高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修第一冊1.2.5 空間中的距離同步訓練題-試卷下載-教習網(wǎng)

第一章1.2.5　空間中的距離A級必備知識基礎練1.[探究點一]如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=,E,F分別是平面A1B1C1D1,平面BCC1B1的中心,則E,F兩點間的距離為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　A.1 B. C. D.2.[探究點三]已知平面α的一個法向量n=(-2,-2,1),點A(-1,3,0)在平面α內,則點P(-2,1,4)到α的距離為(　　)A.10 B.3 C. D.3.[探究點二·2023華中師范大學附屬中學高二階段練習]Rt△ABC的兩條直角邊BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=,則點P到斜邊AB的距離是　　　　　. 4.[探究點三]如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB=12,則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是(　　)A.5 B.8 C. D.5.[探究點三](多選題)已知=(0,1,1),=(2,-1,2),BE⊥平面BCD,則(　　)A.點A到平面BCD的距離為B.AB與平面BCD所成角的正弦值為C.點A到平面BCD的距離為D.AB與平面BCD所成角的正弦值為6.[探究點三]在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BC,CD的中點,則BD到平面EFD1B1的距離為　　　　　. 7.[探究點三·2023浙江杭州高二期末]若兩平行平面α,β分別經(jīng)過坐標原點O和點A(2,1,1),且兩平面的一個法向量為n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是　　　　　. 8.[探究點三]在長方體A1B1C1D1-ABCD中,AA1=1,AD=DC=,Q是線段A1C1上一點,且C1Q=C1A1,則點Q到平面A1DC的距離為　　　　　. 9.[探究點二、三]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M為BB1的中點,N為BC的中點.(1)求點M到直線AC1的距離;(2)求點N到平面MA1C1的距離. B級關鍵能力提升練10.已知直線l過定點A(2,3,1),且方向向量為s=(0,1,1),則點P(4,3,2)到直線l的距離為(　　)A. B. C. D.11.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為2,側棱長為4,則點B1到平面AD1C的距離為(　　)A. B. C. D.12.[2023安徽太和高二階段練習]已知點M(-1,2,0),平面α過A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1)三點,則點M到平面α的距離為　　　　　. 13.已知在邊長為4的正三角形ABC中,E,F分別為BC和AC的中點.PA=2,且PA⊥平面ABC,設Q是CE的中點.(1)求證:AE∥平面PFQ;(2)求AE與平面PFQ間的距離. 14.[2023黑龍江哈爾濱高二階段練習]在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段A1B1的中點,F為線段AB的中點.(1)求點B到直線AC1的距離;(2)求直線FC到平面AEC1的距離. C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練15.已知二面角α-l-β為60°,動點P,Q分別在平面α,β內,點P到β的距離為,點Q到α的距離為2,則P,Q兩點之間距離的最小值為(　　)A. B.2 C.2 D.4
1.2.5　空間中的距離1.C　以點A為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則點E(1,1,),F(2,1,),所以|EF|=,故選C.2.D　由已知得=(1,2,-4),故點P到平面α的距離d=.3. 3　以點C為坐標原點,CA,CB,CP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系. 則A(4,0,0),B(0,3,0),P(0,0,),所以=(-4,3,0),=(-4,0,),所以點P到AB的距離d==3.4. C　(方法一)以D為坐標原點,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系, 則C(0,12,0),D1(0,0,5).設B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0),=(-x,0,0),=(0,-12,5),=(0,0,-5).設平面A1BCD1的法向量為n=(a,b,c),由n⊥,n⊥,得n·=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,所以a=0,b=c,所以可取n=(0,5,12).又=(0,0,-5),所以點B1到平面A1BCD1的距離為.因為B1C1∥平面A1BCD1,所以B1C1到平面A1BCD1的距離為.(方法二)因為B1C1∥BC,所以B1C1∥平面A1BCD1,從而點B1到平面A1BCD1的距離即為所求.如圖,過點B1作B1E⊥A1B于點E.因為BC⊥平面A1ABB1,且B1E?平面A1ABB1,所以BC⊥B1E.又BC∩A1B=B,所以B1E⊥平面A1BCD1,B1E的長即為點B1到平面A1BCD1的距離.在Rt△A1B1B中,B1E=,所以直線B1C1到平面A1BCD1的距離為.5.BC　因為BE⊥平面BCD,所以是平面BCD的一個法向量,所以點A到平面BCD的距離為,故A錯誤,C正確;AB與平面BCD所成角的正弦值為,故B正確,D錯誤.故選BC.6.　以D為原點,直線DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸建立如圖空間直角坐標系,則E,F,D1(0,0,1),D(0,0,0),所以=(-,-,0),=(0,-,1).設平面EFD1B1的一個法向量為n=(x,y,z),所以令x=-1,則y=1,z=,所以n=(-1,1,).又,所以所求距離為.7.　依題意,平行平面α,β間的距離即為點O到平面β的距離,而=(2,1,1),所以平行平面α,β間的距離d=.8.　如圖,以D1A1,D1C1,D1D所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系, 則D(0,0,1),C(0,,1),A1(,0,0),C1(0,,0),∴=(0,,0),=(,0,-1),=(,-,0).由題可知,得Q(,0),∴=(,-1).設平面A1DC的法向量為n=(x,y,z),則取x=1,則z=,y=0,∴n=(1,0,),∴點Q到平面A1DC的距離d=.9.解(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),直線AC1的一個單位方向向量為s0=(0,),=(2,0,1),故點M到直線AC1的距離d=.(2)設平面MA1C1的法向量為n=(x,y,z),=(0,2,0),=(2,0,-1),則n·=0,且n·=0,即(x,y,z)·(0,2,0)=0,且(x,y,z)·(2,0,-1)=0,即y=0,且2x-z=0,取x=1,得z=2,故n=(1,0,2)為平面MA1C1的一個法向量,因為N(1,1,0),所以=(-1,1,-1),故點N到平面MA1C1的距離d=.10.A　因為A(2,3,1),P(4,3,2),所以=(2,0,1),則||=.由點到直線的距離公式得d=.故選A.11.A　如圖,以D為原點,DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),∴=(-2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,-2,0).設平面AD1C的法向量為n=(x,y,z),則取z=1,則x=y=2,所以n=(2,2,1),所以點B1到平面AD1C的距離為,故選A.12.　因為M(-1,2,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),所以=(-2,2,-1),=(0,1,-1),=(-1,1,0).設平面ABC的一個法向量為n=(x,y,z),則令x=1,則n=(1,1,1),所以點M到平面α的距離為d=.13.(1)證明如圖所示,以A為坐標原點,平面ABC內垂直于AC邊的直線為x軸,AC所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系.∵AP=2,AB=BC=AC=4,E,F分別是BC,AC的中點,∴A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),F(0,2,0),E(,3,0),Q(,0),P(0,0,2),∴=(,0),=(,3,0),∴=2.∵無交點,∴AE∥FQ.又FQ?平面PFQ,AE?平面PFQ,∴AE∥平面PFQ.(2)解由(1)知,AE∥平面PFQ,∴點A到平面PFQ的距離就是AE與平面PFQ間的距離.設平面PFQ的法向量為n=(x,y,z),則n⊥,n⊥,即n·=0,n·=0.又=(0,2,-2),∴n·=2y-2z=0,即y=z.又=(,0),∴n·x+y=0,即x=-y.令y=1,則x=-,z=1,∴n=(-,1,1).又=(-,-,0),所求距離d=.14.解(1)以D1為原點,D1A1,D1C1,D1D所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),E(1,,0),F(1,,1),∴=(0,1,0),=(-1,1,-1),=(0,,-1),=(-1,,0),=(-1,,0),=(0,,0).取a==(0,1,0),u=(-1,1,-1),a2=1,a·u=,則點B到直線AC1的距離為.(2)∵=(-1,,0),∴FC∥EC1,而FC?平面AEC1,EC1?平面AEC1,∴FC∥平面AEC1,∴點F到平面AEC1的距離即為直線FC到平面AEC1的距離.設平面AEC1的法向量為n=(x,y,z),則∴取z=1,則x=1,y=2,∴n=(1,2,1).又=(0,,0),∴點F到平面AEC1的距離為.15.C　作PM⊥β,QN⊥α,垂足分別為M,N.分別在平面α,β內作PE⊥l,QF⊥l,垂足分別為E,F,如圖所示,連接ME,NF,則ME⊥l,∴∠PEM為二面角α-l-β的平面角.∴∠PEM=60°.在Rt△PME中,||==2,同理||=4.又,∴||2=4+||2+16+2+2+2=20+||2+2×2×4cos120°=12+||2.∴當||2取最小值0時,||2最小,此時||=2.