2024屆江西省泰和中學(xué)高三7月暑期質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)榧?/span>，，，所以，所以.故選：C.2．已知事件A，B滿足，，，則的值是（    ）A．0.7 B．0.42 C．0.5 D．0.6【答案】D【分析】由條件概率的計(jì)算公式，代入計(jì)算即可.【詳解】.故選：D.3．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意可得，再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，解得，所以．故選：C．4．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（    ）A．2 B．0 C．1 D．-1【答案】D【分析】利用函數(shù)的周期性求解.【詳解】由得，所以，所以函數(shù)的周期為，所以，因?yàn)?/span>，所以，故選：D.5．已知，則的解析式為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用換元法即可得解.【詳解】令，則，又，所以，則，故選：C.6．指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象可能是（    ）  A．   B．  C．   D．  【答案】B【分析】先由指數(shù)函數(shù)的圖象判斷出，進(jìn)而分析出二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，即可解出.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的圖象可知：.令，解得，則，對(duì)應(yīng)只有B選項(xiàng)符合題意.故選：B7．若直線與曲線相切，則k的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)數(shù)的取值范圍，即可求解.【詳解】，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，.故選：A8．已知函數(shù)，其中，若對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)，存在唯一的非零實(shí)數(shù)（），使得成立，則的取值范圍為（   ）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意確定在 附近的左右兩側(cè)函數(shù)值相等，再根據(jù)方程有解得結(jié)果.【詳解】由于函數(shù)其中 ，則 時(shí)， 又由對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)，存在唯一的非零實(shí)數(shù)（），使得成立，∴函數(shù)必須為連續(xù)函數(shù)，即在 附近的左右兩側(cè)函數(shù)值相等， 即 有實(shí)數(shù)解，所以 解得 或故選：C． 二、多選題9．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)表可知A正確；易知，利用對(duì)數(shù)和冪函數(shù)公式可得B正確；利用求導(dǎo)的除法法則可得，所以C錯(cuò)誤；利用復(fù)合函數(shù)及導(dǎo)數(shù)乘法運(yùn)算法則可得D正確.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式表可知，即A正確；對(duì)于B，易知，所以B正確；對(duì)于C，利用求導(dǎo)的除法法則可知，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)及乘法運(yùn)算法則得，所以D正確；故選：ABD10．已知函數(shù)關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（    ）A．的定義域?yàn)?/span>R B．的值域?yàn)?/span>C．若，則x的值是 D．的解集為【答案】BC【分析】求出分段函數(shù)的定義域可判斷A；求出分段函數(shù)的值域可判斷B；分、兩種情況令求出可判斷C；分、兩種情況解不等式可判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域是，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，值域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，值域?yàn)?/span>，故的值域?yàn)?/span>，故B正確；當(dāng)時(shí)，令，無解，當(dāng)時(shí)，令，得到，故C正確；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，令，解得，故的解集為，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11．下列說法中，正確的有（    ）A．已知，則數(shù)列是遞減數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)，若為單調(diào)遞增數(shù)列，則C．已知正項(xiàng)等比數(shù)列，則有D．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則【答案】ABD【分析】由，可判定A；恒成立，可判定B；根據(jù)，，得到，可判定C；由構(gòu)成等差數(shù)列，列出方程求得，可判定D.【詳解】對(duì)于A中，由，可得，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，所以正確；對(duì)于B中，若數(shù)列的通項(xiàng)，則恒成立，所以，所以B正確；對(duì)于C中，正項(xiàng)遞增的等比數(shù)列，若，可得，此時(shí)，所以C不正確；對(duì)于D中，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為且，根據(jù)構(gòu)成等差數(shù)列，即構(gòu)成等差數(shù)列，可得，解得，所以D正確.故選：ABD.12．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則（   ）A．ab的最大值為8 B．的最小值為8C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ABC【分析】對(duì)條件進(jìn)行變形，利用不等式的基本性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)一一分析即可.【詳解】因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解不等式得，即，故的最大值為8，A正確；由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值8，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，D錯(cuò)誤．故選：ABC． 三、填空題13．已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且，，那么               .【答案】【分析】根據(jù)概率之和為1即可求解.【詳解】由題意可知，解得.故答案為：.14．函數(shù)的最小值為        .【答案】1【分析】先求定義域,然后根據(jù)兩個(gè)增函數(shù)的和仍為增函數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性求得最小值.【詳解】由函數(shù)有意義可得,所以,所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,因?yàn)楹瘮?shù)和在定義域內(nèi)均為增函數(shù)，所以函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí),.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷,利用單調(diào)性求函數(shù)的最小值,屬于基礎(chǔ)題.15．已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則          .【答案】【分析】分析可知是正奇數(shù)列，根據(jù)題意求得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是正奇數(shù)列，對(duì)于數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則為偶數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則為奇數(shù)，所以，，則，因此，.故答案為：.16．已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是             ．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)法，作出函數(shù)的大致圖象，令，或，由沒有解，得到的解的個(gè)數(shù)與方程解的個(gè)數(shù)相等求解.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，與一次函數(shù)相比，函數(shù)增長更快，從而，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，與對(duì)數(shù)函數(shù)相比，一次函數(shù)增長更快，從而當(dāng)，且時(shí)，，根據(jù)以上信息，可作出函數(shù)的大致圖象：  令，得或，由圖象可得沒有解，所以方程的解的個(gè)數(shù)與方程解的個(gè)數(shù)相等，而方程的解的個(gè)數(shù)與函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)相等，由圖可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)．故答案為： 四、解答題17．某騎行愛好者近段時(shí)間在專業(yè)人士指導(dǎo)下對(duì)騎行情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，各次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評(píng)分x與對(duì)應(yīng)用時(shí)y（單位：小時(shí)）如下表：身體綜合指標(biāo)評(píng)分12345用時(shí)（/小時(shí)）9.58.67.876.1(1)由上表數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立關(guān)于的回歸方程.參考數(shù)據(jù)和參考公式：相關(guān)系數(shù)，，，【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可分別計(jì)算出與的平均值，再代入計(jì)算可得相關(guān)系數(shù)近似為，即可知與相關(guān)程度較高；（2）根據(jù)（1）中的計(jì)算結(jié)果可得，代入計(jì)算可得，即可求得關(guān)于的回歸方程.【詳解】（1）由題意得，，，，因此相關(guān)系數(shù).即相關(guān)系數(shù)近似為，與負(fù)相關(guān)，且相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；（2）由（1）中數(shù)據(jù)，得，，所以關(guān)于的回歸方程為.18．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)試求出所有的正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，均有．【答案】(1)(2)或10或11． 【分析】（1）利用基本量法可求首項(xiàng)與公差，故可求通項(xiàng).（2）求出及其最小值，故可得關(guān)于的不等式，據(jù)此可求所有的正整數(shù).【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，解得，故．（2）由（1）可知，．當(dāng)時(shí)，取得最小值-100．由恒成立，得，解得．因?yàn)?/span>，所以或10或11．19．已知函數(shù)（）.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)極小值為，無極大值.(2)的取值范圍是. 【分析】（1）先求函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)的關(guān)系求極值點(diǎn)，再求極值即可；（2）由條件可知在上恒成立，再分離變量求最值即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，  求導(dǎo)得，整理得：.令可得，或（舍去）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極小值，極小值為，函數(shù)無極大值；（2）由已知時(shí)，恒成立，所以恒成立，即恒成立，則.令函數(shù)，由知在單調(diào)遞增，從而.經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是常函數(shù)，所以的取值范圍是.20．記，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．(1)求，并證明是等差數(shù)列；(2)求．【答案】(1)，證明見解析(2) 【分析】（1）利用與前n項(xiàng)和的關(guān)系，由可得的值，即可求得的值；根據(jù)相減法求得為常數(shù)，證明其為等差數(shù)列；（2）由（1）中數(shù)列為等差數(shù)列，對(duì)進(jìn)行奇偶討論，即可求得.【詳解】（1）解：已知，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以．因?yàn)?/span>①，所以②．②－①得，，整理得，，所以（常數(shù)），，所以是首項(xiàng)為6，公差為4的等差數(shù)列．（2）解：由（1）知，，，．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．綜上所述，.21．某校為增強(qiáng)學(xué)生保護(hù)生態(tài)環(huán)境的意識(shí)，舉行了以“要像保護(hù)眼睛一樣保護(hù)自然和生態(tài)環(huán)境”為主題的知識(shí)競賽．比賽分為三輪，每輪先朗誦一段愛護(hù)環(huán)境的知識(shí)，再答道試題，每答錯(cuò)一道題，用時(shí)額外加秒，最終規(guī)定用時(shí)最少者獲勝．已知甲、乙兩人參加比賽，甲每道試題答對(duì)的概率均為，乙每道試題答對(duì)的概率均為，甲每輪朗誦的時(shí)間均比乙少秒，假設(shè)甲、乙兩人答題用時(shí)相同，且每道試題是否答對(duì)互不影響．(1)若甲、乙兩人在第一輪和第二輪答對(duì)的試題的總數(shù)量相等，求最終乙獲勝的概率；(2)請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)解釋甲和乙誰獲勝的可能性更大．【答案】(1)(2)甲獲勝的可能性更大，理由見解析 【分析】（1）分析可知第三輪答題中乙要比甲多答對(duì)道題以上才能獲勝，對(duì)甲、乙答對(duì)試題的數(shù)量進(jìn)行分類討論，結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）設(shè)甲在比賽中答錯(cuò)的試題數(shù)量為，乙在比賽中答錯(cuò)的試題數(shù)量為，分析可知，，計(jì)算出兩人因答錯(cuò)試題而額外增加的時(shí)間的期望值，并算比較兩人所用的時(shí)間的期望的大小，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：因?yàn)榧?、乙兩人在第一輪和第二輪答?duì)的試題的總數(shù)量相同，且甲每輪朗誦的時(shí)間均比乙少秒，所以，第三輪答題中乙要比甲多答對(duì)道題以上才能獲勝，若乙答對(duì)道試題，甲答對(duì)道試題，概率為，若乙答對(duì)道試題，甲答對(duì)道或道試題，概率為，所以，乙獲勝的概率為.（2）解：設(shè)甲在比賽中答錯(cuò)的試題數(shù)量為，乙在比賽中答錯(cuò)的試題數(shù)量為，則，，由二項(xiàng)分布的期望公式可得，，則因甲答錯(cuò)試題額外增加的時(shí)間的期望值為秒，乙因答錯(cuò)試題額外增加的時(shí)間的期望值為秒，因?yàn)槿喼?，甲朗誦的時(shí)間比乙少秒，所以，甲最后所用的時(shí)間的期望比乙少秒，所以，甲獲勝的可能型更大.22．已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．【答案】(1)(2)證明見的解析 【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)?/span>，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?/span>,即證又因?yàn)?/span>,故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上, ,所以.[方法二]：對(duì)數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解又因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，故兩邊取對(duì)數(shù)得：，即又因?yàn)?/span>，故，即下證因?yàn)?/span>不妨設(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛 ：本題是極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握  

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