2022-2023學(xué)年新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團第三師圖木舒克市第一中學(xué)高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若，，與的夾角為，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義計算即可.【詳解】因為，，與的夾角為，所以.故選：C.2．在中，角A、B、C對的邊分別為a、b、c．若，，，則角C等于（    ）A．90° B．120° C．60° D．45°【答案】B【分析】利用余弦定理求解即可.【詳解】由題可知,因為,故.故選：B.3．已知向量，，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量垂直的坐標表示可求得實數(shù)的值.【詳解】因為向量，，，則，解得.故選：C.4．已知球的半徑是2，則該球的表面積是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用球的表面積公式計算即可.【詳解】，故選：D.5．在中，的對邊分別是，若，則的形狀是（    ）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角或直角三角形【答案】C【分析】由余弦定理確定角是鈍角．【詳解】三角形中，，所以為鈍角，三角形為鈍角三角形．故選：C．6．如果圓錐的底面半徑為，高為2，那么它的側(cè)面積是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由勾股定理求出圓錐母線長，進而由側(cè)面積公式進行求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，其中底面半徑為，高為2，由勾股定理得：，故側(cè)面積為.故選：C7．設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列說法正確的是（　?。?/span>A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系和平面與平面的位置關(guān)系依次判斷選項即可.【詳解】對選項A，若，，則與的位置關(guān)系是平行，相交和異面，故A錯誤.對選項B，若，，則與的位置關(guān)系是平行和相交，故B錯誤.對選項C，若，，則根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得與的位置關(guān)系是平行，故C正確.對選項D，若，，則與的位置關(guān)系是平行和相交，故D錯誤.故選：C8．若正四棱臺的上，下底面邊長分別為1，2，高為2，則該正四棱臺的體積為（    ）A． B． C． D．14【答案】C【分析】根據(jù)棱臺的體積公式即可直接求出答案.【詳解】.故選：C.9．已知向量，，則與的夾角為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的夾角公式進行求解，再結(jié)合平面向量夾角范圍即可得到答案【詳解】解：，因為，所以，故選：C 二、多選題10．點O在所在的平面內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則點O為的垂心B．若，則點O為 的外心C．若，則1D．若且，則點O是的內(nèi)心【答案】ACD【分析】由可得出，從而可判斷A的正誤；可畫出圖形，取的中點，連接，可得出，從而判斷B的正誤；可畫出圖形，設(shè)，分別是，的中點，連接，根據(jù)條件可得出，從而得出，然后即可判斷C的正誤；根據(jù)條件可得出，從而得出，同理可得出，從而可判斷D的正誤．【詳解】對A：如圖所示， ，  則，，，， 為的垂心，A正確；對B：如圖，取的中點，連接，由，則，  ，，三點共線，又是的中線，且，為的重心，B錯誤；對C：如圖：，分別是，的中點，  由，，，，，，則，，，則，C正確；對D：如圖，  ，，，，即為的平分線，同理由得，即為的平分線，為的內(nèi)心，D正確．故選：ACD11．長方體的棱長，則從點沿長方體表面到達點的距離可以為（    ）  A． B． C． D．【答案】ABC【分析】從點沿長方體表面到達有三種展開方式，以，、為軸展開，分別求出，可得答案．【詳解】從點沿長方體表面到達有三種展開方式，若以為軸展開，  則；以為軸展開，      則，以為軸展開，  ．故選：ABC．12．已知銳角三個內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且，c =2．則下列結(jié)論正確的是（    ）A．的面積最大值為2 B．的取值范圍為C． D．的取值范圍為【答案】BCD【分析】A選項，由余弦定理和基本不等式求出面積的最大值；B選項，由正弦定理得到，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式得到，根據(jù)為銳角三角形得到，從而得到的取值范圍；C選項，由正弦定理和正弦和角公式可得；D選項，變形得到，由，求出答案.【詳解】A選項，由余弦定理得，即，所以，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時為銳角三角形，滿足要求，故，解得，故，A錯誤；B選項，由正弦定理得，所以，，因為為銳角三角形，所以，，解得，則，，，B正確；C選項，，由正弦定理得，C正確；D選項，，由C選項可知，所以，故，D正確.故選：BCD 三、填空題13．已知，，若，則          ．【答案】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標表示得到方程，解得即可.【詳解】因為，且，所以，解得.故答案為：14．已知一個正方形的邊長為2，則它的直觀圖的面積為           ．【答案】【分析】根據(jù)直觀圖面積是原圖形面積的倍即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，原圖形面積為，又直觀圖面積是原圖形面積的倍，所以直觀圖的面積為.故答案為：15．在中，內(nèi)角所對的邊分別為則的面積是          .【答案】/【分析】根據(jù)三角形面積公式計算.【詳解】由三角形面積公式得，.故答案為：16．傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱， 圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個圓柱容球， 、為圓柱上、下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，有以下三個命題：①四面體體積的取值范圍為；②球的表面積是圓柱的表面積的；③若為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點，則的取值范圍為．其中所有正確的命題序號為           .  【答案】①【分析】四面體的體積等于，計算可判斷①，利用球體和圓柱的表面積公式可判斷②；在底面的射影為，令， 可得出，利用平方法和二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出PE+PF的取值范圍，可判斷③．【詳解】連接，如圖所示，  由題可知四面體的體積等于，點到平面的距離，又，，故①正確；球的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，圓柱的高為2r，又球的表面積為，圓柱的表面積為，∴球與圓柱的表面積之比為，∴②錯誤；由題可知點在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)在底面的射影為，如圖所示，  則，，，由勾股定理可得，令，則，其中，，，， ，∴，∴③錯誤．故答案為：① 四、解答題17．已知向量，．(1)求與的坐標；(2)求向量，的夾角的余弦值．【答案】(1)，．(2) 【分析】（1）利用平面向量線性運算的坐標表示運算；（2）利用平面向量夾角的坐標表示運算.【詳解】（1），．（2），，，,．18．如圖，在四棱錐中，平面PAD，，點N是AD的中點．求證：(1)；(2)平面PAB．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)可證線線平行；（2）先證明四邊形ABCN是平行四邊形得到，利用線面平行的判定定理可證結(jié)論.【詳解】（1）∵平面PAD，平面ABCD，平面平面，∴．（2）由（1）知，，又N是AD的中點，，∴，∴四邊形ABCN是平行四邊形，∴，又平面PAB，平面PAB，∴平面PAB．19．在中，有.(1)求角的大??；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】（1）解：由題意可得，，故.（2）解：由三角形的面積公式可得.因此，的面積為.20．已知向量與的夾角，且．(1)求(2)在上的投影向量；(3)求向量與夾角的余弦值．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）先求出，可求得;（2）根據(jù)投影向量的計算公式計算即可；（3）利用向量的夾角公式求解即可.【詳解】（1），， 所以；（2）在上的投影向量為∶；（3），則，即向量與夾角的余弦值為．21．如圖，四邊形為長方形，平面，，點 分別為的中點，設(shè)平面平面．  (1)證明：平面；(2)證明：；(3)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3) 【分析】（1）取的中點，連接，根據(jù)題意證得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）由平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理，即可證得；（3）利用等體積轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】（1）證明：取的中點，連接，因為點分別為的中點，所以且，又因為四邊形為長方形，所以且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）證明：由平面，因為平面，且平面平面，所以.（3）解：由平面，則點到平面的距離等于到平面的距離，因為平面，所以為三棱錐的高，所以三棱錐的體積為：.  22．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足．(1)求角A；(2)若，求周長的最大值；(3)求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根據(jù)正弦定理與得到，從而求出；（2）由余弦定理和基本不等式求出，從而得到周長的最大值；（3）利用正弦定理，結(jié)合三角恒等變換得到，換元后，配方求出最值，得到取值范圍.【詳解】（1），由正弦定理得，，因為，所以，即，因為，所以，故，所以，因為，所以，故，解得；（2）由（1）知，又，由余弦定理得，即，所以，由基本不等式可知，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的周長最大值為；（3）由（1）知，則，令，因為，所以，，則，故當(dāng)時，取得最小值，最小值為，當(dāng)時，取得最大值，最大值為，故的取值范圍是.【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值. 

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