2.7  拋物線及其方程2.7.2　拋物線的幾何性質(zhì)(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解拋物線的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率).2.能用拋物線的幾何性質(zhì)分析解決問題．學(xué)法指導(dǎo)：學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)，首先從實(shí)例出發(fā)，直觀感受拋物線的幾何性質(zhì)，再通過方程精確地、量化地研究拋物線的幾何性質(zhì)．教學(xué)重點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)．教學(xué)難點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用.  要建造一個(gè)圓形花壇水池，池中央有一噴泉，水管高1米，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀，先向上至最高點(diǎn)后落下，最高點(diǎn)距水面2米，水管距拋物線對稱軸為1米，問水池直徑應(yīng)如何設(shè)計(jì)？知識(shí)點(diǎn)　拋物線的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)準(zhǔn)線x＝－x＝y＝－y＝范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0,0)離心率e＝1開口方向向右向左向上向下1．拋物線是圓錐曲線中最為特殊的一種曲線(e＝1)，由于拋物線上任一點(diǎn)到其焦點(diǎn)與到其準(zhǔn)線的距離都是相等的，所以應(yīng)充分利用圖形及拋物線的定義進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，有利于靈活解題．2．橢圓、雙曲線、拋物線在幾何性質(zhì)上的聯(lián)系與區(qū)別(1)聯(lián)系：三種曲線都有范圍、對稱軸、頂點(diǎn)和離心率四個(gè)基本的幾何性質(zhì)．(2)區(qū)別：拋物線與橢圓、雙曲線相比，主要區(qū)別于拋物線的離心率等于1且只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對稱軸、一條準(zhǔn)線，沒有中心．就標(biāo)準(zhǔn)方程而言，橢圓、雙曲線有兩個(gè)參數(shù)，而拋物線只有一個(gè)參數(shù)．另外需注意，拋物線不是雙曲線的一支，拋物線無漸近線．拋物線與雙曲線的一支，盡管它們都是不封閉的、有開口的光滑曲線，但是它們的圖像性質(zhì)是完全不同的，事實(shí)上，從開口的變化規(guī)律來看，雙曲線的開口是越來越大，而拋物線的開口越來越趨于扁平．3．利用拋物線的定義可以得知，拋物線的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)有許多特殊性質(zhì)：如圖，AB是拋物線y2＝2px(p>0)過焦點(diǎn)F的一條弦，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，直線AB的傾斜角為θ，相應(yīng)的準(zhǔn)線為l，N為準(zhǔn)線l與x軸交點(diǎn)．①A，O，B1三點(diǎn)共線，且B，O，A1三點(diǎn)共線；②AM1⊥BM1，A1F⊥B1F，M1F⊥AB；③以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(切點(diǎn)為M1)，以A1B1為直徑的圓與AB相切(切點(diǎn)為F)，以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；④∠ANF＝∠BNF；⑤|AF|＝，|BF|＝；⑥|AB|＝x1＋x2＋p＝2＝；注意：當(dāng)θ＝90°時(shí)，AB稱為拋物線的通徑，是焦點(diǎn)弦中最短的．⑦y1y2＝－p2，x1x2＝，|y1－y2|＝；⑧kOA·kOB＝－4，O·O＝－p2；⑨＋＝，＝；⑩S△AOB＝.下面證明結(jié)論⑤：由拋物線的定義知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|.∵|AA1|＝|NF|＋|AF|cosθ＝p＋|AF|cosθ，∴|AF|＝p＋|AF|cosθ，∴|AF|＝.同理|BF|＝.∴結(jié)論⑤成立．由結(jié)論⑤易得結(jié)論⑥與⑨.1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)拋物線沒有漸近線．(　　)(2)拋物線有對稱軸，無對稱中心．(　　)(3)拋物線的開口大小由拋物線的離心率決定．(　　)(4)拋物線x2＝y與拋物線y2＝x的離心率相同．(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程為________.(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸，且頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.(3)已知點(diǎn)P在拋物線y2＝－5x上，且點(diǎn)A(－3,0)，則|PA|的最小值為________.答案　(1)y＝－2　(2)y2＝12x或y2＝－12x　(3)  題型一  由拋物線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例1　拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是橢圓＋＝1的短軸所在的直線，拋物線的焦點(diǎn)到拋物線的頂點(diǎn)的距離為4，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線方程．[解]　因?yàn)闄E圓＋＝1的短軸在x軸上，所以拋物線的對稱軸為x軸，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到拋物線的頂點(diǎn)的距離為4，所以＝4，即p＝8，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x或y2＝－16x，準(zhǔn)線方程分別為x＝－4或x＝4.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程要明確四個(gè)步驟(1)定位置(根據(jù)條件確定拋物線的焦點(diǎn)位置及開口方向)；(2)設(shè)方程(根據(jù)對稱軸和開口方向設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程)；(3)找關(guān)系(根據(jù)條件列出關(guān)于p的方程)；(4)得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．[跟蹤訓(xùn)練1]　已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝2，求拋物線的方程．解　由已知，拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸正半軸上，也可能在x軸負(fù)半軸上．故可設(shè)拋物線的方程為y2＝ax(a≠0)．設(shè)拋物線與圓x2＋y2＝4的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵拋物線y2＝ax(a≠0)與圓x2＋y2＝4都關(guān)于x軸對稱，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱，∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2，∴|y1|＝|y2|＝，代入圓x2＋y2＝4，得x2＋3＝4，∴x＝±1，∴A(±1，)或A(±1，－)，代入拋物線方程，得()2＝±a，∴a＝±3.∴所求拋物線的方程是y2＝3x或y2＝－3x.題型二  拋物線的簡單幾何性質(zhì)例2　如圖，已知邊長為2的等邊三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB⊥x軸．(1)求以O為頂點(diǎn)且過點(diǎn)A，B的拋物線方程；(2)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程及離心率e.[解]　(1)如圖，設(shè)AB⊥x軸于E，則由△AOB是等邊三角形，且|AB|＝2得E(，0)，∴A(，1)．設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，則1＝2·p·，∴2p＝.∴拋物線的方程為y2＝x.(2)由(1)知2p＝，∴＝.∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率e＝1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)的題目，關(guān)鍵是求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，若能得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則其幾何性質(zhì)就會(huì)迎刃而解．[跟蹤訓(xùn)練2]　如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．(1)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，證明：直線AB的斜率為定值．解　(1)由題意可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，則由點(diǎn)P(1,2)在拋物線上，得22＝2p×1，解得p＝2，故所求拋物線的方程是y2＝4x，準(zhǔn)線方程是x＝－1.(2)因?yàn)?/span>PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，所以kPA＝－kPB，即＝－.又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，所以x1＝，x2＝，從而有＝，即＝－，得y1＋y2＝－4，故直線AB的斜率kAB＝＝＝－1.題型三  拋物線的最值問題例3　已知拋物線y2＝2x.(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；(2)在拋物線上求一點(diǎn)M，使M到直線x－y＋3＝0的距離最短，并求出距離的最小值．[解]　(1)設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|2＝2＋y2＝2＋.因?yàn)?/span>x≥0，故當(dāng)x＝0時(shí)，|PA|min＝，故距A最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)．(2)設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)是拋物線y2＝2x上任一點(diǎn)，則M到直線x－y＋3＝0的距離為d＝＝＝，當(dāng)y0＝1時(shí)，dmin＝＝，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是.有關(guān)拋物線最值問題的兩種解題思路一是利用拋物線的定義，進(jìn)行到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，用幾何意義解決；二是利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)行消元代換，獲得有關(guān)距離的含變量的代數(shù)關(guān)系式，用求目標(biāo)函數(shù)最值的方法解決．[跟蹤訓(xùn)練3]　已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上．若拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A與到F距離之和的最小值為4，且點(diǎn)A在拋物線的內(nèi)部，求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．解　設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，則其準(zhǔn)線為x＝－，過P點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，由拋物線的定義知，|PH|＝|PF|.當(dāng)H，P，A三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|PF|最?。詜PF|＋|PA|的最小值為＋2＝4，所以p＝4，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x.  1．拋物線y＝x2上一點(diǎn)A(x0,2)到其對稱軸的距離為(　　)A．2  B．4 C．6  D．8答案　B解析　拋物線的對稱軸為y軸，把A(x0,2)代入y＝x2，得x＝16，即|x0|＝4，故點(diǎn)A到y軸的距離為4.2．若拋物線y2＝x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　)A．  B．C．  D．答案　B解析　設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，由題意知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到頂點(diǎn)O的距離，因此點(diǎn)P在線段OF的垂直平分線上，而點(diǎn)F的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線的方程得y＝±，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故選B.3．(多選)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)．若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9，則以下結(jié)論中正確的是(　　)A．△ABF是等邊三角形B．|BF|＝3C．點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3D．拋物線C的方程為y2＝6x答案　ACD解析　以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)，∠ABD＝90°，由拋物線的定義可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以△ABF是等邊三角形，所以∠FBD＝30°.因?yàn)?/span>△ABF的面積為|BF|2＝9，所以|BF|＝6.又點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為|BF|sin30°＝3＝p，則該拋物線的方程為y2＝6x.故選ACD.4．已知A(2,0)，B為拋物線y2＝x上的一點(diǎn)，則|AB|的最小值為________.答案　解析　設(shè)點(diǎn)B(x，y)，則x＝y2≥0，所以|AB|＝＝＝＝.所以當(dāng)x＝時(shí)，|AB|取得最小值，且|AB|min＝.5．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，若·＝－4，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．解　由y2＝4x，知F(1,0)．∵點(diǎn)A在y2＝4x上，∴不妨設(shè)A，則＝，＝.代入·＝－4，得＋y(－y)＝－4，化簡，得y4＋12y2－64＝0.∴y2＝4或y2＝－16(舍去)，∴y＝±2.∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)或(1，－2)． 　A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．已知點(diǎn)P(6，y)在拋物線y2＝2px(p>0)上，若點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F的距離等于8，則焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于(　　)A．2  B．1 C．4  D．8答案　C解析　因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為x＝－，點(diǎn)P(6，y)為拋物線上的點(diǎn)，所以P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，所以6＋＝8，所以p＝4，焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于4.故選C.2．拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0的距離的最小值是(　　)A．  B． C．  D．3答案　A解析　設(shè)拋物線y＝－x2上一點(diǎn)為(m，－m2)，該點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0的距離為，當(dāng)m＝時(shí)，取得最小值為.故選A.3．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，則拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的取值范圍是(　　)A．(6，＋∞)  B．[6，＋∞) C．(3，＋∞)  D．[3，＋∞)答案　D解析　∵拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，∴＝3，即p＝6.又拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的最小值為，∴拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的取值范圍為[3，＋∞)．4．設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點(diǎn)，F為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是(　　)A．(0,2)  B．[0,2]C．(2，＋∞)  D．[2，＋∞)答案　C解析　設(shè)圓的半徑為r，因?yàn)?/span>F(0,2)是圓心，拋物線C的準(zhǔn)線方程為y＝－2，由圓與準(zhǔn)線相交知4<r.因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點(diǎn)，所以x＝8y0，又點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋(y－2)2＝r2上，所以x＋(y0－2)2＝r2>16，所以8y0＋(y0－2)2>16，即有y＋4y0－12>0，解得y0>2或y0<－6，又因?yàn)?/span>y0≥0，所以y0>2，故選C.5．(多選)已知拋物線C：y2＝4px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)的直線與拋物線分別交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)S，與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)T，且|FA|＝2|AS|，則(　　)A．|TS|＝2p  B．＝2C．|BF|＝p  D．|AF|＝p答案　ABD解析　過點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為M，AM與y軸交于點(diǎn)N，因?yàn)閨FA|＝2|AS|，所以＝，所以|AN|＝|OF|＝，所以|AM|＝p，根據(jù)拋物線的定義知|AF|＝p，因?yàn)閨AS|＝|AF|＝p，所以|SF|＝2p，所以|TS|＝2p.根據(jù)拋物線的性質(zhì)：＋＝，所以＋＝，解得|BF|＝4p，所以＝＝2.故選ABD.二、填空題6．已知過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AF|＝2，則|BF|＝________.答案　2解析　因?yàn)閽佄锞€的方程為y2＝4x，所以p＝2，F(1,0)．又|AF|＝2，所以xA＋＝2，所以xA＋1＝2，所以xA＝1，即AB⊥x軸，F為AB的中點(diǎn)，所以|BF|＝|AF|＝2.7．對于拋物線y2＝4x上任意一點(diǎn)Q，點(diǎn)P(a,0)都滿足|PQ|≥|a|，則a的取值范圍是________.答案　(－∞，2]解析　設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.由|PQ|≥|a|，得|PQ|2≥a2，即y＋2≥a2，整理得y(y＋16－8a)≥0.∵y≥0，∴y＋16－8a≥0.即a≤2＋恒成立．而2＋的最小值為2.∴a≤2.8．以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為________，四邊形ABED的面積為________.答案　4　3＋6解析　由題意，不妨設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，解得p＝4，故C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.易知四邊形ABED是梯形，梯形的上底長|DE|＝2，下底長|AB|＝4，高為＋＝3，故四邊形ABED的面積為×(2＋4)×3＝3＋6.三、解答題9．若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，F為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，且|AM|＝，|AF|＝3，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解　設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p>0)，設(shè)A(x0，y0)，由題意知M.因?yàn)閨AF|＝3，所以y0＋＝3，因?yàn)閨AM|＝，所以x＋2＝17，所以x＝8，代入x＝2py0，得8＝2p，解得p＝2或p＝4.所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y或x2＝8y.10．已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且經(jīng)過點(diǎn)M(2，y0)．若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，求拋物線的方程及|OM|的值．解　設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－，∵M在拋物線上，∴M到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即＝＝3.解得p＝2，y0＝±2，∴拋物線的方程為y2＝4x.點(diǎn)M(2，±2)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式有|OM|＝ ＝2.B級(jí)：“四能”提升訓(xùn)練1．已知A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn)F，求直線AB的方程．解　由已知得拋物線的焦點(diǎn)為F，∵拋物線關(guān)于x軸對稱，|OA|＝|OB|，∴△ABO為等腰三角形．∴A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱．設(shè)A(x0，y0)，則B(x0，－y0)，∵△ABO的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，∴BF⊥OA.則kBF·kOA＝－1，即·＝－1.又y＝2px0，∴x0＝p.∴直線AB的方程為x＝.2．一拋物線拱橋跨度為52 m，水面距拱頂6.5 m，一竹排上載有一寬4 m，高6 m的大木箱，問竹排能否安全通過？解　如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，易知A(26，－6.5)，設(shè)B(2，y)，由262＝－2p×(－6.5)得p＝52，∴拋物線方程為x2＝－104y.當(dāng)x＝2時(shí)，y＝－，∵6.5－＝>6，∴竹排能安全通過． 

相關(guān)學(xué)案

人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊第二章　平面解析幾何2.7 拋物線及其方程2.7.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案及答案：

這是一份人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊第二章　平面解析幾何2.7 拋物線及其方程2.7.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案及答案，共12頁。

高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.7.2 拋物線的幾何性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.7.2 拋物線的幾何性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案，共9頁。

高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.7.2 拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.7.2 拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案，共7頁。

英語朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問題請聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會(huì)補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請先用軟件解壓，再使用對應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時(shí)請及時(shí)更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.7.2 拋物線的幾何性質(zhì)

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊

切換課文
  • 同課精品
  • 所屬專輯26份
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號(hào)注冊
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號(hào)注冊
微信注冊

注冊成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號(hào)

    打開微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部