1.理解直線與圓錐曲線的三種位置關(guān)系;2.能用坐標(biāo)法求解直線與圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題;3.掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
(1)從幾何角度看,可分為三類(lèi):無(wú)公共點(diǎn),有且只有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異的公共點(diǎn).(2)從代數(shù)角度看,可通過(guò)將表示直線的方程代入二次曲線的方程,消元后所得方程解的情況來(lái)判斷.設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0,圓錐曲線方程為f(x,y)=0.
如消去y后得ax2+bx+c=0.
①若a=0,當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí),直線l與雙曲線的漸近線平行或重合;當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí),直線l與拋物線的對(duì)稱軸平行(或重合).②若a≠0,設(shè)Δ=b2-4ac.Δ>0時(shí),直線和圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn);Δ=0時(shí),直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn);Δ0,所以直線與橢圓相交.
2.橢圓與圓類(lèi)似,是封閉曲線,能否用中心到直線的距離來(lái)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系?
解 不能.橢圓雖然與圓類(lèi)似,但中心到橢圓上各點(diǎn)的距離不完全相等.
直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題
(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則所得弦長(zhǎng)
(2)當(dāng)斜率k不存在時(shí),可求出交點(diǎn)坐標(biāo),利用軸上兩點(diǎn)間距離公式直接運(yùn)算.
過(guò)關(guān)自診頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上且截直線2x-y+1=0所得弦長(zhǎng)為 的拋物線方程為　　　　　　　　　　.?
y2=12x或y2=-4x
解析 設(shè)所求拋物線的方程為y2=ax(a≠0).①直線方程變形為y=2x+1,②設(shè)拋物線截直線所得弦為AB.將②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0,
探究點(diǎn)一　判斷位置關(guān)系
角度1.點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系的判斷【例1】 已知點(diǎn)P(k,1),橢圓 =1,點(diǎn)P在橢圓外,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為　　　 　　.?
變式探究若將本例中P點(diǎn)坐標(biāo)改為“P(1,k)”呢?
規(guī)律方法　處理點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系問(wèn)題時(shí),緊扣判定條件,然后轉(zhuǎn)化為解不等式等問(wèn)題,注意求解過(guò)程與結(jié)果的準(zhǔn)確性.對(duì)于橢圓來(lái)說(shuō):
角度2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷【例2】 [北師大版教材例題]討論直線l:y=kx+1與雙曲線C:x2-y2=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).
消去y,整理,得(1-k2)x2-2kx-2=0.(1)當(dāng)k=1時(shí),x=-1.(2)當(dāng)k=-1時(shí),x=1.(3)當(dāng)k≠±1時(shí),Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2.
規(guī)律方法　判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí),可將直線l的方程代入曲線C的方程,消去y(或x)得一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)當(dāng)a≠0時(shí),若Δ>0,則直線l與曲線C相交;若Δ=0,則直線l與曲線C相切;若Δ

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

2.8 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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