1．(2023·榆林模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2ex＋2x＋1，則f(x)的圖象在x＝0處的切線方程為( )
A．4x－y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．4ex－y＋2＝0 D．2ex－y＋1＝0
2．(2023·齊齊哈爾模擬)已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，下面四個(gè)圖象中可能是y＝f(x)圖象的是( )
3．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋x2＋ax的單調(diào)遞減區(qū)間為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，則( )
A．a(chǎn)∈(－∞，－3] B．a(chǎn)＝－3
C．a(chǎn)＝3 D．a(chǎn)∈(－∞，3]
4．(2023·濰坊模擬)若P為函數(shù)f(x)＝eq \f(1,2)ex－eq \r(3)x圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為切點(diǎn)作曲線y＝f(x)的切線，則切線傾斜角的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(2π,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))
5．(2023·成都模擬)若過原點(diǎn)與曲線f(x)＝x2ex＋ax2－2x相切的直線，切點(diǎn)均與原點(diǎn)不重合的有2條，則a的取值范圍是( )
A．(e－2，＋∞) B．(－∞，e－2)
C．(0，e－2) D．(0，e－2]
6．(2023·廣州模擬)已知偶函數(shù)f(x)與其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，且f′(x)＋e－x＋x也是偶函數(shù)，若f(2a－1)0時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性．
14．(2023·湖北八市聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－(ax－1)ln(ax－1)＋(a＋1)x.(e為自然常數(shù))
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求F(x)＝ex－f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若f(x)在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
第3講 導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)性
1．B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.B
7．ABC [依題意，f(x)存在垂直于y軸的切線，即存在斜率為0的切線，
又f′(x)＝2ax＋eq \f(1,x)－1，x>0，
∴2ax＋eq \f(1,x)－1＝0有正根，
即－2a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2－eq \f(1,x)有正根，
即函數(shù)y＝－2a與函數(shù)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2－eq \f(1,x)，x>0的圖象有交點(diǎn)，
令eq \f(1,x)＝t>0，
則g(t)＝t2－t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2－eq \f(1,4)，
∴g(t)≥geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(1,4)，
∴－2a≥－eq \f(1,4)，即a≤eq \f(1,8).]
8．ABD [若對?m∈R，?a，b∈R，使得eq \f(f?a?－f?b?,a－b)＝f(m)成立，則f(x)的值域是f′(x)值域的子集．
對于A，由二次函數(shù)性質(zhì)知，f(x)＝x2＋3x的值域?yàn)閑q \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，＋∞))，
∵f′(x)＝2x＋3，∴f′(x)的值域?yàn)镽，
則eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，＋∞))?R，A滿足性質(zhì)Ω；
對于B，∵(x＋1)2>0，
∴f(x)的值域?yàn)?0，＋∞)，
∵f′(x)＝－eq \f(2,?x＋1?3)，
又(x＋1)3≠0，∴f′(x)的值域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，
則(0，＋∞)?(－∞，0)∪(0，＋∞)，B滿足性質(zhì)Ω；
對于C，∵－x＋1∈R，
∴f(x)＝e－x＋1的值域?yàn)?0，＋∞)，
∵f′(x)＝－e－x＋1，
∴f′(x)的值域?yàn)?－∞，0)，
則f(x)的值域不是f′(x)的值域的子集，C不滿足性質(zhì)Ω；
對于D，∵1－2x∈R，
∴f(x)＝cs(1－2x)的值域?yàn)閇－1,1]，
∵f′(x)＝2sin(1－2x)，∴f′(x)的值域?yàn)閇－2,2]，
則[－1,1]?[－2,2]，D滿足性質(zhì)Ω.]
9.eq \f(16,9) 10.2x－y＋2＝0(答案不唯一)
11．a(chǎn)>c>b
12.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1))
解析 由函數(shù)的解析式可得f′(x)＝axln a＋(1＋a)xln(1＋a)≥0在區(qū)間(0，＋∞)上恒成立，
則(1＋a)xln(1＋a)≥－axln a，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋a,a)))x≥－eq \f(ln a,ln?1＋a?)在區(qū)間(0，＋∞)上恒成立，
而y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋a,a)))x在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋a,a)))0＝1≥－eq \f(ln a,ln?1＋a?)，
而1＋a∈(1,2)，故ln(1＋a)>0，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln?a＋1?≥－ln a，,0

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