第一章1.2.2　空間中的平面與空間向量A級(jí) 必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]若a=(1,2,3)是平面γ的一個(gè)法向量,則下列向量中能作為平面γ的法向量的是(　　)A.(0,1,2) B.(3,6,9)C.(-1,-2,3) D.(3,6,8)2.[探究點(diǎn)二(角度1)]設(shè)平面α的法向量為(1,-2,λ),平面β的法向量為(2,μ,4),若α∥β,則λ+μ=(　　)A.2 B.4 C.-2 D.-43.[探究點(diǎn)二(角度1)]已知n為平面α的一個(gè)法向量,l為一條直線(xiàn),則“l⊥n”是“l∥α”的(　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4. [探究點(diǎn)二]如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱BB1,B1C1的中點(diǎn),以下說(shuō)法正確的是(　　) A.A1E∥平面CC1D1DB.A1E⊥平面BCC1B1C.A1E∥D1FD.A1E⊥D1F5.[探究點(diǎn)二](多選題)下列利用方向向量、法向量判斷線(xiàn)、面位置關(guān)系的結(jié)論中,正確的是(　　)A.若兩條不重合的直線(xiàn)l1,l2的方向向量分別是a=(2,-2,-1),b=(-2,-2,1),則l1∥l2B.若直線(xiàn)l的方向向量是a=(1,1,2),平面α的一個(gè)法向量是n=(-2,-2,-4),則l⊥αC.若直線(xiàn)l的方向向量是a=(0,2,0),平面α的一個(gè)法向量是n=(-2,0,2),則l∥αD.若兩個(gè)不同的平面α,β的法向量分別是m=(3,-4,2),n=(-2,0,3),則α⊥β6.[探究點(diǎn)二(角度2)]已知直線(xiàn)l與平面α垂直,直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)與平面α平行,則z=　　　　. 7.[探究點(diǎn)二(角度1)]若=λ+μ(λ,μ∈R),則直線(xiàn)AB與平面CDE的位置關(guān)系是　　　　　　. 8.[探究點(diǎn)二·2023廣東佛山高二階段練習(xí)]若平面α的一個(gè)法向量為m=(2,-6,s),平面β的一個(gè)法向量為n=(1,t,2),且α∥β,則s-t=　　　　　. 9.[探究點(diǎn)一]在如圖所示的坐標(biāo)系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱長(zhǎng)為1的正方體,給出下列結(jié)論:①直線(xiàn)DD1的一個(gè)方向向量為(0,0,1);②直線(xiàn)BC1的一個(gè)方向向量為(0,1,1);③平面ABB1A1的一個(gè)法向量為(0,1,0);④平面B1CD的一個(gè)法向量為(1,1,1).其中正確的是　　　　.(填序號(hào)) 10. [探究點(diǎn)一]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱A1D1,A1B1的中點(diǎn),在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,求:  (1)平面BDD1B1的一個(gè)法向量;(2)平面BDEF的一個(gè)法向量.          11.[探究點(diǎn)二(角度1)]如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點(diǎn).求證:MN∥平面A1BD.          12.[探究點(diǎn)二(角度2)]如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).求證:(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE.          B級(jí) 關(guān)鍵能力提升練13.已知平面α內(nèi)兩向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1).若c為平面α的法向量,則m,n的值分別為(　　)A.-1,2 B.1,-2C.1,2 D.-1,-214.已知直線(xiàn)l的方向向量為a,且直線(xiàn)l不在平面α內(nèi),平面α內(nèi)兩共點(diǎn)向量,下列關(guān)系中一定能表示l∥α的是(　　)A.a= B.a=kC.a=p+λ D.以上均不能15.[2023河南商城高二階段練習(xí)]已知直線(xiàn)l的方向向量是a=(3,2,1),平面α的法向量是u=(-1,2,-1),則l與α的位置關(guān)系是(　　)A.l⊥α  B.l∥αC.l與α相交但不垂直 D.l∥α或l?α16.[2023廣東佛山高二階段練習(xí)]已知兩個(gè)不重合的平面α與平面ABC,若平面α的法向量為n1=(2,-3,1),向量=(1,0,-2),=(1,1,1),則(　　)A.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α,平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能17.[2023浙江玉環(huán)高二階段練習(xí)](多選題)已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn),如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),下列結(jié)論正確的有(　　)A.B.C.是平面ABCD的一個(gè)法向量D.18.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則平面D1EF的一個(gè)法向量是　　　　　. 19.在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n與平面ABC垂直,且|n|=,則n的坐標(biāo)為　　　　. C級(jí) 學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練20. 如圖所示,平面CDEF⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為平行四邊形,∠DAB=45°,四邊形CDEF為直角梯形,EF∥DC,ED⊥CD,AB=3EF=3,ED=a,AD=.  (1)求證:AD⊥BF;(2)若線(xiàn)段CF上存在一點(diǎn)M,滿(mǎn)足AE∥平面BDM,求的值.  
1.2.2　空間中的平面與空間向量1.B　向量(1,2,3)與向量(3,6,9)共線(xiàn).2.C　∵α∥β,∴,解得λ=2,μ=-4,∴λ+μ=-2.3.B　當(dāng)“l⊥n”時(shí),由于l可能在平面α內(nèi),所以無(wú)法推出“l∥α”;當(dāng)“l∥α”時(shí),“l⊥n”.綜上所述,“l⊥n”是“l∥α”的必要不充分條件.故選B.4.A　由長(zhǎng)方體的性質(zhì)有平面ABB1A1∥平面CC1D1D,又A1E?平面ABB1A1,所以A1E∥平面CC1D1D,故選項(xiàng)A正確;因?yàn)?/span>E為棱BB1的中點(diǎn),且A1B1⊥BB1,所以A1E與BB1不垂直,所以若A1E⊥平面BCC1B1,則A1E⊥BB1,這與A1E和BB1不垂直相矛盾,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)DA=a,DC=b,DD1=c,則A1=(a,0,c),E(a,b,),D1(0,0,c),F(,b,c),所以=(0,b,-),=(,b,0).因?yàn)?/span>不是共線(xiàn)向量,且=b2>0,所以A1E與D1F不平行,且A1E與D1F不垂直,故選項(xiàng)C,D錯(cuò)誤.故選A.5.BD　對(duì)于A,因?yàn)橄蛄?/span>a,b不平行,所以l1,l2不平行,故A不正確;對(duì)于B,因?yàn)?/span>n=-2a,所以a∥n,故B正確;對(duì)于C,因?yàn)?/span>a·n=0×(-2)+2×0+0×2=0,所以a⊥n,所以l∥α或l?α,故C不正確;對(duì)于D,因?yàn)?/span>m·n=-6+0+6=0,所以α⊥β,故D正確.故選BD.6.-9　由題知,u⊥v,∴u·v=3+6+z=0,∴z=-9.7.AB∥平面CDE或AB?平面CDE8.7　由α∥β,得m∥n,易知t,s≠0,∴,解得t=-3,s=4,∴s-t=7.9.①②③　DD1∥AA1,=(0,0,1),故①正確;BC1∥AD1,=(0,1,1),故②正確;直線(xiàn)AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0),故③正確;點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(1,1,1),與平面B1CD不垂直,故④錯(cuò)誤.10.解設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,則D(0,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),E(1,0,2).(1)設(shè)平面BDD1B1的一個(gè)法向量為n=(x1,y1,z1).∵=(2,2,0),=(0,0,2),∴令x1=1,則y1=-1,z1=0,∴平面BDD1B1的一個(gè)法向量為n=(1,-1,0).(2)=(2,2,0),=(1,0,2).設(shè)平面BDEF的一個(gè)法向量為m=(x2,y2,z2),則令x2=2,則y2=-2,z2=-1,∴平面BDEF的一個(gè)法向量為m=(2,-2,-1).11.證明(方法一)∵)=,∴,又MN?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.(方法二)如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則可求得M,N,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),于是=(1,0,1),=(1,1,0),設(shè)平面A1BD的法向量是n=(x,y,z),則n·=0,且n·=0,得取x=1,得y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1).又·n=·(1,-1,-1)=0,∴⊥n,且MN?平面A1BD.∴MN∥平面A1BD.(方法三)∵)-)=)=.∴.又MN?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.12. 證明(1)∵AB,AD,AP兩兩垂直,∴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)PA=AB=BC=1,則P(0,0,1).∵∠ABC=60°,∴△ABC為正三角形.∴C,E,A(0,0,0).設(shè)D(0,y,0),=(,0),=(-,y-,0).由AC⊥CD,得=0,即y=,則D,∴.又,∴=-=0,∴,即AE⊥CD.(2)(方法一)∵=(1,0,0),,∴設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則令y=2,則z=-,∴n=(0,2,-).∵,顯然n.∴∥n,∴⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.(方法二)∵P(0,0,1),∴.又×(-1)=0,∴,即PD⊥AE.又=(1,0,0),∴=0,∴PD⊥AB.又AB∩AE=A,AB?平面ABE,AE?平面ABE,∴PD⊥平面ABE.13.A　c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c為平面α的法向量,得解得14.D　A,B,C中均能推出l∥α,或l?α,但不能確定一定能表示為l∥α.15.D　∵a·u=-3+4-1=0,∴a⊥u,∴l∥α或l?α.故選D.16.A　∵n1·=2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,n1·=2×1-3×1+1×1=0,∴n1⊥,n1⊥,AB∩AC=A,∴n1也為平面ABC的一個(gè)法向量.又平面α與平面ABC不重合,∴平面α與平面ABC平行.故選A.17.ABC　對(duì)于A,由=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,可得,所以A正確;對(duì)于B,由=(-1)×4+2×2+(-1)×0=0,所以,所以B正確;對(duì)于C,由,可得向量是平面ABCD的一個(gè)法向量,所以C正確;對(duì)于D,由是平面ABCD的一個(gè)法向量,可得,所以D不正確.故選ABC.18.(-6,3,2)(答案不唯一)　∵在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,3),E(1,4,0),F(0,2,0),=(1,4,-3),=(0,2,-3),設(shè)平面D1EF的一個(gè)法向量是n=(x,y,z),則取y=3,得n=(-6,3,2),則平面D1EF的一個(gè)法向量是(-6,3,2).19.(-2,4,1)或(2,-4,-1)　據(jù)題意,得=(-1,-1,2),=(1,0,2).設(shè)n=(x,y,z),∵n與平面ABC垂直,∴可得∵|n|=,∴,解得y=4或y=-4.當(dāng)y=4時(shí),x=-2,z=1;當(dāng)y=-4時(shí),x=2,z=-1.∴n的坐標(biāo)為(-2,4,1)或(2,-4,-1).20. (1)證明∵平面CDEF⊥平面ABCD,ED⊥CD,ED?平面CDEF,平面CDEF∩平面ABCD=CD,∴ED⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,即ED⊥AD. 過(guò)F作FG⊥DC于G,過(guò)G作GH∥AD交AB于H.∵四邊形CDEF為直角梯形,AB=3EF=3,∴ED∥FG,即FG⊥AD,則FG⊥HG,且HG=,HB=2,∠GHB=45°,∴BG2=HG2+HB2-2HG×HBcos∠GHB,得BG2=2,即HG2+BG2=HB2,∴HG⊥BG,而BG∩FG=G,即HG⊥平面FBG,又BF?平面FBG,∴HG⊥BF,故AD⊥BF.(2)解以D為原點(diǎn),平面ABCD上過(guò)點(diǎn)D垂直于DC的直線(xiàn)為x軸,DC所在直線(xiàn)為y軸,DE所在直線(xiàn)為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,∴A(1,-1,0),B(1,2,0),C(0,3,0),E(0,0,a),F(0,1,a),則=(-1,1,a),=(0,-2,a).設(shè)=λ=λ(0,-2,a)=(0,-2λ,aλ)(易知λ≠0),則=(0,3,0)+(0,-2λ,aλ)=(0,3-2λ,aλ),設(shè)平面BDM的法向量為n=(x1,y1,z1),則取x1=2,則n=(2,-1,).若AE∥平面BDM,則·n=(-1,1,a)·(2,-1,)=-2-1+=0,解得λ=,∴線(xiàn)段CF上存在一點(diǎn)M,滿(mǎn)足AE∥平面BDM,此時(shí).

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1.2.2 空間中的平面與空間向量

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