高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修第一冊1.2.4 二面角測試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第一章1.2.4　二面角A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點二]已知二面角α-l-β的兩個半平面α與β的法向量分別為a,b,且<a,b>=,則二面角α-l-β的大小為(　　)A. B.C. D.2.[探究點二]已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,則平面A1BC1與平面ABCD所成角的余弦值為(　　)A. B. C. D.3.[探究點二·2023天津高二階段練習(xí)]直線l的方向向量為a,兩個平面α,β的法向量分別為n,m,則下列命題為假命題的是(　　)A.若a⊥n,則直線l∥平面αB.若a∥n,則直線l⊥平面αC.若cos<a,n>=,則直線l與平面α所成角的大小為D.若cos<m,n>=,則平面α,β所成銳角的大小為4.[探究點二·2023山東濰坊高二階段練習(xí)](多選題)下列說法不正確的是(　　)A.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角為,則直線l與平面α所成的角為B.兩條異面直線所成的角等于它們的方向向量的夾角C.二面角的范圍是[0,π]D.二面角的大小等于其兩個半平面的法向量的夾角的大小5.[探究點一]已知點O在二面角α-AB-β的棱上,點P在平面α內(nèi),且∠POB=60°.若直線PO與平面β所成的角為45°,則二面角α-AB-β的正弦值為　　　　　. 6.[探究點二]若兩個平面α,β的法向量分別是u=(1,0,1),v=(-1,1,0),則這兩個平面所成角的大小是　　　　　. 7.[探究點二]如圖所示,AE⊥平面ABCD,四邊形AEFB為矩形,BC∥AD,BA⊥AD,AE=AD=2AB=2BC=4.(1)求證:CF∥平面ADE;(2)求平面CDF與平面AEFB所成角的余弦值. 8.[探究點二]如圖所示,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,F為PC的中點,求二面角C-BF-D的正切值. B級關(guān)鍵能力提升練9.過正方形ABCD的頂點A作線段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,則平面ABP與平面CDP所成角的余弦值為(　　)A. B. C. D.10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角B-AC-B1的平面角的余弦值為(　　)A. B. C. D.11.[2023廣東高二階段練習(xí)](多選題)如圖,以等腰直角三角形ABC斜邊BC上的高AD為折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后,某學(xué)生得出如下四個結(jié)論,其中正確的是(　　)A.=0B.AB⊥DCC.BD⊥ACD.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直12.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,AA1=2,點E為C1D1的中點,則二面角B1-A1B-E的余弦值為　　　　　. 13.二面角的棱上有A,B兩點,直線AC,BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi),且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,則該二面角的大小為　　　　　. 14. [2023江西高二開學(xué)考試]如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱BB1=1,∠ABC=,且M,N分別為BB1,AC的中點,連接MN. (1)證明:MN∥平面AB1C1;(2)若BA=BC=2,求二面角A-B1C1-B的平面角的大小. C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練15.圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.
1.2.4　二面角1.C2.A　建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則A1(4,0,2),B(4,4,0),C1(0,4,2),所以=(0,4,-2),=(-4,4,0).設(shè)平面A1BC1的一個法向量為m=(x,y,z),則令z=2,則m=(1,1,2).易知平面ABCD的一個法向量為n=(0,0,1),所以cos<m,n>=,所以平面A1BC1與平面ABCD所成角的余弦值為.故選A.3.A　對A,若a⊥n,則直線l∥平面α或直線l?平面α,故A錯誤;對B,若a∥n,則直線l⊥平面α,故B正確;對C,設(shè)直線l與平面α所成角的大小為θ(0≤θ≤),則sinθ=|cos<a,n>|=,所以θ=,故C正確;對D,設(shè)平面α,β所成銳角的大小為θ,則cosθ=|cos<m,n>|=,所以θ=,故D正確.故選A.4.ABD　當(dāng)直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角為時,直線l與平面α所成的角為,故A不正確;向量夾角的范圍是[0,π],而異面直線所成的角為(0,],故B不正確;二面角的范圍是[0,π],故C正確;二面角的大小與其兩個半平面的法向量的夾角的大小相等或互補,故D不正確.故選ABD.5.　如圖,過點P作PE⊥β,垂足為E,過點E作EF⊥AB,垂足為F,連接OE,PF,則∠POE為直線PO與平面β所成的角,∠PFE為二面角α-AB-β的平面角.設(shè)OP=a,則在Rt△PEO中,由∠POE=45°,可得PE=a;在Rt△PFO中,由∠POF=60°,可得PF=a·sin60°=a;在Rt△PEF中,sin∠PFE=,即二面角α-AB-β的正弦值為.6.60°　設(shè)這兩個平面所成角為θ,則cosθ=,所以兩個平面所成角的大小是60°.7.(1)證明∵四邊形ABEF為矩形,∴BF∥AE.又BF?平面ADE,AE?平面ADE,∴BF∥平面ADE.又BC∥AD,同理可得BC∥平面ADE.又BF∩BC=B,BF,BC?平面BCF,∴平面BCF∥平面ADE.又CF?平面BCF,∴CF∥平面ADE.(2)解如圖,以A為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,則C(2,2,0),D(0,4,0),F(2,0,4),∴=(0,4,0),=(-2,2,0),=(0,-2,4).設(shè)n=(x,y,z)是平面CDF的一個法向量,則令y=2,解得∴n=(2,2,1).又是平面AEFB的一個法向量,∴cos<n,>=,∴平面CDF與平面AEFB所成角的余弦值為.8.解如圖所示,設(shè)AC與BD交于O,連接OF.因為底面四邊形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,O為AC中點.又F為PC中點,所以OF∥PA.因為PA⊥平面ABCD,所以OF⊥平面ABCD.以O為坐標(biāo)原點,OB,OC,OF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)PA=AD=AC=1,則BD=,所以O(0,0,0),B(,0,0),F(0,0,),C(0,,0),=(0,,0),易知為平面BDF的一個法向量.由=(-,0),=(,0,-),可得平面BCF的一個法向量為n=(1,),所以cos<n,>=,sin<n,>=,所以tan<n,>=.9.B　設(shè)AP=AB=1.以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,1),D(0,1,0),C(1,1,0),=(1,1,-1),=(0,1,-1).設(shè)平面PCD的法向量m=(x,y,z),則取y=1,得m=(0,1,1).易知平面ABP的法向量n=(0,1,0).設(shè)平面ABP與平面CDP所成角為θ,則cosθ=.故選B.10. D　連接AC,取AC的中點O,連接B1O,BO. 由AB=BC,則BO⊥AC且AB1=B1C,則B1O⊥AC,故∠BOB1即為二面角B-AC-B1的平面角.不妨設(shè)正方體的棱長為1,則在△ABC中,BO=AC=,在△AB1C中,AB1=B1C=AC=,則B1O=.又B1B=1,故可得cos∠B1OB=.故選D.11.BC　對于A,設(shè)AB=AC=t,平面ABD⊥平面ADC,而BD⊥AD,AD⊥CD,則有∠BDC為二面角的平面角,即∠BDC=90°,則BC=BD=t,故∠BAC=60°,t2≠0,故A錯誤;對于B,平面ABD⊥平面ADC,其交線為AD.又由CD⊥AD,且CD?平面ADC,則CD⊥平面ABD,則有AB⊥DC,故B正確;對于C,同理可證BD⊥AC,故C正確;對于D,平面ADC與平面ABC不垂直,則平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不能互相垂直,故D錯誤.故選BC.12.　以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(1,0,2),B(1,2,0),B1(1,2,2),E(0,1,2),則=(0,2,-2),=(-1,1,0). 設(shè)平面A1BE的一個法向量為n1=(x,y,z),則令y=1,得n1=(1,1,1).易知平面A1BB1的一個法向量為n2=(1,0,0),而二面角B1-A1B-E為銳角,故cosθ=.13.60°　由條件,知=0,=0,,∴||2=||2+||2+||2+2+2+2=62+42+82+2×6×8cos<>=(2)2,∴cos<>=-.又0°≤<>≤180°,∴<>=120°,∴該二面角的大小為60°.14. (1)證明如圖,取AC1的中點P,連接B1P,PN. ∵N為AC的中點,∴PN∥C1C,且PN=C1C.又B1M∥C1C,B1M=C1C,∴PN∥B1M,PN=B1M,∴四邊形B1MNP是平行四邊形,∴MN∥B1P.又B1P?平面AB1C1,MN?平面AB1C1,∴MN∥平面AB1C1.(2)解如圖,作BE⊥BC,交AC于E,以點B為原點,BE為x軸,BC為y軸,BB1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz.∵BA=BC=2,BB1=1,∠ABC=,∴A(,-1,0),B(0,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,1),C1(0,2,1),∴=(-,1,1),=(0,2,0).設(shè)平面AB1C1的法向量為m=(x,y,z).∴即∴令x=1,則y=0,z=,∴m=(1,0,).∵平面BB1C1的一個法向量為n=(1,0,0),∴cos<m,n>=.∵由圖知二面角A-B1C1-B的平面角為銳角,∴二面角A-B1C1-B的平面角的大小為.15.(1)證明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG確定一個平面,從而A,C,G,D四點共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因為AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解作EH⊥BC,垂足為H.因為EH?平面BCGE,平面BCGE⊥平面ABC,所以EH⊥平面ABC.由已知,菱形BCGE的邊長為2,∠EBC=60°,可求得BH=1,EH=.以H為坐標(biāo)原點,的方向為x軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,),=(1,0,),=(2,-1,0).設(shè)平面ACG的法向量為n=(x,y,z),則取x=3,則y=6,z=-,所以n=(3,6,-).又平面BCG的法向量可取為m=(0,1,0),所以cos<n,m>=.由圖形知二面角B-CG-A大小為銳角.因此二面角B-CG-A的大小為30°.