2022-2023學年江西省吉安市泰和中學高一下學期7月月考數(shù)學試題 一、單選題1．下列五個寫法：①；②；③；④；⑤其中錯誤寫法的個數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)空集的定義，以及元素與集合，集合與集合的關(guān)系即可逐一判斷.【詳解】對于①; ，故錯誤，對于②；空集是任意集合的子集，故，故正確，對于③；任意集合是自身的子集，故，故正確，對于④，空集是不含任何元素的集合，故錯誤，對于⑤，0是元素，空集是集合，兩者不可以求交集，故錯誤，故選：C2．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是A． B． C． D．【答案】D【分析】利用奇函數(shù)偶函數(shù)的判定方法逐一判斷得解.【詳解】A.函數(shù)的定義域為R,關(guān)于原點對稱，,所以函數(shù)是偶函數(shù)；B.函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱. ,所以函數(shù)是奇函數(shù)；C.函數(shù)的定義域為R,關(guān)于原點對稱，,所以函數(shù)是偶函數(shù)；D. 函數(shù)的定義域為R,關(guān)于原點對稱，，，所以函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).故選D【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3．已知向量、滿足，，，則一定共線的三點是　　A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D【答案】A【分析】證明三點共線，借助向量共線定理判斷即可.【詳解】因為，，不存在常數(shù)使得，所以不共線，則A，B，C不共線，B錯；因為，，不存在常數(shù)，使得，所以不共線，則B，C，D不共線，C錯；因為，，所以不存在常數(shù)，使得，所以不共線，則A，C，D不共線，D錯；因為，所以共線，又兩向量都過點，故三點，，一定共線．故選：A．4．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，則“”是“是以、為底角的等腰三角形”的（    ）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】B【分析】利用余弦定理化簡等式，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可得出結(jié)論.【詳解】，，即，整理得，或，則是以、為底角的等腰三角形或以為直角的直角三角形.因此，“”是“是以、為底角的等腰三角形”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】本題考查必要不充分條件的判斷，同時也考查了余弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.5．已知，下列有關(guān)函數(shù)的說法，錯誤的是（    ）A．最小值為 B．最小值為0C．最大值為 D．當時，函數(shù)的圖象對稱軸為直線【答案】B【分析】對二次函數(shù)配方變形，再逐項分析、計算判斷作答.【詳解】當時，函數(shù)，當時，，即函數(shù)的最小值為，A正確，B錯誤；當時，，即函數(shù)的最大值為，C正確；當時，二次函數(shù)的圖象對稱軸為直線，D正確.故選：B6．已知函數(shù),下面結(jié)論錯誤的是（    ）A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C．函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱 D．函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱【答案】D【分析】用誘導公式化簡函數(shù)的解析式,然后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)對四個選項逐一判斷即可選出正確答案.【詳解】.選項A：函數(shù)的最小正周期為：,故本結(jié)論是正確的；選項B：由的性質(zhì)可知：在區(qū)間上是減函數(shù),因此函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),故本結(jié)論是正確的；選項C：,所以函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱,故本結(jié)論是正確的；選項D：的對稱點的坐標為,故本結(jié)論是錯誤的.故選：D【點睛】本題考查了余弦函數(shù)的性質(zhì),考查了誘導公式,屬于基礎(chǔ)題.7．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)遞減，則下面結(jié)論正確的是A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可判斷函數(shù)f（x）的周期為6，對稱軸為x＝3，所以有f（12.5）＝f（0.5），f（-4.5）＝f（1.5），f（3.5）＝f（2.5），因為0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且函數(shù)在（0，3）內(nèi)單調(diào)遞減，從而判斷大小【詳解】∵函數(shù)滿足，∴=，∴f（x）在R上是以6為周期的函數(shù)，∴f（12.5）＝f（12+0.5）＝f（0.5），又為偶函數(shù)，∴f（x）的對稱軸為x＝3，∴f（3.5）＝f（2.5），又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且在（0，3）內(nèi)單調(diào)遞減，∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）即f（3.5）＜f（-4.5）＜f（12.5）故選B．【點睛】本題主要考查了函數(shù)周期性與對稱性的推導，考查了周期與單調(diào)性的綜合運用，利用周期與對稱把所要比較的變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，是解決此類問題的常用方法，屬于中檔題．8．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，，點D在邊上，且，則線段長度的最小值為（    ）A． B． C．3 D．2【答案】A【分析】由已知條件和正弦定理，得，再由余弦定理得， .由向量的線性運算得，兩邊平方，可得，運用基本不等式可得選項.【詳解】由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，，∵，∴.由于，∴，兩邊平方，得，當且僅當時取等號，即，∴線段長度的最小值為.故選：A.【點睛】本題考查綜合運用正弦定理、余弦定理、向量的線性運算、向量的數(shù)量積運算，以及運用基本不等式求最值，屬于較難題. 二、多選題9．已知，則函數(shù)的值可能為（    ）A．3 B．-3 C．1 D．-1【答案】BC【解析】討論在第一象限；在第二象限；在第三象限；在第四象限；四種情況分別化簡得到答案.【詳解】，當在第一象限時：；當在第二象限時：當在第三象限時：當在第四象限時：故選：【點睛】本題考查了三角函數(shù)值化簡，分類討論是常用的數(shù)學方法，需要熟練掌握.10．下列命題中正確的是（    ）A．對于命題：，使得，則：，均有B．命題“已知，若，則或”是真命題；C．“”是“”的必要不充分條件；D．已知直線平面，直線平面，則“”是“”的必要不充分條件.【答案】BC【分析】根據(jù)含有一個量詞命題的否定可知A錯誤；寫出原命題的逆否命題并判斷其真假即可得B正確；不等式“”等價于“”，是“”的真子集，可知C正確；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理以及線面平行的性質(zhì)可知充分性成立，故D錯誤.【詳解】對于選項A，命題：“，使得”的否定應(yīng)該是“，均有”，所以A錯誤；對于選項B，易知命題“已知，若，則或”的逆否命題為“已知，若且，則”，顯然逆否命題為真命題；又因為原命題與其逆否命題有相同的真假性，所以原命題為真命題，即B正確；對于選項C，解對數(shù)不等式“”可得“”，易知“”是“”的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件，即C正確；對于選項D，若，直線平面，所以平面，又直線平面，所以，即充分性成立，所以D錯誤；故選：BC11．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（    ）A．在上單調(diào)遞增 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的圖象關(guān)于點（1，0）對稱 D．的值域為【答案】ACD【分析】先求出函數(shù)的定義域，化簡得， 令，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性和值域；化簡函數(shù)得到，，所以得到的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，最終得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域是（-1，3），． 令，易知在（-1，3）上單調(diào)遞增，所以，所以在（-1，3）上單調(diào)遞增，且值域為．故A，D正確．當時，，，，，所以，．所以的圖象關(guān)于點（1，0）對稱．故B錯誤，C正確.故選：ACD．【點睛】本題考查復合函數(shù)的性質(zhì)，涉及到函數(shù)的單調(diào)性和對稱性,屬于基礎(chǔ)題型.12．如圖，在邊長為的正方形中，、分別是邊、上的兩個動點，且，則的可能是（    ）  A． B． C． D．【答案】BC【分析】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，設(shè)，，其中，，根據(jù)勾股定理可得出，設(shè)，，其中，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可得出的取值范圍，即可得出合適的選項.【詳解】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，  設(shè)，，其中，，由勾股定理可得，即，則、、，則，，所以，，不妨設(shè)，，其中，則，則.故選：BC. 三、填空題13．函數(shù)的定義域是     【答案】【分析】要使函數(shù)有意義，只要滿足即可，然后解不等式組可得答案【詳解】解：函數(shù)，令，解得且；所以的定義域是.故答案為：，【點睛】此題考查函數(shù)的定義域，考查了對數(shù)函數(shù)，考查了一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題14．，均為正實數(shù)，，則的最小值為        .【答案】4【分析】直接利用基本不等式得，解出即可.【詳解】因為均為正實數(shù)，則由基本不等式得，解得或（舍去），當且僅當時等號成立，故答案為：4.15．在下列函數(shù)①；②；③；④ ；⑤ ；⑥中最小正周期為的函數(shù)的個數(shù)為          【答案】4【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期公式或周期函數(shù)的定義可判斷各項中函數(shù)的周期的存在性及其大小，從而可得所求的個數(shù).【詳解】①中，最小正周期為，正確.②中，的最小正周期為，把的圖象在軸上方的保持不動， 軸下方的部分翻折到軸上方，兩者結(jié)合為的圖象，故的最小正周期為，正確.③中，，最小正周期為，正確.④中，最小正周期為，不正確.⑤中，設(shè)的最小正周期為，對任意的，總有成立，故為的周期，因為任意的，總有成立，取，則，故，故，所以為的最小正周期.⑥中，為偶函數(shù)，令，若為周期函數(shù)且最小正周期為，則對任意的恒成立，故對任意的，總有成立，由的最小正周期為可得，但，故，矛盾，故不是周期函數(shù).故答案為：4.【點睛】本題考查周期函數(shù)的判斷，一般可依據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的周期性來考慮，必要時需根據(jù)定義來判斷，說明一個函數(shù)不是周期函數(shù)，可用反證法來考慮，本題屬于中檔題.16．已知,函數(shù)，，若函數(shù)有6個零點，則實數(shù)的取值范圍是          .【答案】【詳解】函數(shù)，當時，即時，則當時，即時，則當即時，只與的圖象有兩個交點，不滿足題意，應(yīng)該舍去；當時，與的圖象有兩個交點需要直線只與的圖象有四個交點時才滿足題意，又，解得故實數(shù)的取值范圍是點睛：本題考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，結(jié)合復合函數(shù)后難度較大，要先求出復合函數(shù)的解析式，然后根據(jù)交點個數(shù)情況進行分類討論，理清函數(shù)圖象的交點問題是本題的關(guān)鍵 四、解答題17．（1）解關(guān)于的不等式；（2）已知，證明：.【答案】（1）不等式的解為（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法運算求解；（2）整理可得，進而結(jié)合基本不等式分析證明.【詳解】（1）令，解得或，因為，所以不等式的解為；（2）因為，則，可得，當且僅當，即時，等號成立，故不等式成立.18．已知平面直角坐標系內(nèi)三點A、B、C在一條直線上，，，，且⊥，求實數(shù)m，n的值.【答案】或【分析】由已知向量的坐標求出的坐標，由∥列關(guān)于m，n的方程，再由⊥得到關(guān)于m，n的另一方程，聯(lián)立后求得m，n的值.【詳解】由于A、B、C三點在一條直線上，則∥，而，，∴，即9﹣5m+mn+n＝0，又，∴﹣2n+m＝0，聯(lián)立方程組，解得或故m，n的值為或19．如圖，在三棱柱中，，，分別為，，的中點．(1)求證：平面平面；(2)若平面，求證：為的中點．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析． 【分析】（1）由已知可得，得到平面，同理得到平面，再由面面平行的判定可得平面平面；（2）由公理及平面與平面平行的性質(zhì)得，則，由為的中點，可得為的中點．【詳解】（1）證明：如圖，，分別為，的中點，，平面，平面，平面，又，分別為，的中點，，又，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，又，平面，平面平面；（2）證明：平面平面，平面平面，平面與平面有公共點，則有經(jīng)過的直線，交于G，則，得，為的中點，為的中點．20．已知函數(shù)，若把圖象上所有的點向左平行移動個單位后，得到函數(shù)的圖象（1）求函數(shù)的解析式，并寫出的單調(diào)增區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，，求滿足的實數(shù)x的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】（1）通過平移變換得到，令，解不等式即可得到本題答案；（2）利用和差公式和輔助角公式，化簡得，根據(jù)， ，即可確定x的取值范圍.【詳解】（1）由題意，得，令，得，則單調(diào)增區(qū)間為.（2）由題意，得由，得，又，得到，解得，或，或，即，或，或，即.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換、利用和差公式與輔助角公式化簡，以及三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用.21．已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，S為的面積，．（1）證明：；（2）若，且為銳角三角形，求S的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）利用三角形面積公式表示S，結(jié)合余弦定理和正弦定理，建立三角函數(shù)等式，證明結(jié)論，即可．（2）結(jié)合三角形ABC為銳角三角形，判定tanC的范圍，利用tanC表示面積，結(jié)合S的單調(diào)性，計算范圍，即可．【詳解】(1)證明：由，即，，，，，，，，，，，，，B，，．(2)解：，，．且，，，為銳角三角形，，，，為增函數(shù)，．【點睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面積公式，考查了函數(shù)單調(diào)性判定，難度偏難．22．如圖，將斜邊長為的等腰直角沿斜邊上的高折成直二面角，為中點. （1）求二面角的余弦值；（2）為線段上一動點，當直線與平面所成的角最大時，求三棱錐外接球的體積.【答案】（1）.（2）【分析】(1)設(shè)為中點，連接?得出平面，由平面幾何可知，，則就是二面角的平面角，在中求解.(2) 設(shè)直線與平面所成的角為,點到平面的距離為，則，由等體積法可得求得，當最小時，直線與平面所成的角的正弦值最大，此時所成角也最大，從而當為中點時，直線與平面所成的角最大，此時，可求出三棱錐外接球的體積.【詳解】解法一：（1）設(shè)為中點，連接?.∵為等腰直角三角形，且二面角為直二面角，∴平面∴，，由平面幾何可知，，∴，，∴就是二面角的平面角，在中，，，，∴，∴二面角的余弦值為.（2）設(shè)直線與平面所成的角為，點到平面的距離為，則，在三棱錐中，，由，求得，∴當最小時，直線與平面所成的角的正弦值最大，此時所成角也最大，∴當為中點時，直線與平面所成的角最大，此時.由平面幾何知識可知，和都是直角三角形，設(shè)為的中點，則，∴三棱錐外接球的半徑為，∴外接球的體積.解法二：（1）∵為等腰直角三角形，且二面角為直二面角，∴平面，∴，∴以為坐標原點，以??所在直線為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標系.∵在平面圖形中，是斜邊為的等腰直角三角形，且為高的中點，∴，，，，，∴，，，設(shè)平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，由，得，令，則∴，同理可求得，∴，∴二面角的余弦值為.（2）如圖，設(shè)，可得，∴，又由（1）可知平面的法向量為，∴，即直線與平面所成的角的正弦值為，∵，∴，當且僅當時，等號成立.∴當為中點時，直線與平面所成的角最大，此時.由平面幾何知識可知，和都是直角三角形，設(shè)為的中點，則，∴三棱錐外接球的半徑為，∴外接球的體積.【點睛】本題考查求二面角的余弦值和三棱錐外接球的體積的求法，考查空間線線、線面、面面的位置關(guān)系，屬于中檔題. 

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