第三章一元一次方程小結(jié)與復(fù)習(xí)123目錄CONTENTS要點(diǎn)梳理4考點(diǎn)講練當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)要 點(diǎn) 梳 理1.什么樣的方程是一元一次方程？2.等式有哪些性質(zhì)？3.解一元一次方程的基本步驟有哪些？4.應(yīng)用一元一次方程模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟有哪些？一、方程的有關(guān)概念 1. 方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．2. 一元一次方程的概念：只含有____個(gè)未知數(shù)，未 知數(shù)的次數(shù)都是____，等號(hào)兩邊都是______，這 樣的方程叫做一元一次方程．3. 方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的 值叫做方程的解．4. 解方程：求方程解的過(guò)程叫做解方程．一1整式1. 等式的性質(zhì)1：等式兩邊加 (或減) 同一個(gè)數(shù) (或 式子)，結(jié)果仍相等．如果 a＝b，那么 a± ＝b±c.2. 等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一 個(gè)不為 0 的數(shù)，結(jié)果仍相等．如果 a＝b，那么 ac ＝ ___；如果 a = b (c≠0)，那么 ＝____．二、等式的性質(zhì) bcc解一元一次方程的一般步驟： (1) 去分母：方程兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)， 別漏乘． (2) 去括號(hào)：注意括號(hào)前的系數(shù)與符號(hào)． (3) 移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常 數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，移項(xiàng)注意要改變符號(hào)． (4) 合并同類項(xiàng)：把方程化成 ax ＝ b (a≠0)的形式． (5) 系數(shù)化為1：方程兩邊同除以 x 的系數(shù)，得x＝m 的形式.三、一元一次方程的解法 1. 列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟： 審：審清題意，分清題中的已知量、未知量． 設(shè)：設(shè)未知數(shù)，設(shè)其中某個(gè)未知量為x. 列：根據(jù)題意尋找等量關(guān)系列方程． 解：解方程． 驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解是否符合題意． 答：寫(xiě)出答案 (包括單位)．四、實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程2. 常見(jiàn)的幾種方程類型及等量關(guān)系： (1) 行程問(wèn)題中基本量之間關(guān)系： 路程＝速度×?xí)r間． ① 相遇問(wèn)題： 全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ② 追及問(wèn)題： 甲為快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ③ 流水行船問(wèn)題： v順＝v靜＋v水，v逆＝v靜－v水．(2) 工程問(wèn)題中基本量之間的關(guān)系： ① 工作量 = 工作效率×工作時(shí)間； ② 合作的工作效率 = 工作效率之和； ③ 工作總量 = 各部分工作量之和 = 合作的工作效 率×工作時(shí)間； ④ 在沒(méi)有具體數(shù)值的情況下，通常把工作總量看做1.(3) 銷售問(wèn)題中基本量之間的關(guān)系： ① 商品利潤(rùn) = 商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)； ④ 商品售價(jià) = 商品進(jìn)價(jià)+商品利潤(rùn) = 商品進(jìn)價(jià)+商品進(jìn)價(jià)×利潤(rùn)率 = 商品進(jìn)價(jià)×(1+利潤(rùn)率).(4)分段計(jì)費(fèi)、方案問(wèn)題①要善于分析問(wèn)題中的不變量，并利用不變量來(lái)列方程；② 要善于用不同的方式表示同一個(gè)量，由此得到相等 關(guān)系，從而列出方程．注意1.在運(yùn)用等式的性質(zhì)時(shí)，等式兩邊不能同除以0。2.求解一元一次方程時(shí)應(yīng)根據(jù)方程的特點(diǎn)，選用適當(dāng)?shù)姆椒ā?.移項(xiàng)時(shí)要變號(hào)。4.列方程解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般設(shè)要求的量為未知數(shù)，有時(shí)也可采用間接設(shè)未知數(shù)的方法?？?點(diǎn) 講 練例1 如果 x = 2是方程 的解，那么 a 的值 （ ） A. 0 B. 2 C. －2 D. －6解析：將 x＝2 代入方程得1＋a＝－1，解得a＝－2. C方法總結(jié)：已知方程的解求字母參數(shù)的值，將方程的解代入方程中，得到關(guān)于字母參數(shù)的方程，解方程即可得字母參數(shù)的值.1. 若 (m＋3) x| m|－2＋2＝1 是關(guān)于 x 的一元一次方程， 則 m的值為_(kāi)___．3注意：結(jié)合一元一次方程的定義求字母參數(shù)的值，需謹(jǐn)記未知數(shù)的系數(shù)不為0. 例2 下列說(shuō)法正確的是 ( ) A. x +1 = 2+2x 變形得到 1= x B. 2x = 3x 變形得到 2 = 3 C. 將方程 系數(shù)化為1，得 D. 將方程 3x = 4x－4 變形得到 x = 4D方法總結(jié)：已利用等式的性質(zhì)變形，需注意符號(hào)問(wèn)題，同時(shí)一定要謹(jǐn)記，利用等式性質(zhì)2變形，等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)數(shù)時(shí)，該數(shù)不能為0.B解：去分母，得 3(2x+1)－12 = 12x－(10x+1).去括號(hào)，得 6x＋3－12 = 12x－10x－1. 移項(xiàng)，得 6x－12x＋10x = －1－3＋12. 合并同類項(xiàng)，得 4x = 8. 系數(shù)化為1，得 x = 2. 提示：先用分配律、去括號(hào)簡(jiǎn)化方程，再求解較容易．解：去分母，得 2(x－2) = 20－5(x＋3). 去括號(hào)，得 2x－4 = 20－5x－15. 移項(xiàng)，得 2x＋5x = 20－15＋4. 合并同類項(xiàng)，得 7x = 9. 例4 一輪船在甲、乙兩碼頭間往返航行，已知船在靜水中速度為7 km/h，水流速度為2 km/h，往返一次共用28 h，求甲、乙兩碼頭之間的距離．解：設(shè)甲、乙兩碼頭之間的距離是 x km.由順?biāo)叫袝r(shí)間＋逆水航行時(shí)間＝往返一次共用時(shí)間，得解得 x = 90. 答：甲、乙兩碼頭之間的距離是 90 km.4. 小明從家里騎自行車到學(xué)校，每小時(shí)騎15千米，可早到10分鐘；每小時(shí)騎12千米，就會(huì)遲到5分鐘，則他家到學(xué)校的路程是多少千米？解：設(shè)他家到學(xué)校的路程是 x 千米，依題意得解得 x =15. 答：他家到學(xué)校的路程是15 千米.例5 抗洪救災(zāi)小組在甲地有28人，乙地有15人，現(xiàn)在又調(diào)來(lái)17人，分配在甲、乙兩地，要求調(diào)配后甲地人數(shù)與乙地人數(shù)之比為3:2，求應(yīng)調(diào)至甲地和乙地各多少人？解：設(shè)應(yīng)調(diào)至甲地 x 人，則調(diào)至乙地的人數(shù)為 (17－ x)人，根據(jù)調(diào)配后甲乙兩地人數(shù)的數(shù)量關(guān)系得解得 x = 8. 則17-x=9.答：應(yīng)調(diào)至甲地 8 人，乙地 9 人. 5. 春節(jié)期間，甲、乙兩商場(chǎng)有某品牌服裝共450件，由于甲商場(chǎng)銷量上升，需從乙商場(chǎng)調(diào)運(yùn)該服裝50件，調(diào)運(yùn)后甲商場(chǎng)該服裝的數(shù)量是乙商場(chǎng)的2倍，求甲、乙兩商場(chǎng)原來(lái)各自有該品牌服裝的數(shù)量．解：設(shè)甲商城原來(lái)有該品牌服裝x件，則乙商城原來(lái)有該品牌 服裝（450-x）件，根據(jù)題意,得x+50=2[（450-x）-50]，解得x=250，則450-x=200．答：甲商城原來(lái)有該品牌服裝250件，乙商城原來(lái)有該品牌服裝200件.例6 一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)做8天完成，乙單獨(dú)做12天完成，丙單獨(dú)做24天完成．現(xiàn)甲、乙合作3天后，甲因有事離去，由乙、丙合作，則乙、丙還要幾天才能完成這項(xiàng)工作？解：設(shè)乙、丙還要 x 天才能完成這項(xiàng)工作，由甲、乙合作 3 天的工作量+乙、丙合作的工作量=1， 得解得 x = 3. 答：乙、丙還要3天才能完成這項(xiàng)工作解析：設(shè)這片地共有 x 公頃. 由題意，得 解得 x =189. 189例7 某個(gè)商品的進(jìn)價(jià)是 500 元，把它提價(jià) 40% 后作為標(biāo)價(jià). 如果商家要想保住 12% 的利潤(rùn)率搞促銷活動(dòng)，請(qǐng)你計(jì)算一下廣告上可寫(xiě)出最多打幾折?提示：提價(jià) 40％ 后，商品標(biāo)價(jià)為 500×(1+40％)，要保住 12％ 的利潤(rùn)率，商品的售價(jià)應(yīng)為500×(1+12％)，根據(jù) 可列方程.解：設(shè)最多可以打 x 折，根據(jù)題意得解得 x = 8.答：廣告上可寫(xiě)出最多打 8 折.7. 一家商店將某種商品按進(jìn)價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，節(jié)假日期間又以標(biāo)價(jià)打八折銷售，結(jié)果這種商品每件仍可獲利24元，問(wèn)這件商品的進(jìn)價(jià)是多少元？解：設(shè)這件商品的進(jìn)價(jià)是 x 元，根據(jù)題意得解得 x = 200.答：這件商品的進(jìn)價(jià)是 200 元.(1) 當(dāng)一次性購(gòu)物標(biāo)價(jià)總額是300元時(shí)，甲、乙超市實(shí)付款分別是多少？例8 小王逛超市看到如下兩個(gè)超市的促銷信息：假設(shè)兩家超市相同商品的標(biāo)價(jià)都一樣.解：當(dāng)一次性購(gòu)物標(biāo)價(jià)總額是300元時(shí)， 甲超市實(shí)付款：300×0.88=264 (元)， 乙超市實(shí)付款：300×0.9=270 (元).(2) 當(dāng)標(biāo)價(jià)總額是多少時(shí)，甲、乙超市實(shí)付款一樣？解：設(shè)當(dāng)標(biāo)價(jià)總額是 x 元時(shí)，甲、乙超市實(shí)付款一樣．由題意知，當(dāng) x ≤ 500 時(shí)，甲超市的促銷力度大于乙超市，此時(shí)，標(biāo)價(jià)總額一樣的條件下，甲超市實(shí)付款始終小于乙超市實(shí)付款，所以 x＞500． 根據(jù)題意得 0.88x = 500×(1－10％) + 0.8(x－500)， 解得 x = 625．答：當(dāng)標(biāo)價(jià)總額是 625 元時(shí)，甲、乙超市實(shí)付款一樣.(3) 小王兩次到乙超市分別購(gòu)物付款198元和466元，若他只去一次該超市購(gòu)買(mǎi)同樣多的商品，可以節(jié)省多少元？解：由題意知： ① 購(gòu)物標(biāo)價(jià)總額不超過(guò)200元，不予優(yōu)惠； ② 大于等于200元小于 500 元，實(shí)付款大于等于 200×0.9 =180 (元)，小于 500×0.9 = 450 (元)； ③大于等于500元，實(shí)付款大于等于450元. 小王第一次購(gòu)物付款 198 元＜200元，購(gòu)物標(biāo)價(jià)可 能是 198 元，也可能是198÷0.9=220 (元)， 第二次購(gòu)物付款 466 元＞450 元，所以購(gòu)物標(biāo)價(jià) 大于500元，為 (466－450)÷0.8+500 = 520 (元)， 所以，小王兩次購(gòu)物標(biāo)價(jià)之和為 198+520 = 718 (元)， 或 220+520 = 740 (元)． 若他只去一次該超市購(gòu)買(mǎi)同樣多的商品，實(shí)付款為 500×0.9 + 0.8(718－500) = 624.4 (元)，或 500×0.9 + 0.8(740-500) = 642 (元)， 可以節(jié)省 198+466－624.4 = 39.6 (元)，或 198+466－642 = 22 (元)． 答：若他只去一次該超市購(gòu)買(mǎi)同樣多的商品，可以 節(jié)省 39.6 元或 22 元．8. 甲、乙兩家超市以相同的價(jià)格出售同樣的商品，為了吸引顧客，各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲超市累計(jì)購(gòu)買(mǎi)商品超出 300 元之后，超出部分按原價(jià) 8 折優(yōu)惠；在乙超市累計(jì)購(gòu)買(mǎi)商品超出 200 元之后，超出部分按原價(jià) 8.5 折優(yōu)惠．設(shè)顧客累計(jì)購(gòu)物 x 元 (x＞300)． (1) 請(qǐng)用含 x 的代數(shù)式分別表示顧客在兩家超市購(gòu)物所付 的費(fèi)用；解：顧客在甲超市購(gòu)物所付的費(fèi)用為： 300+0.8(x－300) = (0.8x+60) 元 (x＞300)； 顧客在乙超市購(gòu)物所付的費(fèi)用為： 200+0.85(x－200) = (0.85x+30) 元 (x＞300)．(2) 李明準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi) 500 元的商品，你認(rèn)為他應(yīng)該去哪 家超市？請(qǐng)說(shuō)明理由．答：他應(yīng)該去乙超市，理由如下： 當(dāng) x =500 時(shí)，在甲超市購(gòu)物所付的費(fèi)用為： 0.8×500+60 = 460 (元)； 在乙超市購(gòu)物所付的費(fèi)用為： 0.85×500+30 = 455 (元). ∵460＞455， ∴他去乙超市劃算．(3) 計(jì)算一下，李明購(gòu)買(mǎi)多少元的商品時(shí)，到兩家超 市購(gòu)物所付的費(fèi)用一樣？解：由題意得 0.8x+60 = 0.85x+30. 解得 x = 600.答：李明購(gòu)買(mǎi)600元的商品時(shí)，到兩家超市購(gòu)物 所付的費(fèi)用一樣．9. 為鼓勵(lì)居民節(jié)約用電，某地對(duì)居民用戶用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定：每戶每月用電如果不超過(guò) 100 度，那么每度按 0.50 元收費(fèi)；如果超過(guò) 100 度不超過(guò) 200 度，那么超過(guò)的部分每度按 0.65 元收費(fèi)；如果超過(guò)200度，那么超過(guò)的部分每度按 0.75 元收費(fèi)． (1) 若居民甲在 6 月份用電 100 度，則他這個(gè)月應(yīng)繳納電費(fèi) 元； 若居民乙在 7 月份用電 200 度，則他這個(gè)月應(yīng)繳納電費(fèi) 元； 若居民丙在 8 月份用電 300 度，則他這個(gè)月應(yīng)繳納電費(fèi) 元；50115190(2) 若某戶居民在9月份繳納電費(fèi)310元，那么他這個(gè) 月用電多少度？解：設(shè)他這個(gè)月用電 x 度，根據(jù)題意得： 0.50×100+0.65×(200－100)+0.75×(x－200) = 310， 解得 x = 460．答：他這個(gè)月用電 460 度．課 堂 小 結(jié)一元一次方程相關(guān)概念方程、方程的解性質(zhì)1一元一次方程等式的性質(zhì)性質(zhì)2(1)(2)(3)(4)(5)模型應(yīng)用和、差、倍、分問(wèn)題利潤(rùn)、利息問(wèn)題行程問(wèn)題分段計(jì)費(fèi)、方案問(wèn)題解法步驟

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