，燈塔 在觀測站的南偏東 的方向上，則燈塔 與燈塔 的距離為
A. B. C. D.

5. 在 中，若 ，則 等于
A. B. 或 C. D.

6. 在 中，角 ，， 所對的邊分別為 ，，．若 ，，，則邊 等于
A. B. C. D.

7. 在 中，若 ，則角 是
A. 銳角B. 鈍角C. 直角D. 不確定

8. 已知銳角三角形的邊長分別為 ，，，則 的取值范圍是
A. B. C. D.

9. 中，角 ，， 的對邊分別為 ，，．已知 ，，則 等于
A. B. C. D.

10. 在 中，，，則
A. B. C. D.

11. 在 中，，，則
A. B. C. D.

12. 在 中，，則
A. B. C. D.

13. 若 ，， 為 的三邊長且滿足 ，則 的大小為
A. B. C. D.

14. 在 中，，， 分別為 ，， 的對邊，如果 ，，，那么 等于
A. B. C. D.

15. 在 中，已知角 ，， 的對邊分別為 ，，，若 ，，，，且 ，則 的最小角的余弦值為
A. B. C. D.

16. 三角形的兩邊分別為 和 ，若它們夾角的余弦值是方程 的根，則三角形的另一邊長為
A. B. C. D.

17. 我們把焦點相同，且離心率互為倒數的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”．已知 ， 是一對相關曲線的焦點， 是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當 時，這一對相關曲線中橢圓的離心率為
A. B. C. D.

18. 如圖，在 中， 是邊 上的點，且 ，，，則 的值為
A. B. C. D.

19. 已知 的三個內角 ，， 所對的邊分別為 ，，，若 ，，且 ，則 的面積為
A. 或 B. C. D.

20. 已知雙曲線 ：（，）的左、右焦點分別為 ，， 為坐標原點，點 是雙曲線在第一象限內的點，直線 ， 分別交雙曲線 的左、右支于另一點 ，，若 ，且 ，則雙曲線的離心率為
A. B. C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 思考辨析，判斷正誤．
兩點間不可通又不可視問題的測量方案實質是構造已知兩邊及夾角的三角形并求解．

22. 在銳角 中，角 ，， 的對邊分別為 ，，．若 ，則 的值是 ．

23. 如圖，在三棱錐 的平面展開圖中，，，，，，則 ．

24. 在 中， 為 的重心，，，則 面積的最大值為 ．

25. 在 中，，，，則 ，若 是 的中點，則 ．

三、解答題（共5小題；）
26. 已知在 中，，，，求 以及 ．

27. 已知 ，， 是 中 ，， 的對邊，，，．
（1）求 ；
（2）求 的值．

28. 在 中，，，．
（1）求 ， 的值；
（2）求 的值．

29. “我將來要當一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一塊麥田里玩，幾千萬的小孩子，附近沒有一個大人，我是說 除了我．”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田．假設霍爾頓在一塊平面四邊形 的麥田里成為守望者，如圖所示，為了分割麥田，他將 連接，設 中邊 所對的角為 ， 中邊 所對的角為 ，經測量已知 ，．
（1）霍爾頓發(fā)現無論 多長， 為一個定值，請你驗證霍爾頓的結論，并求出這個定值．
（2）霍爾頓發(fā)現麥田的生長與土地面積的平方呈正相關，記 與 的面積分別為 和 ，為了更好地規(guī)劃麥田，請你幫助霍爾頓求出 的最大值．

30. 已知 的內角 ，， 的對邊分別為 ，，，若 ，．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
答案
1. A【解析】由余弦定理，得 ，
所以 ．
2. D【解析】因為 ，，，
所以由余弦定理，可得 ，
整理可得 ，
所以 或 （舍去）．
3. D【解析】由三角形內角和定理，可知 ，
又由余弦定理，得 ，
所以 ．
4. B【解析】由余弦定理，得 ．
5. C
【解析】因為 ，
所以 ，，
又 ，
所以 ．
6. C【解析】因為 ，
所以 ，
即 ，
解得 或 （舍去）．
7. A【解析】因為

所以 ，即角 是銳角．
8. B
9. C【解析】由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ．
10. B
【解析】由余弦定理得：，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
11. B【解析】因為由余弦定理得：，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
12. D【解析】，因為 ，所以 ．
13. C
14. B
15. D
16. B
17. A【解析】不妨設橢圓：，
雙曲線：．
，，，，．
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
故選A．
18. D【解析】設 ，則由題意可得 ，，在 中，由余弦定理，
得 ，
所以 ．
在 中，由正弦定理，得 ，
所以 ，解得 ．
19. D【解析】因為 ，
所以 ，
因為 ，
所以 ，即 ，
所以 或 ．
若 ，則 ，，故 ，與 ， 矛盾．
所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 ．
20. B
【解析】由題意，，
由雙曲線的定義可得，，
可得 ，，
由四邊形 為平行四邊形，
又 ，可得 ，
在三角形 中，由余弦定理可得
，
即有 ，即 ，
可得 ，
即 ．
21.
22.
【解析】利用正、余弦定理將角化為邊來運算，因為 ，
由余弦定理得 ，．而

23.
【解析】因為 ，，，
由勾股定理得 ，
同理得 ，
所以 ，
在 中，，，，
由余弦定理得

所以 ，
在 中，，，，
由余弦定理得 ．
24.
【解析】設 為 的中點，，由重心性質得 ，，
設 ，
則由余弦定理得 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
當 時， 取得最大值為 ，
則 面積的最大值為 ．
25. ，
【解析】由余弦定理得，，
所以 ，可得 ，
連接 （圖略），可知 ，
所以 ，．
26. 當 時，；
當 時，．
27. （1） 在 中，由余弦定理得，，
即 ，
整理，得 ，
解得 ．
（2） 在 中，由余弦定理得，，
得 ，
．
28. （1） 由余弦定理可得 ，
因為 ，
所以 ；
因為 ，
所以解得
（2） 由（）知 ，，，
所以 ，
因為 為 的內角，
所以 ．
所以 ．
29. （1） 在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，，
則 ，
所以 ．
（2） ，，
則 ，
由（）知：，代入上式得：

配方得：，
所以當 時， 取到最大值 ．
30. （1） 因為 ，由正弦定理得，．
又 ，所以 ，由余弦定理得，．
又 ，所以 ．
（2） 因為 ，，
所以 ．

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