2022-2023學年江西省吉安市井岡山大學附屬中學高一上學期期末數(shù)學試題 一、單選題1．下列說法正確的是A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，A中，是無理數(shù)，B中，，C中，不是自然數(shù)，可判定A、B、C都不正確，即可得到答案.【詳解】由題意，對于A中，是無理數(shù)，所以不正確；對于B中，，所以不正確；對于C中，不是自然數(shù)，所以不正確；故選D.【點睛】本題主要考查了常見數(shù)集的表示問題，以及元素與集合的關系，其中解答中熟記常見數(shù)集的表示形式，以及元素與集合的關系是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.2．已知全集為，則有（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別解不等式和，利用數(shù)軸進行集合的運算.【詳解】或，,且且，所以A錯誤；或,所以B正確；或，所以C錯誤；或，所以D錯誤.故選：B.3．下列函數(shù)中，在區(qū)間上是增函數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】去絕對值寫成分段函數(shù)的形式結合一次函數(shù)和冪函數(shù)的性質判斷單調性，可判斷A，B；由反比例函數(shù)的單調性可判斷C；由一次函數(shù)的單調性可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：，所以滿足在上是增函數(shù)，故選項A正確；對于B：，因為在上是增函數(shù)，所以在上單調遞減，在上單調遞增，不符合題意，故選項B不正確；對于C：在和上都是增函數(shù)，定義域為，不滿足在上單調遞增，故選項C不正確；對于D：在上單調遞減，故選項D不正確；故選：A.4．函數(shù)的圖象（    ）A．關于原點成中心對稱B．關于軸成軸對稱C．既關于原點成中心對稱又關于軸成軸對稱D．既不關于原點成中心對稱也不關于軸成軸對稱【答案】A【分析】先求出函數(shù)的定義域關于原點對稱，再證明函數(shù)是奇偶性，即得解.【詳解】解：設，由題得，所以函數(shù)的定義域關于原點對稱.所以，所以.所以，，所以函數(shù)是奇函數(shù).所以其圖象關于原點成中心對稱，不關于軸成軸對稱.故選：A5．《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年雕刻的青銅雕像，它取材于現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間．現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的每只手臂長約，肩寬約為，“弓”所在圓的半徑約為，則如圖擲鐵餅者雙手之間的距離約為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意知這段弓所在弧長，結合弧長公式求出其所對圓心角，雙手之間的距離為其所對弦長．【詳解】由題得：弓所在的弧長為：；所以其所對的圓心角；兩手之間的距離m．故選：B6．已知，，用表示，中的較大者，記為，當時，的值域為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】兩函數(shù)作差得，分和討論得到，再求出此分段函數(shù)值域即可.【詳解】，因為,所以,當時,,,所以,當時，,,所以,所以,當時,單調遞減,所以,即,當時,單調遞增,所以,即,綜上,,即的值域為.故選：D.7．設定義在R上的奇函數(shù)滿足，對任意（0,＋∞),且都有,且f(2)＝0，則不等式≤0的解集為(　 　)A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．[－2,0]∪[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪(0,2] D．[－2,0)∪(0,2]【答案】A【分析】由可得函數(shù)在上是增函數(shù)，由奇偶性可知函數(shù)在上也是增函數(shù)，不等式，化為，再由，數(shù)形結合可得不等式的解集.【詳解】由題意可得，奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，對任意，且，因為所以時，總有成立，可得函數(shù)在上是增函數(shù)，故函數(shù)在上也是增函數(shù)，由不等式，可得，再由可得，或可得或，即不等式的解集是，故選A.【點睛】本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調性的應用，屬于難題.將奇偶性與單調性綜合考查一直是命題的熱點，解這種題型往往是根據函數(shù)在所給區(qū)間上的單調性，根據奇偶性判斷出函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性(偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反，奇函數(shù)在對稱區(qū)間單調性相同)，然后再根據單調性列不等式求解.8．已知函數(shù)滿足，當時，.若函數(shù)在區(qū)間上有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（    ） A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，，畫出圖象，將零點問題轉化為兩函數(shù)交點問題，求出當與相切時直線的斜率，再求出當直線過點時，，從而求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，，故，故，，作函數(shù)與函數(shù)的圖象如下，設直線l與，相切，設切點為，，則由導數(shù)的幾何意義可得，= ，可得切點橫坐標為n=e，故切線斜率為，當直線過點時，，所以要想在區(qū)間上有三個不同的零點，需要滿足故實數(shù)a的取值范圍是.故選：A． 二、多選題9．下列說法中，正確的有（    ）A．設全集為，若，則B．若，則C．若，則D．若對，恒成立，則實數(shù)的最大值為2【答案】ABD【分析】根據集合的運算性質可判斷A；利用作差法比較大小可判斷B、C；由基本不等式求出最小值，由求出的范圍可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：若，則，故選項A正確；對于B：若，則，則，故選項B正確；對于C：，則，所以，故選項C不正確；對于D：對，，所以當時，取得最小值為，所以，則實數(shù)的最大值為2，故選項D正確；故選：ABD．10．.函數(shù)對任意總有，當時，，，則下列命題中正確的是（    ）A．是偶函數(shù)B．是上的減函數(shù)C．在上的最小值為D．若，則實數(shù)的取值范圍為【答案】CD【分析】函數(shù)是奇函數(shù)，所以選項A錯誤；函數(shù)是上的增函數(shù)，所以選項B錯誤；在上的最小值為，所以選項C正確；實數(shù)的取值范圍為，所以選項D正確.【詳解】解：取，，則，解得，令，則，即，函數(shù)是奇函數(shù)，所以選項A錯誤；令，且，則，因為當時，，所以，則，即，函數(shù)是上的增函數(shù)，所以選項B錯誤；因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以函數(shù)在上的最小值為，，，，故，在上的最小值為，所以選項C正確；，即，因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為，所以選項D正確.故選：CD.11．下列說法正確的是（    ）A．若，且，則a，b至少有一個大于2B．“，”的否定是“，”C．“，”，是“”的必要不充分條件D．中，A是最大角，則“”是為鈍角三角形”的充要條件【答案】ABD【分析】A選項采用反證法，B選項根據特稱命題的否定可以直接判斷，C選項舉反例即可判斷，D選項結合正余弦定理以及充要條件的概念即可判斷.【詳解】對于A項，假設a，b都小于或等于2，則，這與已知矛盾，故A項正確；對于B項，特稱命題的否定要改成全稱命題，故B項正確；對于C項，當時，如，不能推出，故C項錯誤；對于D項，由得，由得A為鈍角，為鈍角三角形，反之，若為鈍角三角形，且A為最大角，所以A為鈍角，所以，所以，故D項正確.故選:ABD．12．已知函數(shù)，若關于的方程有5個不同的實根，則實數(shù)可能的取值有（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由解析式結合導數(shù)研究的性質，并畫出函數(shù)圖象，再根據方程有5個不同實根，令結合圖象判斷的范圍，進而列不等式求的范圍即可.【詳解】當時，，易知在上遞減，上遞增，故；當時，，則單調遞減，且，∴圖象如下圖示：由題設：令，則方程有2個不同的實根，則，可得或，若：則或，令，∴或(舍)，∴綜上，可得.故選：BC【點睛】關鍵點點睛：應用導數(shù)研究分段函數(shù)的性質，并畫出草圖，由方程有5個不同實根問題轉化為與的交點問題求參數(shù)范圍. 三、填空題13．設不等式>0的解集為集合A，關于x的不等式＋(2a－3)x＋－3a＋2<0的解集為集合B．若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是        ．【答案】【分析】化簡集合A,B，根據A?B，結合數(shù)軸可以得出，求解即可.【詳解】由題意知A＝{x|(4－x)(x－2)>0}＝{x|2<x<4}，B＝{x|(x＋a－2)(x＋a－1)<0}＝{x|1－a<x<2－a}．若A?B，則可得－2≤a≤－1.【點睛】本題主要考查了集合的子集的概念，屬于中檔題.14．若直線與曲線相交于A，B兩點，O為坐標原點，當的面積取最大值時，實數(shù)m的取值    ．【答案】【分析】點O到的距離，將的面積用表示出來，再利用均值不等式得到答案.【詳解】曲線表示圓心在原點，半徑為1的圓的上半圓，若直線與曲線相交于A，B兩點，則直線的斜率，則點O到的距離，又，當且僅當，即時，取得最大值．所以，解得舍去)．故答案為．【點睛】本題考查了點到直線的距離，三角形面積，均值不等式，意在考查學生的計算能力.15．記為不超過的最大整數(shù)，如，則函數(shù)的所有零點之和為        .【答案】【分析】由，令，求導利用函數(shù)單調性可證得在上無零點，只需考慮：，，，求解即可.【詳解】由題意可知： .令.有：.所以在上單調遞減，有，所以在上無零點，只需考慮：，，，可得三個零點分別為，故答案為．【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的零點問題，屬于中檔題.16．設函數(shù)的表達式（且）， 是定義域為R的奇函數(shù)．若，且關于x的不等式的解集為R，則實數(shù)t的取值范圍是      ．【答案】【分析】根據函數(shù)的奇偶性求得k的值，結合確定a的范圍，進而判斷函數(shù)的單調性，從而將解集為R轉化為在R上恒成立，利用判別式可得不等式，即可求得答案.【詳解】∵是定義域為R的奇函數(shù)，∴，∴，∴，則，滿足,即，由，則 ，∵且，∴ ，解得，∵在R上單調遞減，在R上單調遞增，故在R上單調遞減，不等式化為，關于x的不等式的解集為R，∴在R上恒成立 ，即在R上恒成立，∴ ，解得，即實數(shù)t的取值范圍是，故答案為： 四、解答題17．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m+1，m∈A}．(1)求圖中陰影部分表示的集合C；(2)若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D?（A∪B），求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1){x|1≤x＜2}(2)（2，3] 【分析】（1）根據條件求出集合A，B結合Venn圖即可求圖中陰影部分表示的集合C；（2）根據集合關系進行轉化求解即可．【詳解】（1）因為，．所以B＝{x|2≤x≤4}，根據題意，由圖可得：，因為B＝{x|2≤x≤4}，則＝{x|x＞4或x＜2}，而A＝{x|1≤x≤3}，則；（2）因為集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，所以A∪B＝{x|1≤x≤4}，若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D?（A∪B），則有，解得2＜a≤3，即實數(shù)a的取值范圍為（2，3]．18．已知函數(shù)，其中，求的極值．【答案】分類討論，詳見解析【分析】由函數(shù)，求導得到，然后令，得，，再分和兩種情況討論求解.【詳解】因為，其中，所以，令，得，．（1）當時，，則隨著的變化，，的變化情況如下表：＋0－0＋↗極大值↘極小值↗所以當時，函數(shù)取得極大值；當時，函數(shù)取得極小值．（2）當時，，則隨著的變化，，的變化情況如下表：＋0－0＋↗極大值↘極小值↗所以當時，函數(shù)取得極大值；當時，函數(shù)取得極小值．綜上，當時，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值0；當時，函數(shù)在處取得極大值0，在處取得極小值．【點睛】本題主要考查導數(shù)與函數(shù)的極值，還考查了分類討論思想和運算求解的能力，屬于中檔題.19．已知命題成立．命題對，都有成立．（1）若命題q為真命題，求m的取值范圍．（2）若命題p和命題q有且只有一個命題是真命題，求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）利用基本不等式求出的最小值，然后代入不等式可求出結果；（2）分別求出兩個命題為真命題時，的范圍，再分兩種情況討論可求出結果.【詳解】（1）因為命題q為真命題，則對，都有成立．因，所以，因為，當且僅當時等號成立，所以，即.（2）由命題為真命題，得，解得或，當命題為真命題時，命題為假命題，可得或，當命題為假命題時，命題為真命題，可得，綜上所述：m的取值范圍是或.20．某城市居民每月自來水使用量x與水費之間滿足函數(shù)，當使用4m3時，繳費4元，當使用27m3時，繳費14元；當使用35m3時，繳費19元．(1)求實數(shù)A、B、C的值；(2)若某居民使用29m3水，應該繳水費多少元？【答案】(1)A＝11，B，C＝4；(2)15.25元. 【分析】（1）由題意，結合分段函數(shù)解析式可得C＝4，再由待定系數(shù)法求A、B的值；（2）由（1）所得的解析式，計算居民使用29m3水應繳水費即可.【詳解】（1）由題意，易知：C＝4，將(27,14)，(35,19)代入，得：，解得A＝11，B；綜上，A＝11，B，C＝4．（2）由（1）知，，當x＝29時，15.25；∴該居民使用29m3水時，應該繳水費15.25元．21．海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋，下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深值（單位：m）記錄表．時刻（t）0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深值（s）5.07.55.02.55.07.55.02.55.0據分析，這個港口的水深值與時間的關系可近似地用三角函數(shù)來描述．（1）根據表中數(shù)據，做出函數(shù)簡圖：（2）結合數(shù)據、圖像等因素，選用你認為恰當?shù)娜呛瘮?shù)，求出解析式；并估計11:00時的水深值；（3）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為，安全條例規(guī)定至少要有的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進入港口？在港口能停多久？【答案】（1）作圖見解析；（2），3.75米；（3）貨船可以在1時進港，5時出港或中午13時進港，17時出港，每次可以在港口停留4小時.【分析】（1）根據圖中的數(shù)據，描點作出函數(shù)的圖象；（2）選擇函數(shù)，利用函數(shù)的最值，周期，以及“五點”中的值，分別求參數(shù)，即可求得函數(shù)的解析式，并求當時，求的值；（3）由條件轉化為，解不等式，即可求得停留的時間.【詳解】（1）（2）根據圖象可考慮用函數(shù)刻畫水深與時間的關系，從數(shù)據和圖象可得：∴       易知，所以，∴．        ∴當時，（米）          （3）貨船的安全水深為（米）當時可以進港，于是有，整理得解得：         又∵∴當時，；當時，所以，貨船可以在1時進港，5時出港或中午13時進港，17時出港，每次可以在港口停留4小時22．已知函數(shù)的圖象過點，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設，若對于任意，都有，求m的取值范圍.【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）由已知求得，，代入即可得到，；（2）已知可轉化為，即轉化為求在上的最大值，由已知可得，，根據二次函數(shù)的性質可知所以的最大值在或處取得.作差可得.即可得到，.令，根據定義法證明在時的單調性，根據單調性求解不等式，即可求出m的取值范圍.【詳解】（1）解：由已知可得，，所以，所以，定義域為.所以有，，.（2）解：若對于任意，都有，只需滿足成立.由（1）知，，對稱軸為.由，可得，，所以，即有.根據二次函數(shù)的性質，可得在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最大值在或處取得.又，，，又，所以，所以，所以.由成立，可得，，即，.令，，則原不等式等價于.，且設，則，因為，，所以，，，所以，所以，所以.所以，所以，所以在上單調遞增.又，則由，可解得. 

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