?第一章測評(二)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.若平面α⊥平面β,且平面α的一個法向量為n=,則平面β的法向量可以是(　　)
A. B.(2,-1,0)
C.(1,2,0) D.
2.已知a=(1,k,-2),b=(2k,2,4),若a∥b,則實數(shù)k的值為(　　)
A.-2 B.2 C.-1 D.1
3.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,P是線段D1B上一點,且BP=2D1P,若=x+y+z,則x+y+z=(　　)
A. B. C. D.1

4.已知直線l1的一個方向向量為a=(1,-2,2),直線l2的一個方向向量為b=(1,2,0),則兩直線所成角的余弦值為(　　)
A. B. C.- D.
5.若平面α的一個法向量為n1=(1,0,1),平面β的一個法向量是n2=(-3,1,3),則平面α與β所成的角等于(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
6.[2023山西高二階段練習(xí)]有以下命題:①若p=xa+yb,則p與a,b共面;②若p與a,b共面,則p=xa+yb;③若=x+y,則P,M,A,B四點共面;④若P,M,A,B四點共面,則=x+y;⑤若存在λ,μ∈R,使λa+μb=0,則λ=μ=0;⑥若a,b不共線,則空間任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R).其中真命題是(　　)
A.①② B.①③
C.②③④ D.③④⑥
7. 《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年,例如塹堵指底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱;鱉臑指的是四個面均為直角三角形的三棱錐.如圖,在塹堵ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,若AB=,AA1=2,當鱉臑A1-ABC體積最大時,直線B1C與平面ABB1A1所成角的余弦值為(　　)


A. B. C. D.
8.已知向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),{i,j,k}是空間中的一組單位正交基底.規(guī)定向量積的行列式計算:a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k==,-,其中行列式計算表示為=ad-bc.若向量=(2,1,4),=(3,1,2),則=(　　)
A.(-4,-8,-1) B.(-1,4,-8)
C.(-2,8,-1) D.(-1,-4,-8)
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.
9.如圖,已知三棱錐O-ABC,E,F分別是OA,BC的中點,P為線段EF上一點,且PF=2EP,設(shè)=a,=b,=c,則下列等式成立的是(　　)

A.b+c
B.=-a+b+c
C.=-a+b+c
D.a+b+c
10.在下列條件中,不能使M與A,B,C一定共面的是(　　)
A.=2
B.
C.=0
D.=0
11. [2023湖南祁東高二階段練習(xí)]如圖,一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD-A1B1C1D1,其中,以頂點A為端點的三條棱長都相等,且它們彼此的夾角都是60°,下列說法中正確的是(　　)


A.=2
B.·()=0
C.向量的夾角是60°
D.BD1與AC所成角的余弦值為
12. [2023安徽六安高一期末]如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱B1C1,BB1的中點,G為面對角線A1D上的一個動點,則(　　)


A.三棱錐B1-EFG的體積為定值
B.線段A1D上存在點G,使A1C⊥平面EFG
C.線段A1D上存在點G,使平面EFG∥平面ACD1
D.設(shè)直線FG與平面ADD1A1所成角為θ,則sin θ的最大值為
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知空間中兩點A=(2,2,0),B=(3,y,1),向量a=(3,-1,3),a∥,則|a|=　　　　　,y=　　　　　.?
14.在三棱錐D-ABC中,已知AB=AD=2,BC=1,=-3,則CD=　　　　　.?
15. 如圖,在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,PA⊥平面ABC,AE⊥PB于點E,M是AC的中點,PB=1,則的最小值為　　　　　.?


16.已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,AA1=AB=AD,E為A1D1的中點.給出下列四個說法:①∠BCC1為異面直線AD與CC1所成的角;②三棱錐A1-ABD是正三棱錐;③CE⊥平面BB1D1D;④=-.其中正確的說法有　　　　　.(寫出所有正確說法的序號)?

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(10分) 已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,AD=1,且∠DAB=∠BAA1=∠DAA1=.


(1)求B1D的長;
(2)求夾角的余弦值.
















18.(12分)已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,m).
(1)若a+2b-3c=(6,-3,1),求實數(shù)m的值;
(2)若m=2,求a·(b+c)的值.













19.(12分)如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,AC的中點為D,且A1D⊥平面ABC,A1D=.

(1)求證:A1B⊥AC1;
(2)在線段CC1上找一點M,使得直線A1B與平面MA1B1所成角的正弦值為.















20.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PA=AD=2,M,N分別是AB,PC的中點.
(1)求證:平面MND⊥平面PCD;
(2)求點P到平面MND的距離.















21.(12分)如圖,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,點D是BC的中點.
(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1與平面ABA1夾角的余弦值.



















22.(12分)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,點E是線段CD上靠近點D的一個三等分點,點F是線段AD上的一個動點,且=λ(0≤λ≤1).如圖,將△BCE沿BE折起至△BEG,使得平面BEG⊥平面ABED.
(1)當λ=時,求證:EF⊥BG.
(2)是否存在λ,使得FG與平面DEG所成的角的正弦值為?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.









第一章測評(二)
1.C　因為平面α⊥平面β,所以平面α的法向量與平面β的法向量互相垂直.
設(shè)平面β的法向量為m=(x,y,z),則有n·m=-2x+y+z=0,即4x-2y-z=0.
對于A,4×1-2×≠0,故A不成立;
對于B,4×2-2×(-1)-0≠0,故B不成立;
對于C,4×1-2×2-0=0,故C成立;
對于D,4×-2×1-2≠0,故D不成立.
2.C　根據(jù)題意,a∥b,設(shè)a=tb(t∈R),
即(1,k,-2)=t(2k,2,4)=(2kt,2t,4t),
則有解得k=-1.
3.A　∵BP=2D1P,
∴=2,
即=2()=2-2,
即3+2,
即,
所以x=,y=,z=,所以x+y+z=.
4.D　直線l1的一個方向向量為a=(1,-2,2),
直線l2的一個方向向量為b=(1,2,0),
則兩直線所成角的余弦值為
|cos|=.
5.D　平面α的一個法向量為n1=(1,0,1),平面β的一個法向量是n2=(-3,1,3),
∴cos==0.
∴平面α與β所成的角等于90°.
6.B?、僬_,由平面向量基本定理可得,若p=xa+yb,則p與a,b共面;
②不正確,若a,b均為零向量,p為非零向量,則后式不成立;
③正確,由平面向量基本定理得;
④不正確,若均為零向量,為非零向量,則后式不成立;
⑤不正確,若a,b為相反向量,則a+b=0,λ=μ=1;
⑥不正確,若a,b不共線,當p與a,b所在的平面垂直時,則后式不成立.
故選B.
7.A　在塹堵ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AB=,AA1=2,當鱉臑A1-ABC體積最大時,AC=BC=1.
以C為原點,CA為x軸,CB為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標系,則B1(0,1,2),C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),則=(0,-1,-2),=(1,-1,0),=(0,0,2).
設(shè)平面ABB1A1的法向量n=(x,y,z),
則
取x=1,得n=(1,1,0).
設(shè)直線B1C與平面ABB1A1所成角為θ(0°≤θ≤90°),
則sinθ=,
所以cosθ=,
所以直線B1C與平面ABB1A1所成角的余弦值為.
故選A.
8.C　由題意得,=(1×2-4×1)i+(4×3-2×2)j+(2×1-1×3)k=-2i+8j-k=(-2,8,-1).
9.ABD　∵E,F分別是OA,BC的中點,
∴)=b+c,故A正確;
b+c-a,
∵PF=2EP,
∴EP=EF,FP=EF,
即=-a+b+c,故B正確;
=-=-a-b-c,故C錯誤;
a-a+b+c=a+b+c,故D正確.
10.ABD　M與A,B,C一定共面的充要條件是=x+y+z,x+y+z=1,對于A選項,由于2-1-1=0≠1,所以不能得出M,A,B,C共面,對于B選項,由于≠1,所以不能得出M,A,B,C共面,對于C選項,由于=-,則為共面向量,所以M,A,B,C共面,對于D選項,由=0得=-,而-1-1-1=-3≠1,所以不能得出M,A,B,C共面.故選ABD.
11.AB　以頂點A為端點的三條棱長都相等,它們彼此的夾角都是60°,可設(shè)棱長為1,則=1×1×cos60°=,
+2+2+2=1+1+1+3×2×=6.
而2=2=2(+2)=21+1+2×=2×3=6,所以A正確;
·()=()·()==0,所以B正確;
向量,顯然△AA1D為等邊三角形,則∠AA1D=60°,
所以向量的夾角是120°,向量的夾角是120°,所以C不正確;
又,則||=,||=,
=()·()=1,
所以cos=,所以D不正確.
故選AB.
12.ABD　易得平面ADD1A1∥平面BCC1B1,所以G到平面BCC1B1的距離為定值.
又為定值,所以三棱錐G-B1EF即三棱錐B1-EFG的體積為定值,故A正確;

對于B,如圖所示,以D為坐標原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標系,則A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),C1(0,2,2),E(1,2,2),F(2,2,1),
所以=(-2,2,2),=(-2,2,0),=(-2,0,2),=(1,0,-1).
設(shè)=λ(0≤λ≤1),則G(2λ,0,2λ),
所以=(2λ-1,-2,2λ-2),=(2λ-2,-2,2λ-1),A1C⊥平面EFG?
即
解得λ=.
當G為線段A1D上靠近D的四等分點時,A1C⊥平面EFG,故B正確;
對于C,設(shè)平面ACD1的法向量n1=(x1,y1,z1),
則
取x1=1,得n1=(1,1,1).
設(shè)平面EFG的法向量n2=(x2,y2,z2),
則
取x2=1,得n2=1,,1,平面ACD1∥平面EFG?n1∥n2.
設(shè)n1=kn2,即(1,1,1)=k1,,1,
解得k=1,λ=,因為0≤λ≤1,不合題意,
所以線段B1C上不存在點G,使平面EFG∥平面BDC1,故C錯誤;
對于D,平面ADD1A1的法向量為n=(0,1,0),
則sinθ=.
因為8λ2-12λ+9=8,
所以sinθ=,
所以sinθ的最大值為,故D正確.故選ABD.
13.　因為a=(3,-1,3),
則|a|=.
因為A=(2,2,0),B=(3,y,1),所以=(1,y-2,1).
又a∥,則有=λa(λ∈R),即(1,y-2,1)=λ(3,-1,3),所以解得
14.　設(shè)∠BAC=α,∠DAC=β,顯然||=||=1,則-2||·||cosα=1,即-4||cosα=-3,而=-3,即·()==-3,于是得2||cosβ-2||·cosα=-3,2||cosβ=-3+2||cosα,
=||2=-2=4+-4||cosβ=4+-2(-3+2||cosα)=10+-4||cosα=7,則有||=,所以CD=.
15. -　連接EC,如圖,因為PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.


又因為AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB,所以BC⊥平面PAB.
又PB?平面PAB,所以BC⊥PB.
因為M是AC的中點,所以)=).
又AE⊥PB,所以·)==-|||≥-=-,當且僅當||=||=時取等號,所以的最小值為-.
16.②④　①∠BCC1=120°,而異面直線AD與CC1所成的角為60°,故①錯誤;
②三棱錐A1-ABD的每個面都為正三角形,故為正四面體,故②正確;
④根據(jù)向量加法的三角形法則,=-=-,故④正確;
③∵,∴=-·()=-|2++||2+|2≠0,∴CE與BD不垂直,故③錯誤.
17.解(1)由題可知,,
那么-2-2+2=12+22+32-2×(1×2+1×3-2×3)×=15,
因此B1D的長為.
(2)由題知,,
則||=,
=()·()==1×3×-1×2×+22-32=-,所以cos==-.
18.解 (1)因為a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,m),所以a+2b-3c=(6,-3,7-3m)=(6,-3,1),
所以7-3m=1,
解得m=2.
(2)若m=2,則c=(0,0,2),b+c=(2,0,5),
所以a·(b+c)=(2,-3,1)·(2,0,5)=9.
19. (1)證明作DE⊥AC交AB于點E,分別以DE,DC,DA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,


則A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,),C1(0,2,),
∴=(2,1,-),=(0,3,),=0+3-3=0,∴A1B⊥AC1.
(2)解設(shè)=λ=(0,λ,λ),=(2,2,0),=(0,1,-),=(0,λ+1,λ-).
設(shè)平面MA1B1的一個法向量為n=(x,y,z),
有
∴
∴
∴n=1,-1,.
∵=(2,1,-),若直線A1B與平面MA1B1所成角的正弦值為,
則|cos|=,
即,
解得λ=,
∴當CM=CC'時,直線A1B與平面MA1B1所成角的正弦值為.
20.(1)證明 ∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴AB,AD,AP兩兩互相垂直,
如圖所示,分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1),

∴=(0,1,1),=(-1,1,-1),=(0,2,-2).
設(shè)m=(x,y,z)是平面MND的法向量,
可得
即
取y=-1,得x=-2,z=1,
∴m=(-2,-1,1)是平面MND的一個法向量,同理可得n=(0,1,1)是平面PCD的一個法向量,
∵m·n=-2×0+(-1)×1+1×1=0,
∴m⊥n,
即平面MND的法向量與平面PCD的法向量互相垂直,可得平面MND⊥平面PCD.
(2)解 由(1)得m=(-2,-1,1)是平面MND的一個法向量.∵=(0,2,-2),得·m=0×(-2)+2×(-1)+(-2)×1=-4,
∴點P到平面MND的距離d=.
21.解 (1)分別以AB,AC,AA1為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz,如圖.

則由題意知A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4),∴=(2,0,-4),=(1,-1,-4),∴cos=,
∴異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.
(2)=(0,2,0)是平面ABA1的一個法向量.
設(shè)平面ADC1的法向量為m=(x,y,z),
∵=(1,1,0),=(0,2,4),
∴
即
取z=1,得y=-2,x=2,
∴平面ADC1的一個法向量為m=(2,-2,1).
設(shè)平面ADC1與ABA1所成二面角為θ,
∴cosθ=|cos|=,
∴平面ADC1與ABA1夾角的余弦值為.
22.解 (1)當λ=時,點F是AD的中點,
∴DF=AD=1,DE=CD=1.
∵∠ADC=90°,
∴∠DEF=45°.
∵CE=CD=2,BC=2,∠BCD=90°,
∴∠BEC=45°.
∴BE⊥EF.
又平面GBE⊥平面ABED,平面GBE∩平面ABED=BE,EF?平面ABED,∴EF⊥平面BEG.
∵BG?平面BEG,
∴EF⊥BG.
(2)以C為原點,的方向為x軸、y軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.
則E(0,-2,0),D(0,-3,0),F(2λ,-3,0).
取BE的中點O,∵GE=BG=2,

∴GO⊥BE,
∴易證得OG⊥平面BCE,∵BE=2,
∴OG=,∴G(1,-1,).
∴=(1-2λ,2,),=(1,1,),=(1,2,).
設(shè)平面DEG的一個法向量為n=(x,y,z),
則
令z=,則n=(-2,0,).
設(shè)FG與平面DEG所成的角為θ,
則sinθ=|cos|=,
解得λ=或λ=-(舍去),
∴存在實數(shù)λ,使得FG與平面DEG所成的角的正弦值為,此時λ=.

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