高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修第一冊2.8 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習網(wǎng)

一、直線與橢圓的交點問題
知識梳理
聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去y得ax2＋bx＋c＝0，則直線與橢圓的位置關(guān)系如下
注意點：設(shè)直線時，要注意斜率不存在的情況．
例1 已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.試問當m取何值時，直線l與橢圓C：
(1)有兩個不同的公共點；
(2)有且只有一個公共點；
(3)沒有公共點？
解直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋m，①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1， ②))
將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
關(guān)于x的一元二次方程的判別式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)由Δ>0，得－3eq \r(2)0，解得m>1或m1且m≠3，
∴m的取值范圍是(1,3)∪(3，＋∞)．
8．若直線x－y＝2與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，則線段AB的中點坐標是________.
答案 (4,2)
解析由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,y2＝4x，))得x2－8x＋4＝0，Δ>0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故線段AB的中點坐標為(4,2)．
9．已知橢圓x2＋8y2＝8，在橢圓上求一點P，使P到直線l：x－y＋4＝0的距離最短，并求出最短距離．
解設(shè)與直線x－y＋4＝0平行且與橢圓相切的直線方程為x－y＋a＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋8y2＝8，,x－y＋a＝0，))
消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，
由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴與直線l距離較近的切線為x－y＋3＝0，
它們之間的距離即為所求最短距離，
且直線x－y＋3＝0與橢圓的切點即為所求點P.
故所求最短距離為d＝eq \f(|4－3|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋8y2＝8，,x－y＋3＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(8,3)，,y＝\f(1,3)，))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,3)，\f(1,3))).
10．已知點A，B的坐標分別是(－1,0)，(1,0)，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為－2.
(1)求動點M的軌跡方程；
(2)若過點Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))的直線l交動點M的軌跡于C，D兩點，且N為線段CD的中點，求直線l的方程．
解 (1)設(shè)M(x，y)．
因為kAM·kBM＝－2，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－1)＝－2(x≠±1)，
化簡得2x2＋y2＝2(x≠±1)．
即點M的軌跡方程為2x2＋y2＝2(x≠±1)．
(2)設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)．
當直線l⊥x軸時，直線l的方程為x＝eq \f(1,2)，易知此時線段CD的中點不是N，不符合題意．
當直線l不與x軸垂直時，設(shè)直線l的方程為y－1＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，將點C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐標代入2x2＋y2＝2(x≠±1)得2xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝2，①
2xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＝2，②
①－②整理得k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(2?x1＋x2?,y1＋y2)＝－eq \f(2×2×\f(1,2),2×1)＝－1，
故直線l的方程為y－1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
即所求直線l的方程為2x＋2y－3＝0.
11．橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點，過原點與線段MN中點的直線的斜率為eq \f(\r(2),2)，則eq \f(m,n)的值是( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(9\r(2),2) D.eq \f(2\r(3),27)
答案 A
解析由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx2＋ny2＝1，,y＝1－x，))
消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為(x0，y0)，
則x1＋x2＝eq \f(2n,m＋n)，∴x0＝eq \f(n,m＋n)，
代入y＝1－x得y0＝eq \f(m,m＋n).
由題意知eq \f(y0,x0)＝eq \f(\r(2),2)，∴eq \f(m,n)＝eq \f(\r(2),2).
12．過拋物線y2＝4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于a2＋2a＋5(a∈R)，則這樣的直線( )
A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條
C．有1條或2條 D．不存在
答案 B
解析 |AB|＝xA＋xB＋p＝a2＋2a＋7＝(a＋1)2＋6>4，而通徑的長為4，所以有且僅有兩條．
13．以F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)為焦點且與直線x－y＋3＝0有公共點的橢圓中，離心率最大的橢圓方程是( )
A.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,19)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
答案 C
解析由題意設(shè)橢圓方程為eq \f(x2,b2＋1)＋eq \f(y2,b2)＝1，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,b2＋1)＋\f(y2,b2)＝1，,x－y＋3＝0，))
得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，
由Δ≥0得b2≥4，
所以b2的最小值為4，
又e＝eq \r(1－\f(b2,b2＋1))＝eq \r(\f(1,b2＋1))，
則b2＝4時，e取最大值，故選C.
14．已知等軸雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，與直線y＝eq \f(1,2)x交于A，B兩點，若|AB|＝2eq \r(15)，則該雙曲線的方程為( )
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
答案 B
解析設(shè)等軸雙曲線的方程為x2－y2＝a2(a>0)，
與y＝eq \f(1,2)x聯(lián)立，得eq \f(3,4)x2＝a2，
∴|AB|＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)×eq \f(4\r(3),3)a＝2eq \r(15)，∴a＝3，故選B.
15．在平面直角坐標系xOy中，直線x＋eq \r(2)y－2eq \r(2)＝0與橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相切，若橢圓C的右焦點F(c,0)關(guān)于直線l：y＝eq \f(c,b)x的對稱點E在橢圓C上，則△OEF的面積為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D．2
答案 C
解析聯(lián)立方程可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\r(2)y－2\r(2)＝0，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))
消去x，化簡得(a2＋2b2)y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，
由Δ＝0得2b2＋a2－8＝0.
設(shè)F′為橢圓C的左焦點，連接F′E(圖略)，易知F′E∥l，
所以F′E⊥EF.
又點F到直線l的距離d＝eq \f(c2,\r(c2＋b2))＝eq \f(c2,a)，
所以|EF|＝eq \f(2c2,a)，|F′E|＝2a－|EF|＝eq \f(2b2,a).
在Rt△F′EF中，由|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，
化簡得2b2＝a2，代入2b2＋a2－8＝0得b2＝2，a＝2，c2＝2.
所以|EF|＝|F′E|＝2，
所以S△OEF＝eq \f(1,2)S△F′EF＝1.
16.如圖，拋物線的頂點在坐標原點，圓x2＋y2＝4x的圓心是拋物線的焦點，直線l過拋物線的焦點且斜率為2，直線l交拋物線和圓依次于A，B，C，D四點．
(1)求拋物線的方程；
(2)求|AB|＋|CD|的值．
解 (1)由圓的方程x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，
可知圓心為F(2,0)，半徑為2，
又由拋物線的焦點為已知圓的圓心，得到拋物線焦點為F(2,0)，故拋物線方程為y2＝8x.
(2)|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，
∵|BC|為已知圓的直徑，∴|BC|＝4，
則|AB|＋|CD|＝|AD|－4，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AD|＝|AF|＋|FD|，而A，D在拋物線上，
由已知可得直線l的方程為y＝2(x－2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝2?x－2?，))消去y，
得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，
∴|AD|＝6＋4＝10，
∴|AB|＋|CD|＝10－4＝6.方程特征
交點個數(shù)
位置關(guān)系
直線與橢圓
a≠0，Δ>0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ