2022-2023學(xué)年江蘇省連云港市贛榆區(qū)高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知向量，，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由空間向量共線知識(shí)可得答案.【詳解】因，則.故選：A2．有3名旅客到某地旅游，該地有4家旅館可供他們選擇，則不同的選擇方法有（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別讓每位旅客選擇社區(qū)，每人都有4種選擇，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】3名旅客分別從4家旅館中選擇1家旅館住宿，分別讓每位旅客選擇旅館，每人都有4種選擇，則共有種，故選：D.3．若一組樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為0.01，則數(shù)據(jù)，，，…，的方差為（    ）A．0.04 B．0.16 C．1.04 D．1.16【答案】B【分析】由方差的性質(zhì)直接寫出答案即可.【詳解】樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為0.01，數(shù)據(jù)，，…，的方差為.故選：B.4．某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在正六邊形（邊長(zhǎng)為1個(gè)單位）的頂點(diǎn)處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正六邊形的邊按逆時(shí)針方向行走的單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為，則棋子就按逆時(shí)針方向行走個(gè)單位，一直循環(huán)下去．某人拋擲2次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)處，則不同走法種數(shù)為（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)題意可知某人拋擲2次骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6的倍數(shù)，從而得解.【詳解】依題意，可知某人拋擲2次骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6的倍數(shù)，因?yàn)閿S出的點(diǎn)數(shù)為，所以某人2次擲出的點(diǎn)數(shù)情況有共6種，所以不同走法種數(shù)為6.故選：B.5．平行六面體中，已知底面四邊形為矩形，，，，則（    ）A． B．2 C． D．10【答案】A【分析】由圖可得，后由模長(zhǎng)公式可得答案.【詳解】由圖可得，則，故,故選：A6．展開式中的項(xiàng)數(shù)為（    ）A．11 B．12 C．22 D．【答案】B【分析】，再利用二項(xiàng)展開式定理展開即可求解．【詳解】因?yàn)?/span>所以則共有12項(xiàng)，故選：B．7．將4個(gè)1和3個(gè)0隨機(jī)排成一行，則僅有2個(gè)0相鄰的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別計(jì)算出4個(gè)1和3個(gè)0隨機(jī)排成一行的種數(shù)以及2個(gè)0相鄰的種數(shù)，然后由古典概型的概率公式求解即可.【詳解】將4個(gè)1和3個(gè)0隨機(jī)排成一行有種排法，僅有2個(gè)0相鄰即4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空隙，將3個(gè)0分成2組，插到空隙中即可，有種排法，所以僅有2個(gè)0相鄰的概率為.故選：C.8．在正方體中，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段的長(zhǎng)最小時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)為的公垂線時(shí)線段的長(zhǎng)最小，進(jìn)而求出的坐標(biāo)，從而利用線面角的夾角公式進(jìn)行求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，因?yàn)檎叫?/span>中，，且，平面，所以⊥平面，因?yàn)辄c(diǎn)M ，N分別是上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為交點(diǎn)時(shí)，⊥，過點(diǎn)作于點(diǎn)，此時(shí)為的公垂線，即線段的長(zhǎng)最小，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則，，因?yàn)?/span>，所以，故，解得：，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，同上可知，即，解得：，，故，，又，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)與平面所成角大小為，則.  故選：B 二、多選題9．若的展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則的可能值為（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】BCD【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行求解即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，此時(shí)只有第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)不滿足條件，當(dāng)時(shí)，第4，第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)滿足條件，當(dāng)時(shí)，此時(shí)只有第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)滿足條件，當(dāng)時(shí)，第5，第6項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)滿足條件，故選：BCD．10．甲盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙盒中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球．先從甲盒中隨機(jī)取出一球放入乙盒，用事件表示“從甲盒中取出的是紅球”，用事件表示“從甲盒中取出的是白球”；再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一球，用事件表示“從乙盒中取出的是紅球”，則（    ）A．事件與事件是對(duì)立事件 B．事件與事件是獨(dú)立事件C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)對(duì)立事件的定義即可判斷A；根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義即可判斷B；分第一次取白球和紅球兩種情況討論，從而可判斷C；根據(jù)條件概率公式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：事件A與事件是對(duì)立事件，故A正確；對(duì)于B：事件發(fā)生與否與事件C有關(guān)，故B錯(cuò)誤：對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，，所以，故D正確．故選：AD.11．設(shè)構(gòu)成空間的一個(gè)基底，下列說法正確的是（    ）A．，，兩兩不共線，但兩兩共面B．對(duì)空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使得C．，，能構(gòu)成空間另一個(gè)基底D．若，則實(shí)數(shù)，，全為零【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量基本定理一一判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>構(gòu)成空間的一個(gè)基底，所以，，兩兩不共線，但兩兩共面，故A正確；對(duì)空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使得，故B正確；因?yàn)?/span>， 所以，，共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；根據(jù)空間向量基本定理可知，若，則實(shí)數(shù)，，全為零，故D正確；故選：ABD12．已知，，，下列說法正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．若事件A，，兩兩獨(dú)立，則D．若事件A，互斥，事件，獨(dú)立，事件，獨(dú)立，則【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，由條件概率公式可判斷選項(xiàng)正誤；B選項(xiàng)，由可判斷選項(xiàng)正誤；C選項(xiàng)，注意到事件AB不一定和事件C獨(dú)立，即可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，由題可得，，即可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】A選項(xiàng)，因，則，故A正確；B選項(xiàng)，因，則，故B正確；C選項(xiàng)，雖然事件A，，兩兩獨(dú)立，但事件AB不一定和事件C獨(dú)立，則不一定與相等，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因事件A，互斥，事件A，獨(dú)立，事件，獨(dú)立，則，.則，故D正確.故選：ABD 三、填空題13．已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則的標(biāo)準(zhǔn)差      ．【答案】0.5/【分析】由兩點(diǎn)分布相關(guān)性質(zhì)結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差定義可得答案.【詳解】由題可得隨機(jī)變量的方差為，則的標(biāo)準(zhǔn)差.故答案為：14．在正四面體中，為的重心，記，，．若，，則      ．（用，，表示）【答案】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求得正確答案.【詳解】依題意，為的重心，則，所以.故答案為：   四、雙空題15．已知展開式中的第4項(xiàng)是一次項(xiàng)，則      ，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是      ．【答案】     10     【分析】寫出的通項(xiàng)，由展開式中的第4項(xiàng)是一次項(xiàng)，可得答案；由第一空，可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)為，后由組合數(shù)性質(zhì)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性比較這六項(xiàng)系數(shù)即可得答案.【詳解】設(shè)展開式中的第項(xiàng)為，因展開式中的第4項(xiàng)是一次項(xiàng)，則；由上可知，展開式中各項(xiàng)系數(shù)為，又，函數(shù)函數(shù)值隨著增大而減小，則系數(shù)最大項(xiàng)只能出現(xiàn)在這6項(xiàng)中，注意到，則系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，即.故答案為：10；. 五、填空題16．將3個(gè)相同的紅球，2個(gè)相同的白球，1個(gè)黃球隨機(jī)排成一排，設(shè)3個(gè)紅球中相鄰的個(gè)數(shù)為（若互不相鄰，則；若有且僅有2個(gè)相鄰，則；若3個(gè)連在一起，則），2個(gè)白球中相鄰的個(gè)數(shù)為（若不相鄰，則；若相鄰，則），記則      ．【答案】【分析】根據(jù)題意 ，求得隨機(jī)變量可能取值，以及對(duì)應(yīng)的概率，結(jié)合期望的公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可得隨機(jī)變量的可能取值為 ，可得，則，，，所以.故答案為：. 六、解答題17．已知，求，．【答案】，【分析】由題可得.對(duì)于，令可得，再令可得，即可得答案；對(duì)于，令，可得，結(jié)合可得答案.【詳解】，即.令，得，令，得，故.令，得，故.18．如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為45°，底面為直角梯形，，，．  (1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得向量，和平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（2）由平面的一個(gè)法向量，求得平面的一個(gè)法向量為，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解．【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>平面，且平面，所以，，又因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>與底面所成的角為，所以，故，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?/span>，，可得，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，可得，取，則，可得，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為．（2）解：根據(jù)題意，平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，可得，取，則，，所以則，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．  19．已知隨機(jī)變量的概率分布表如下表所示：……其中，，，，記隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差分別為，．求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)期望公式將展開，借助和化簡(jiǎn)可證；（2）將方差公式展開，利用期望公式和化簡(jiǎn)可證.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，所以（2）20．如圖，在多面體中，，，都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面平面，平面平面．  (1)判斷，，，四點(diǎn)是否共面，并說明理由；(2)在中，試在邊的中線上確定一點(diǎn)，使得平面．【答案】(1)，，，四點(diǎn)共面，理由見解析(2)為中點(diǎn) 【分析】（1）取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，求得，得到向量，得出，即可得到，，，四點(diǎn)共面；（2）設(shè)，得到，根據(jù)平面，列出方程，求得，即可求解.【詳解】（1）答案：四點(diǎn)共面.證明：取的中點(diǎn)，連接，，取的中點(diǎn)，連接，則在等邊三角形中，，又因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面，同理，得平面，平面，所以，，兩兩垂直，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，設(shè)，由，即，解得，，，所以，所以，又由，，所以，所以，，共面，因?yàn)?/span>為公共點(diǎn)，所以，，，四點(diǎn)共面.（2）解：設(shè)，故，若平面，則，即，解得，所以為中點(diǎn)時(shí)，平面．  21．一種微生物可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，繁殖后自身即消亡.設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，，且，，成公差為的等差數(shù)列.(1)求，，；(2)設(shè)表示1個(gè)微生物個(gè)體在第2代的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)，，(2)分布列見解析；期望為 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)性質(zhì)列及分布列的性質(zhì)列方程即可；（2）求出變量的取值及對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，成公差為的等差數(shù)列，所以，，又，故，解得，于是，.（2）由題意的所有可能值為0，1，2，3，4.且，，，，，所以的分布列為01234所以的數(shù)學(xué)期望.22．甲、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球單打比賽，約定：隨機(jī)選擇兩人打第一局，獲勝者與第三人進(jìn)行下一局的比賽，先獲勝兩局者為優(yōu)勝者，比賽結(jié)束．已知每局比賽均無(wú)平局，且甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，乙贏丙的概率為．(1)若甲、乙兩人打第一局，求比賽局?jǐn)?shù)的概率分布列；(2)求甲成為優(yōu)勝者的概率；(3)為保護(hù)甲的比賽熱情，由甲確定第一局的比賽雙方，請(qǐng)你以甲成為優(yōu)勝者的概率大為依據(jù)，幫助甲進(jìn)行決策．【答案】(1)答案見解析(2)(3)甲參加第一局比賽成為優(yōu)勝者的概率大 【分析】（1）分兩局結(jié)束，三局結(jié)束，四局結(jié)束分別求概率，再按步驟寫出隨機(jī)變量的分布列；（2）分甲乙第一局，甲丙第一局，乙丙第一局，并分別求出條件概率，應(yīng)用全概率公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)概率大小比較判斷即可.【詳解】（1）比賽局?jǐn)?shù)的可能取值為2，3，4．比賽兩局結(jié)束，則甲連勝兩局或乙連勝兩局，所以．比賽三局結(jié)束，則第二局、第三局丙連勝，所以．比賽四局結(jié)束，所以．所以的分布列為234（2）記甲、乙比賽第一局為事件，甲、丙比賽第一局為事件，乙、丙比賽第一局為事件，甲成為優(yōu)勝者為事件．第一局比賽雙方可能是甲乙、甲丙、乙丙共三種情況，則．所以．．．所以．所以甲成為優(yōu)勝者的概率為．（3）由（2）知，，所以甲參加第一局比賽成為優(yōu)勝者的概率大． 

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