拋物線的幾何性質(zhì)課標解讀課標要求素養(yǎng)要求 了解拋物線的幾何圖形以及簡單幾何性質(zhì).2.通過對拋物線的學習,進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.1.直觀想象——能依據(jù)拋物線的方程和圖形研究其幾何性質(zhì).2.數(shù)學運算——能利用拋物線的簡單幾何性質(zhì)求拋物線的方程,或根據(jù)拋物線的方程求其簡單幾何性質(zhì).自主學習·必備知識教材研習教材原句要點一拋物線y2=2px（p>0）的幾何性質(zhì)（1）范圍 ①     0     .除頂點外,拋物線上的其余點都在軸的右側(cè).（2）對稱性拋物線關于② 軸對稱,稱軸是拋物線的對稱軸（簡稱為軸）.（3）頂點稱③ 原點是拋物線的頂點.（4）離心率拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離之比稱為拋物線的離心率,用表示.根據(jù)拋物線的定義可知,拋物線的離心率 ④     1     .要點二拋物線y2=-2px（p>0）,x2=-2py（p>0）,x2=2py（p>0）的幾何性質(zhì)（1）拋物線中，除頂點外,拋物線上的其余點都在軸的⑤ 左側(cè) ,拋物線的開口向左（或朝左）,拋物線關于軸對稱.（2）拋物線中, ,除頂點外,拋物線上的其余點都在軸的⑥ 上方 ,拋物線的開口向上（或朝上） ,拋物線關于軸對稱（3）拋物線中, ,除頂點外,拋物線上的其余點都在軸的⑦ 下方 ,拋物線的開口向下（或朝下）,拋物線關于軸對稱自主思考1拋物線的范圍是嗎?答案：提示拋物線的方程不同,其范圍就不同,如的范圍是故此說法錯誤.2.拋物線有幾條對稱軸?它是中心對稱圖形嗎?答案：提示拋物線只有一條對稱軸,不是中心對稱圖形.3.影響拋物線開口大小的量是什么,是如何影響的?答案：提示參數(shù)影響拋物線的開口大小,值越大,拋物線的開口越大;值越小,開口越小 名師點睛拋物線的特征（1）拋物線只位于半個坐標平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;（2）拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;（3）拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線;（4）拋物線的離心率是確定的,為1.互動探究·關鍵能力探究點一由拋物線的性質(zhì)求拋物線的方程精講精練例（1）已知拋物線的頂點在原點,對稱軸是x軸,拋物線上點（-5,m）到焦點的距離是6,則拋物線的方程是(      )A. B.C. D.（2）已知拋物線的頂點在坐標原點,對稱軸為軸,且與圓相交于兩點, ,求拋物線的方程．答案：（1）解析：（1）由題意可設拋物線的方程為 ,其焦點為 ,準線方程為 ,由拋物線的定義知,（-5,）到焦點的距離是6,即到準線的距離是6,拋物線的方程為 ,故選B.答案：（2）由已知得,拋物線的焦點可能在軸正半軸上,也可能在軸負半軸上．故可設拋物線的方程為．拋物線與圓都關于軸對稱,點與關于x軸對稱,故設且 ,代入得∴或 ,將其代入拋物線方程,得 , .所求拋物線的方程是或 .解題感悟用待定系數(shù)法求拋物線方程的步驟：遷移應用1.已知邊長為1的等邊三角形 ,為原點, ,則以為頂點且過兩點的拋物線的方程是(     )A.B.C.D.答案：解析：不妨設點A在軸的上方,當拋物線開口向右時,可設拋物線的方程為．易知即． .同理,當拋物線開口向左時,拋物線的標準方程為 .綜上,拋物線的方程是 .探究點二由拋物線的方程求其幾何性質(zhì)精講精練例已知拋物線（1）求出該拋物線的頂點、焦點、準線方程、對稱軸、變量的范圍;（2）是拋物線上一點,點 ,求的取值范圍.答案：（1）拋物線的頂點、焦點、準線方程、對稱軸、變量的范圍分別為軸, .（2）設則 ,當且僅當時,的取值范圍是變式本例的拋物線方程不變,以坐標原點為頂點,作拋物線的內(nèi)接等腰三角形 , ,若焦點是的重心,求的周長．答案：如圖所示,由可知 ,設垂足為點 ,由焦點是的重心可得因為 ,所以所以．故設 ,代入得 .所以 ,所以 ,則 ,所以所以的周長為 .解題感悟把握三個要點確定拋物線的幾何性質(zhì)：（1）開口：由拋物線的標準方程看圖像開口,關鍵是看準二次項是x還是y,一次項的系數(shù)是正還是負．（2）關系：頂點位于焦點與準線中間,準線垂直于對稱軸．（3）定值：焦點到準線的距離為p;過焦點垂直于對稱軸的弦（又稱為通徑）長為 ;離心率恒等于1.遷移應用1.若拋物線的焦點為 ,準線為 ,點A是拋物線上一點,且為坐標原點） ,垂足為 ,則的面積是 .答案：解析：由拋物線方程知 ,準線l的方程為如圖,設過作軸于在中由得所以點的坐標為代入拋物線方程可得解得或（舍去）,所以點的坐標為故 .探究點三拋物線的焦點弦問題精講精練例（2020山東鄒城一中高二月考）已知拋物線：的焦點為 ,準線方程是 .（1）求拋物線的方程;（2）過點且傾斜角為的直線l與拋物線交于兩點,求的值;（3）設點在拋物線上,且求的面積(為坐標原點).答案：（1）因為拋物線C的準線方程是所以即 ,故拋物線C的方程為 .（2）因為直線l過點F,且傾斜角為所以直線的方程是聯(lián)立整理得 ,設 ,則 ,故 .（3）設 ,因為 ,所以 ,所以 ,將代入方程 ,解得 ,則的面積為 .解題感悟1.拋物線的焦半徑：定義拋物線的焦半徑是指以拋物線上任意一點與拋物線焦點為端點的線段焦半徑公式為拋物線上一點,為焦點.①若拋物線為則 ;②若拋物線為則 ;③若拋物線為則 ;④若拋物線為則2.過焦點的弦長的求解方法：設過拋物線的焦點的弦的端點為, ,則，然后利用弦所在直線的方程與拋物線方程聯(lián)立、消元,由根與系數(shù)的關系求出即可.遷移應用1.設拋物線的焦點為是拋物線上的點.（1）求拋物線的方程;（2）若過點(0,2)的直線與拋物線交于不同的兩點且 ,求直線的方程.答案：（1）因為 )是拋物線上的點,所以 ,又 ,所以解得 ,則拋物線的方程為 .（2）設 ,設直線的方程為由得，由拋物線的定義知，則解得 ,所以直線的方程為或 .評價檢測·素養(yǎng)提升1.頂點在坐標原點,對稱軸為軸,頂點到準線的距離為4的拋物線的標準方程是(     )A. B.C.  D.答案：2.若拋物線上一點到準線的距離等于它到頂點的距離,則點的坐標為(     )A. B.C. D.答案：3.(2021山東莘縣一中高二月考)已知是拋物線的焦點,為拋物線上兩點,且 ,則線段的中點到軸的距離為(      )A.3B.2C. D.答案：4.已知拋物線的準線經(jīng)過點(-1,4),過拋物線的焦點且與軸垂直的直線交該拋物線于兩點,則等于(     )A.4B. C.2D.1答案： 

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2.7.2 拋物線的幾何性質(zhì)

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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