?江西省吉安市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題
學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、單選題
1．已知角的集合，則在內(nèi)的角有（????）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2．若復(fù)數(shù)滿足，則（????）
A． B． C． D．
3．已知向量，互相垂直，則（????）
A．3 B． C．9 D．18
4．的最小值為（????）
A． B． C． D．
5．已知a為直線，，為平面，，，若成立，則需要的條件為（????）
A． B．
C． D．，
6．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，再把得到的曲線上所有的點（????）
A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
7．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表了一個令人贊美的歐拉線定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條直線稱為歐拉線．其中重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．已知M，N，P分別為的外心、重心、垂心，則下列結(jié)論錯誤的是（????）
A． B．
C． D．
8．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為“鱉臑”．若三棱錐為鱉臑，平面，，，，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，當(dāng)三棱錐的體積最大時，球的表面積為（????）
A． B． C． D．

二、多選題
9．已知復(fù)數(shù)（為純虛數(shù)），則（????）
A．不可能為純虛數(shù)
B．若復(fù)數(shù)為實數(shù)，則
C．的最小值為
D．若復(fù)平面內(nèi)表示的點位于上，則
10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（????）

A．
B．
C．的單調(diào)遞減區(qū)間為，
D．的圖象關(guān)于直線對稱
11．質(zhì)點A和B在以坐標(biāo)原點O為圓心、半徑為1的上逆時針作勻速圓周運動，同時出發(fā)．A的角速度大小為，起點為與x軸正半軸的交點；B的角速度大小為1rad/s，起點為射線與的交點．當(dāng)A與B重合時，點A的坐標(biāo)可以是（????）
A． B．
C． D．
12．如圖，在圓錐PO中，已知圓O的直徑，點C是底面圓O上異于A的動點，圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形．，則（????）
??
A．面積的最大值為
B．的值與的取值有關(guān)
C．三棱錐體積的最大值為
D．若，AQ與圓錐底面所成的角為，則

三、填空題
13．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式的結(jié)果為 ．
14． ．
15．古希臘的哲學(xué)家柏拉圖證明只存在5種正多面體，即正四、六、八、十二、二十面體，其中正八面體是由8個正三角形構(gòu)成．如圖，若正八面體的體積為，則它的內(nèi)切球半徑為 ．
??

四、雙空題
16．直角坐標(biāo)系和斜坐標(biāo)系都是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)明的．設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量．若，則把有序數(shù)對叫做向量在斜坐標(biāo)系下的坐標(biāo)．設(shè)，．
（1）若，則 ；
（2）若，則 ．

五、解答題
17．已知．
(1)求，的值；
(2)若，求，的值．
18．如圖，在三棱錐中，，點D，M分別為AC，PB的中點，．

(1)證明：//平面BDF；
(2)若平面//平面BDF，其中平面，，證明：AN是AM在平面PAC上的投影．
19．①，②，在這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并給予解答．
問題：的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，三角形面積，______，求的值．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．
20．某人承包一塊荒地種植藍(lán)莓，原種植區(qū)域為，由于經(jīng)濟(jì)效益較好，現(xiàn)準(zhǔn)備擴(kuò)大種植面積．如圖，延長BC到D，使，以AD為底邊向外作頂角為的等腰三角形ADE．已知，設(shè)，．

(1)求周長的取值范圍；
(2)求四邊形區(qū)域ABDE面積的最大值．
21．在中，，，若D是AB的中點，則；若D是AB的一個三等分點，則；若D是AB的一個四等分點，則．
????
(1)如圖①，若，用，表示，你能得出什么結(jié)論？并加以證明．
(2)如圖②，若，，AM與BN交于O，過O點的直線l與CA，CB分別交于點P，Q．
①利用（1）的結(jié)論，用，表示；
②設(shè)，，求證：為定值．
22．已知E，F(xiàn)分別為的重心和外心，D是BC的中點，，．
??
(1)求BE；
(2)如圖，P為平面ABC外一點，平面ABC，二面角的正切值為4．
①求證：；
②求三棱錐的外接球的體積．

參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)給定條件，解不等式，求出k的值即可作答.
【詳解】依題意，解不等式，得，而，因此，
所以在內(nèi)的角有3個.
故選：B
2．C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)，即可得到其共軛復(fù)數(shù).
【詳解】因為，所以，
所以.
故選：C
3．B
【分析】利用垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示，結(jié)合坐標(biāo)求出向量的模作答.
【詳解】向量，互相垂直，則，解得，
所以.
故選：B
4．B
【分析】利用誘導(dǎo)公式及輔助角公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】



，
所以當(dāng)，時取最小值為.
故選：B
5．D
【分析】根據(jù)給定條件，利用線面位置關(guān)系及面面垂直的性質(zhì)判定作答.
【詳解】a為直線，，為平面，，，
若，直線與平面的關(guān)系不確定，A不是；
若，直線可以與直線平行，此時不能推出，B不是；
若，直線可以平行于或在平面內(nèi)，C不是；
若，且，由面面垂直的性質(zhì)，成立.
故選：D
6．D
【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)的圖象變換，逐項分析判斷作答.
【詳解】把函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象，
對于A，再向左平移個單位長度，得的圖象，A錯誤；
對于B，再向左平移個單位長度，得的圖象，B錯誤；
對于C，再向右平移個單位長度，得的圖象，C錯誤；
對于D，再向右平移個單位長度，得的圖象，D正確.
故選：D
7．A
【分析】利用外心、重心、垂心求出向量等式，判斷ACD；利用歐拉線定理結(jié)合圖形判斷B作答.
【詳解】點是的外心，則，A錯誤；
如圖，由歐拉線定理得，B正確；

點為的重心，延長交于，則是的中點，
于是，則，C正確；
點是的垂心，由，得，
即，由，同理得，
因此，D正確.
故選：A
8．C
【分析】依題意將三棱錐放在一個長方體中，則長方體的外接球即為三棱錐的外接球，根據(jù)錐體的體積公式及基本不等式求出三棱錐的體積最大值時、的長度，再求出長方體的體對角線即為外接球的直徑，最后根據(jù)球的表面積公式計算可得.
【詳解】將三棱錐放在一個長方體中，如圖所示：
??
則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
此時三棱錐的外接球就是一個長方體的外接球，因為，，
在為直角三角形，所以，
設(shè)長方體的外接球的半徑為R，則，故.
所以外接球的表面積為.
故選：C.
9．ACD
【分析】設(shè)（且），根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)各選項一一判斷即可.
【詳解】設(shè)（且），
則
，所以不可能為純虛數(shù)，故A正確；
若復(fù)數(shù)為實數(shù)，則，解得，所以，故B錯誤；
，所以當(dāng)時取最小值，最小值為，故C正確；
若復(fù)平面內(nèi)表示的點位于上，則，解得，所以，故D正確；
故選：ACD
10．CD
【分析】利用給定的函數(shù)圖象，求出解析式中各參數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷作答.
【詳解】觀察圖象知，，函數(shù)的周期，則，，A錯誤；
由，，得，B錯誤；
，由，得，
因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，C正確；
由，得函數(shù)的圖象對稱軸為，
當(dāng)時，，D正確.
故選：CD
11．BD
【分析】求出點的初始位置所成角的大小，再利用終邊相同的角的集合表示，結(jié)合奇偶分析求解作答.
【詳解】依題意，點的起始位置，點的起始位置，則，
設(shè)當(dāng)A與B重合時，用的時間為，于是，即，
則，當(dāng)為偶數(shù)時，，即，B正確；
當(dāng)為奇數(shù)時，，即，D正確.
故選：BD
12．CD
【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐的母線長及圓錐的高，并求出軸截面頂角，再逐項分析判斷作答.
【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，由，得，而圓錐底面圓半徑，
圓錐的高，則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，錯誤；
當(dāng)時，，與的取值無關(guān)，B錯誤；
過作交于，由平面，得平面，
由，得，于是，
所以當(dāng)且僅當(dāng)，且為中點時，三棱錐體積取最大值，C正確；

若，則，由選項知，為與圓錐底面所成的角，
即，顯然，在中，
，
，而，
所以，D正確.
故選：CD
【點睛】思路點睛：求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；②計算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解．
13．
【分析】利用提公因式法及公式法分解因式作答.
【詳解】依題意，
故答案為：
14．1
【分析】利用差角的正切求解作答.
【詳解】因為，則，
所以.
故答案為：1
15．
【分析】根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合已知體積求出正八面體的棱長，再借助體積求出內(nèi)切球半徑作答.
【詳解】設(shè)正八面體的棱長為，顯然正八面體可視為棱長都相等的兩個正四棱錐組合而成，
則正八面體的體積，解得，于是正八面體的表面積，
設(shè)正八面體的內(nèi)切球半徑為，因此，即，解得，
所以正八面體的內(nèi)切球半徑為.
故答案為：
16． /
【分析】（1）根據(jù)定義將向量化為，然后由數(shù)量積的性質(zhì)可得；
（2）根據(jù)定義將向量化為，，然后由數(shù)量積定義和性質(zhì)列方程可得.
【詳解】（1）因為，所以
若，則，
所以；
（2）因為，，所以，，
若，則，
所以，即，
因為，所以.
故答案為：；.
17．(1)，
(2),

【分析】（1）先由誘導(dǎo)公式求，然后利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式可得；
（2）先求，由和差公式可得，利用二倍角公式求，然后由商數(shù)關(guān)系可得.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，.
（2）由（1）知，因為，所以，
所以.
因為，所以，
由得，所以.
18．(1)證明見解析；
(2)證明見解析.

【分析】（1）取的中點，利用線面、面面平行的判定、性質(zhì)推理作答.
（2）利用面面平行的性質(zhì)、線面垂直的判定推理作答.
【詳解】（1）取的中點，連接，由，得，點為的中點，
??
又點為的中點，則，又平面平面，于是平面，
又點為的中點，點為的中點，則，又平面，平面，
因此平面，又平面，平面平面，又平面，
所以平面.
（2）平面平面，且平面平面，平面平面，則，
由為的中點，得，則，
又平面，因此平面，
所以是在平面上的投影.
19．答案見解析.
【分析】利用正弦定理邊化角求出角A，選①，利用三角形面積公式、余弦定理求出，再利用正弦定理求解作答；選②利用三角形面積公式求出，再利用正弦定理求解作答.
【詳解】在中，由及正弦定理得：，
而，于是，
因此，而，則，又，所以，
若選①，，由，得，
由余弦定理得，
外接圓半徑，由正弦定理得，
所以.
若選②，，外接圓半徑，，
由，得，
所以.
20．(1)
(2)

【分析】（1）利用余弦定理得，再計算知周長為，最后根據(jù)范圍即可得到答案；
（2）作，計算出四邊形面積表達(dá)式為，最后根據(jù)范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)值域即可得到答案.
【詳解】（1）在中，，由余弦定理，得
，
，
，而在上單調(diào)遞減，
，即.
故周長為，其取值范圍為.
（2）作為垂足，因為三角形為等腰三角形，
且，

，
在中，根據(jù)余弦定理有，
，


，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，
四邊形區(qū)域面積的最大值為
21．(1)，證明見解析
(2)①，②證明見解析

【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得；
（2）①依題意可得，，由、、三點共線，設(shè)，結(jié)合（1）的結(jié)論用，表示出，由、、三點共線，設(shè)，同理表示出，根據(jù)平面向量基本定理得到方程，求出、，再代入即可；
②依題意可得，，結(jié)合①的結(jié)論及共線定理即可得證.
【詳解】（1）猜想：，
證明：因為，所以
.
（2）①若，，則，，
因為、、三點共線，設(shè)，
則，
因為、、三點共線，設(shè)，
則，
因為與不共線，所以，解得，
所以.
②因為，，
所以，，
所以，
因為、、三點共線，所以，則（定值）.
22．(1)；
(2)①證明見解析；②.

【分析】（1）利用平面向量加法法則、結(jié)合向量共線確定，再利用余弦定理求解作答.
（2）①根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理作答；②利用二面角的大小求出，再利用球的截面小圓性質(zhì)求出球半徑即可求解作答.
【詳解】（1）由，且D是BC的中點，得，則，共線，
又為的重心，則，，
又為的外心，連接，，而是的中點，因此，
在中，，由余弦定理得，
所以.
??
（2）①由平面,平面，得,又，
平面，則平面，而平面，
所以.
②由①知，，則為二面角的平面角，
而二面角的正切值為4，即，解得，
又的外心為，令三棱錐外接球的球心為，則平面，
有，四邊形是直角梯形，設(shè)外接球的半徑為，
于是，，
因此，解得，，
所以三棱錐的外接球的體積為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：幾何體的外接球的表面積、體積計算問題，借助球的截面小圓性質(zhì)確定出球心位置是解題的關(guān)鍵.

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