2022-2023學(xué)年河北省承德市高新區(qū)第一中學(xué)高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．下列說法正確的是（    ）A．若，則B．若 ， ，則 C．長度不相等而方向相反的兩個(gè)向量是平行向量D．單位向量都相等【答案】C【分析】根據(jù)向量的相關(guān)性質(zhì)逐項(xiàng)分析.【詳解】對于A，若，只能說明兩個(gè)向量的模長相等，但是方向不確定，所以A錯(cuò)誤；對于B，如果，結(jié)論B不正確；對于C，根據(jù)平行向量的定義，C正確；對于D，單位向量長度相等，但是方向不確定，所以D錯(cuò)誤；故選：C.2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（    ）A．的虛部為 B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C．的共軛復(fù)數(shù) D．【答案】D【分析】利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡為即可得到答案.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以的周期為4，故，故的虛部為2，A錯(cuò)誤；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限，B錯(cuò)誤；的共軛復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識，是一道基礎(chǔ)題.3．如圖所示，在平行四邊形中，等于 A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，利用，化簡原式即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谄叫兴倪呅?/span>中，，所以，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查相反向量的性質(zhì)，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4．如圖所示，F為平行四邊形對角線BD上一點(diǎn)，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意知，故,故選：A5．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量,且平面內(nèi)的任一向量都可以唯一表示成(為實(shí)數(shù)),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)平面向量基本定理只需不共線即可.【詳解】由題意得,平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一表示成(為實(shí)數(shù)),則一定不共線,所以,解得,所以m的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查平面向量基本定理的辨析，平面內(nèi)一組基底必須不共線，求解參數(shù)只需考慮根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求出參數(shù)即可得解.6．在中，，，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加法法則和減法法則用向量把向量表示出來，從而求的值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，所以 .故選：C.7．在四邊形中，若，則（    ）A．四邊形是平行四邊形 B．四邊形是矩形C．四邊形是菱形 D．四邊形是正方形【答案】A【分析】由推出，再根據(jù)向量相等的定義得且，從而可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，故，即，故且，故四邊形一定是平行四邊形，不一定是菱形、正方形和矩形，故A正確；BCD不正確.故選：A.8．海上某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東，距離為海里處；在處看燈塔，在貨輪的北偏西，距離為海里處；貨輪由處向正北航行到處時(shí)看燈塔在北偏東，則燈塔與處之間的距離為（    ）A． B． C． D．12【答案】C【分析】根據(jù)給定信息作出圖形，在中用正弦定理求AD，用余弦定理計(jì)算作答.【詳解】如圖所示，，，在中，，由正弦定理得：，在中，由余弦定理得：，燈塔與處之間的距離為海里.故選：C 二、多選題9．下列敘述中錯(cuò)誤的是（    ）A．若，則B．若，則與的方向相同或相反C．若，，則D．對任一非零向量，是一個(gè)單位向量【答案】ABC【分析】本題利用向量平行的定義、零向量的方向以及單位向量的定義即可求解.【詳解】對于A，向量不能比較大小，A錯(cuò)誤；對于B，零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，則或時(shí)， 與的方向不是相同或相反，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，若，與是任意向量，故選項(xiàng)C不正確；對于D，對任一非零向量，表示與方向相同且模長為的向量，所以是的一個(gè)單位向量，故選項(xiàng)D正確；故選：ABC.10．若復(fù)數(shù)z滿足(其中是虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則(    )A． B．復(fù)數(shù)z的實(shí)部是2C．復(fù)數(shù)z的虛部是1 D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限【答案】ABD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和基本概念即可逐項(xiàng)判斷．【詳解】，，∴，故A正確；復(fù)數(shù)z的實(shí)部為2，故B正確；復(fù)數(shù)z的虛部為－1，故C錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(2，1)在第一象限，故D正確．故選：ABD．11．已如正三角形的邊長為，設(shè)為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．與的夾角為 B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)向量的夾角的定義及正三角判斷A，由三角形中線的向量表示判斷B，由向量線性運(yùn)算及模的意義判斷C，根據(jù)正三角的性質(zhì)及向量加法判斷D.【詳解】因?yàn)?/span>與的夾角為，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以, 故B 正確；因?yàn)?/span>，故C不正確；因?yàn)?/span>，在等邊三角形中，，所以，故D正確.故選：BD12．已知內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，以下結(jié)論中正確的是（    ）A．若，則B．若，，，則該三角形有兩解C．若，則一定為等腰三角形D．若，則一定為鈍角三角形【答案】AD【分析】對A，根據(jù)正弦定理判斷即可；對B，根據(jù)正弦定理求解判斷即可；對C，根據(jù)正弦定理結(jié)合正弦函數(shù)的取值判斷即可；對D，根據(jù)正弦定理邊角互化，再根據(jù)余弦定理判斷即可【詳解】對A，由三角形的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，，又由正弦定理，故，故A正確；對B，由正弦定理，故，故，因?yàn)?/span>，故，故該三角形只有1解，故B錯(cuò)誤；對C，由正弦定理，，故，所以或，即，所以為等腰或者直角三角形，故C錯(cuò)誤；對D，由正弦定理，，又余弦定理，故，故一定為鈍角三角形，故D正確；故選：AD 三、填空題13．計(jì)算：     .【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)化簡即可求解.【詳解】原式.故答案為：.14．已知向量，，．若，則        ．【答案】【分析】由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】由題可得 ,即故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15．已知為內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則和的面積比為    【答案】【分析】取的中點(diǎn)，將已知轉(zhuǎn)化成，得到為中點(diǎn)，進(jìn)而得到和的面積比．【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，則，又由題意，所以，故、、三點(diǎn)共線，且滿足，所以為的中點(diǎn)，從而．故答案為：．  【點(diǎn)睛】本題借助查向量在幾何中的應(yīng)用，共線向量的意義，將兩個(gè)同底的三角形的面積之比轉(zhuǎn)化為高之比，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．16．如圖所示，位于處的信息中心獲悉：在其正東方向相距海里的處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線前往處救援，則          ．【答案】.【分析】利用余弦定理求出的數(shù)值，正弦定理推出的余弦值，利用展開求出的值．【詳解】解：如圖所示，在中，，，，由余弦定理得，所以由正弦定理得．由知為銳角，故．故．故答案為：. 四、解答題17．已知梯形，，，點(diǎn)在邊上，且，，，．（1）求的值；（2）求與夾角的余弦值．【答案】(1)1;(2).【分析】(1)結(jié)合向量的加法法則可得，結(jié)合已知條件即可求出.(2)建立平面直角坐標(biāo)系，由求出，從而求出與向量的坐標(biāo)，求出兩向量的數(shù)量積和兩向量的模，即可求出與夾角的余弦值.【詳解】(1)解：，所以，因?yàn)?/span>，，所以，，，，則，即.(2)解：以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，即，則，所以，則，從而，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題第二問的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，一是建立平面直角坐標(biāo)系，二是求出的坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積公式即可求出夾角的余弦值.18．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位，），且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）.（1）設(shè)復(fù)數(shù)，求；（2）設(shè)復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（I）；（Ⅱ）.【詳解】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及其分類，求解．（1）求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式，即可求解；（2）由（1）可求得，根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，列出方程組，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍．詳解：∵z=1+mi，∴．∴又∵為純虛數(shù)，∴，解得m=﹣3．∴z=1﹣3i．                                          （Ⅰ），                        ∴；（Ⅱ）∵z=1﹣3i，∴．    又∵復(fù)數(shù)z2所對應(yīng)的點(diǎn)在第1象限，∴，．                                  ∴．                   點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng),乘法法則類似于多項(xiàng)式乘法法則，除法運(yùn)算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化，其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對應(yīng)點(diǎn)為、共軛為．19．已知、、，設(shè)，，，且，.（1）求滿足的實(shí)數(shù)、；（2）求、的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）、，.【分析】（1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于、的方程組，即可解得這兩個(gè)未知數(shù)的值；（2）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得向量的坐標(biāo).【詳解】（1）由題意得 ，，，所以，，因?yàn)?/span>，所以，，解得；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又， ，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故．20．如圖，在中，已知，是邊上的一點(diǎn)，，，.（1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，直接利用余弦定理求解；（2）由（1）可得，所以，在中，利用正弦定理即可求解.【詳解】解：（1）在中，，，，由余弦定理得；（2）由（1）可得，所以.在中，，，，由正弦定理得.21．如圖所示為等邊三角形，，分別為，的中點(diǎn)．(1)若，，用向量，表示；(2)若的邊長為，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用基底法進(jìn)行線性運(yùn)算即可；（2）利用轉(zhuǎn)化法結(jié)合數(shù)量積的定義即可得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，分別為，的中點(diǎn)．.（2）由題意得.22．如圖，在△OAB中，已知P為線段AB上的一點(diǎn)，且||=2||.（1）試用，表示；（2）若=3，=2，且∠AOB=60°，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合即可得解；（2）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得，再結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】解：（1）已知P為線段AB上的一點(diǎn)，且||=2||，由圖可知，則;（2）由（1）得,又=3，=2，且∠AOB=60°，則，即.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題. 

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