1.掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì);2.了解拋物線幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用;3.理解四種方程所表示的拋物線的幾何性質(zhì)的異同;4.能用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點(diǎn)弦等問(wèn)題.
基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)
拋物線y2=2px(p>0)的幾何性質(zhì)
過(guò)關(guān)自診拋物線的性質(zhì)與橢圓和雙曲線性質(zhì)的主要區(qū)別有哪些?
解 拋物線的離心率等于1,它只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱軸和一條準(zhǔn)線.它沒(méi)有中心,而橢圓和雙曲線有中心.
拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)
名師點(diǎn)睛1.對(duì)以上四種位置不同的拋物線和它們的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行對(duì)比、分析,其共同點(diǎn):(1)頂點(diǎn)都為原點(diǎn);(2)對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸;(3)準(zhǔn)線與對(duì)稱軸垂直,垂足與焦點(diǎn)分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,它們與原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的 ;(4)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離均為p.其不同點(diǎn):開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的正半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的正半軸上,方程的右端取正號(hào);開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的負(fù)半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的負(fù)半軸上,方程的右端取負(fù)號(hào).2.只有焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,頂點(diǎn)是原點(diǎn)的拋物線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程.
過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn),一條對(duì)稱軸,無(wú)對(duì)稱中心.(　　)(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同,但是其離心率都相同.(　　)
2.以x軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦)長(zhǎng)為8,若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),則其方程為(　　)A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y
解析 設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依題意得x= ,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4,∴拋物線方程為y2=8x或y2=-8x.
3.[人教A版教材習(xí)題]填空題.(1)準(zhǔn)線方程為x=2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是　　　　　;?(2)拋物線y2=8x上與焦點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)的坐標(biāo)是　　　 　　.?
探究點(diǎn)一　拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用
【例1】 (1)等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點(diǎn),OA⊥OB,則△AOB的面積是(　　)A.8p2B.4p2C.2p2D.p2
解析 因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x軸,內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形,所以由拋物線的對(duì)稱性知,直線AB與拋物線的對(duì)稱軸垂直,從而直線OA與x軸的夾角為45°.
(2)[人教A版教材習(xí)題]拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離|MF|=2p,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
解 設(shè)M(x0,y0)是拋物線上滿足條件的點(diǎn),由題意知,拋物線y2=2px(p>0)的
規(guī)律方法　研究拋物線的幾何性質(zhì)要從三個(gè)方面入手:(1)開(kāi)口:由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開(kāi)口,關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項(xiàng)是x還是y,一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù).(2)關(guān)系:頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間,準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸.(3)定值:焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p;過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(又稱為通徑)長(zhǎng)為2p;離心率恒等于1.
變式訓(xùn)練1已知拋物線y2=8x.(1)求出該拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對(duì)稱軸、變量x的范圍;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn),作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦點(diǎn)F是△OAB的重心,求△OAB的周長(zhǎng).
解 (1)拋物線y2=8x的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對(duì)稱軸、變量x的范圍分別為(0,0),(2,0),x=-2,x軸,x≥0.
(2)由|OA|=|OB|可知AB⊥x軸,設(shè)垂足為點(diǎn)M(圖略).
探究點(diǎn)二　拋物線中弦長(zhǎng)問(wèn)題
【例2】 [人教A版教材例題]斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).
解 由題意可知,p=2, =1,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),A,B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離分別為dA,dB,由拋物線的定義,可知|AF|=dA=x1+1,|BF|=dB=x2+1,于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.因?yàn)橹本€l的斜率為1,且過(guò)焦點(diǎn)F(1,0),所以直線l的方程為y=x-1.①將①代入方程y2=4x,得(x-1)2=4x,化簡(jiǎn),得x2-6x+1=0.所以x1+x2=6,|AB|=x1+x2+2=8,所以,線段AB的長(zhǎng)是8.
變式探究1將條件中“斜率為1”改為“垂直于x軸”,求線段AB的長(zhǎng).
解 因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),p=2,則|AB|=4.
變式探究2[人教A版教材習(xí)題]過(guò)點(diǎn)M(2,0)作斜率為1的直線l,交拋物線y2=4x于A,B兩點(diǎn),求|AB|.
解 直線l的方程為y-0=1·(x-2),即y=x-2.與拋物線的方程聯(lián)立,消去y,得x2-8x+4=0.設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),由根與系數(shù)的關(guān)系,得xA+xB=8,xAxB=4,
規(guī)律方法　求拋物線弦長(zhǎng)問(wèn)題的方法(1)一般弦長(zhǎng)公式
(2)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)設(shè)過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立、消元,由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2即可.(3)解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì).凡涉及拋物線的弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)、弦的斜率等問(wèn)題,注意利用根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)而不求,能避免繁雜的計(jì)算.
解析 拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),依題意,x1-(-1)=3,解得x1=2,顯然,直線l的斜率存在且不為0,設(shè)其方程為
探究點(diǎn)三　與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題
【例3】 (1)[北師大版教材習(xí)題]已知點(diǎn)P在拋物線y2=-4x上,求點(diǎn)P到橢圓
解 設(shè)P(x,y),由已知可得橢圓的左頂點(diǎn)為A(-4,0),所以|PA|2=(x+4)2+y2=x2+4x+16=(x+2)2+12≥12,當(dāng)x=-2時(shí),|PA|取得最小值2 .
(2)求拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0的最小距離.
解 (方法一)設(shè)A(t,-t2)為拋物線上的點(diǎn),則點(diǎn)A到直線4x+3y-8=0的距離
(方法二)如圖,設(shè)與直線4x+3y-8=0平行的拋物線的切線方程為4x+3y+m=0,
規(guī)律方法　1.求拋物線上一點(diǎn)到定直線的距離的最值,最常見(jiàn)的解題思路:一是利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行消元代換,得到有關(guān)距離的含變量的代數(shù)式,以計(jì)算函數(shù)最值來(lái)解決.二是轉(zhuǎn)化兩平行線間距離,代入兩平行線間距離公式可求得.2.建立形與數(shù)的聯(lián)系,提升數(shù)形結(jié)合的能力,有利于優(yōu)化解題的方式與方法.
變式訓(xùn)練3已知P為拋物線y= x2上的動(dòng)點(diǎn),P在x軸上的射影為H,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(12,6),則|PA|+|PH|的最小值是(　　)A.13B.12C.11D.10
解析 化拋物線y= x2為標(biāo)準(zhǔn)形式x2=4y,得它的焦點(diǎn)為F(0,1),準(zhǔn)線為l:y=-1,延長(zhǎng)PH交準(zhǔn)線于G,連接PF,根據(jù)拋物線的定義,得|PA|+|PH|=|PA|+|PG|-1 =|PA|+|PF|-1.∵|PA|+|PF|≥|AF|,∴當(dāng)且僅當(dāng)P,A,F三點(diǎn)共線時(shí),|PA|+|PF|=|AF|為最小值.
1.若拋物線x=-my2(m≠0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,則m=(　　)
2.已知拋物線y=4x2上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為(　　)
3.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C
解析 設(shè)Q到l的距離為d,則由拋物線的定義可得|QF|=d.

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2.7.2 拋物線的幾何性質(zhì)

版本： 人教B版 (2019)

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