2022-2023學(xué)年黑龍江省伊春市鐵力市馬永順中學(xué)校高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則（    ）A．9或 B．9 C．27或 D．【答案】B【分析】根據(jù)等比中項進(jìn)行求解，注意符號即可.【詳解】根據(jù)等比中項可得，，設(shè)等比數(shù)列公比為，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)，則，注意到，故.故選：B2．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，則此人第二天走的路程為A．96里 B．189里 C．192里 D．288里【答案】A【分析】設(shè)此人第一天走的路程為x,則，求出x即得解.【詳解】設(shè)此人第一天走的路程為x,則，解之得，所以，所以第二天走的路程為96.故選A.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列求和，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，兩函數(shù)乘積求導(dǎo)的運算法則求解.【詳解】若，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，，根據(jù)兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式，的導(dǎo)數(shù)為.故選：B4．已知等比數(shù)列中, ,且成等差數(shù)列,則(   )A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)條件求出公比，再代入求結(jié)果.【詳解】由題意可設(shè)公比為q，則，∴.∴故選：C【點睛】本題考查等比數(shù)列基本量計算，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5．函數(shù)在處的切線方程為，則（    ）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定導(dǎo)數(shù)值和函數(shù)值．【詳解】由題意，又切線方程是時，，所以，．故選：B．6．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如下圖，則函數(shù)的圖象可能為A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號與原函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系結(jié)合導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)可得出合適的選項.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的符號從左至右依次為負(fù)、正、負(fù)，則函數(shù)的單調(diào)性從左至右依次為減、增、減，排除A、B選項；由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)為偶函數(shù)，即，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，（為常數(shù)），則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，排除D選項.故選：C.【點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)的圖象選擇原函數(shù)的圖象，要結(jié)合導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于中等題.7．在等差數(shù)列中，若，則（    ）A．18 B．30 C．36 D．72【答案】C【分析】由已知求出，再利用等差中項即可.【詳解】由已知得，，所以.故選:C8．若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題得，等價于函數(shù)在上有兩個不相等的零點，解不等式組即得解.【詳解】由題得，因為有兩個極值點，所以函數(shù)在上有兩個不相等的零點，所以，解得．故選：B 二、多選題9．已知函數(shù)若，則實數(shù)的值可為（    ）A．2 B． C． D．4【答案】BC【分析】根據(jù)常見初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合代入法，分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時，，解得，（舍去）；當(dāng)時，，解得．故選：BC10．已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，，，該數(shù)列的前n項和為，則下列說法正確的為（    ）A． B．或最小 C．公差 D．【答案】ABD【分析】等差數(shù)列，用基本量代換和性質(zhì)，對四個選項一一驗證：用，整理計算后對AB驗證；直接計算出公差，驗證C；借助于通項公式，驗證D.【詳解】根據(jù)題意，可得，從而可得該數(shù)列的前6項為負(fù)數(shù)，第7項為0，從第8項開始為正數(shù)，因此選項A、B正確；對于選項C，，，公差，因此選項C錯誤；對于選項D，因為，所以，因此選項D正確.故選：ABD．【點睛】等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換和靈活運用性質(zhì)．11．已知數(shù)列的首項為，且滿足，則（    ）A．為等比數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．為遞增數(shù)列 D．為遞減數(shù)列【答案】ABC【分析】根據(jù)題干中的遞推關(guān)系可以推出為等比數(shù)列，從而可以得出的表達(dá)式，進(jìn)而得到的表達(dá)式，然后在研究的單調(diào)性.【詳解】由題意，，又，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，A選項正確；根據(jù)A選項可得，，顯然是遞增數(shù)列，B選項正確；由B選項可得，，由，則為遞增數(shù)列，C選項正確，D選項錯誤.故選：ABC12．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若，且，，則下列各項正確的是（   ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由題意判斷函數(shù)的單調(diào)性以及其圖象的形狀，根據(jù)單調(diào)性可判斷A；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及結(jié)合直線斜率的含義，可判斷.【詳解】由知，在R上單調(diào)遞增，則,故A正確；恒有，即，所以的圖象是向上凸起的，如圖所示，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，隨著x的增加，的圖象越來越平緩，即切線斜率越來越?。ㄐ甭蕿檎?，所以，故B正確，設(shè)，則，所以由圖象知，故D正確，C錯誤，故選： 三、填空題13．在等比數(shù)列中，，則        ．【答案】1【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為,再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進(jìn)而利用等比數(shù)列項之間的關(guān)系得即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由,得,解得.又由,得.則.故答案為：1【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎(chǔ)題.14．已知數(shù)列的前n項和,則數(shù)列的通項公式為        【答案】【分析】由數(shù)列的前項和,利用公式,即可得出數(shù)列的通項公式.【詳解】數(shù)列的前項和為,,時, ,時上式也成立，,故答案為.【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式與前項和公式之間的關(guān)系，屬于中檔題. 已知數(shù)列前項和，求數(shù)列通項公式，常用公式，將所給條件化為關(guān)于前項和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第項的遞推關(guān)系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項公式求出數(shù)列的通項公式，否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項公式. 在利用與通項的關(guān)系求的過程中，一定要注意 的情況.15．已知直線與直線平行，且與曲線相切，則直線的方程是      .【答案】（或）【解析】由題意可知，直線的斜率為，對函數(shù)求導(dǎo)，由求得切點的坐標(biāo)，再利用點斜式可求得直線的方程.【詳解】直線的斜率為，由于直線與直線平行，則直線的斜率為，對函數(shù)求導(dǎo)得，令，解得或（舍去），所以切點的坐標(biāo)為.故直線的方程為，即故答案為：（或）.16．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是         ．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)題意得到在內(nèi)恒成立，常變量分離，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因為所以，由題意可知：在內(nèi)恒成立，即，設(shè)，因為在上單調(diào)遞減，故，因此要想恒成立，只需.故答案為： 四、解答題17．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）．【分析】(1)設(shè)出的通項公式，由通項公式結(jié)合條件可得,求出方程的解，可得答案.(2) 依題意得,從而可得為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的前項和公式可得答案.【詳解】（1）設(shè)，則解得，.所以的通項公式為.（2）依題意得，因為，所以是首項為，公比為16的等比數(shù)列，所以的前n項和．18．已知函數(shù)(1)求函數(shù)在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值．【答案】(1)(2)極大值為，極小值為 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線斜率，求出后利用點斜式即可得解；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)后，解一元二次不等式分別求出、時的取值范圍即可得解.【詳解】（1）因為，所以，∴切線方程為，即+1；（2），所以當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是和，極大值為，極小值為．19．已知等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）當(dāng)數(shù)列為正項數(shù)列時，若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）或 ；（2） ．【分析】（1）用基本量表示題中兩個條件，聯(lián)立求解即可；（2）由題意，分組求和即得解.【詳解】（1）記的公比為，由，得，解得或2．又由，得，解得．當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時．綜上，數(shù)列的通項公式或．（2）由已知，得，則，所以．20．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）．【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定的解得增區(qū)間，同時可由得減區(qū)間；（2）由（1）得的最小值為，解不等式可得．【詳解】（1）函數(shù)定義域為，由題意，當(dāng)時，在時，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，的解為，的解為，在上遞增，在上遞減．（2）由（1）知時，在上遞增，在上遞減．所以，恒成立，則，即，由于時，，不等式不成立，所以，解得．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，研究不等式恒成立問題．一般地恒成立等價于，恒成立，等價于，然后解不等式可得參數(shù)范圍．或者用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為（其中不參數(shù)），則，若，則．21．已知等差數(shù)列滿足，的前項和為.（1）求及；（2）記，求【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合，可以得到兩個關(guān)于首項和公差的二元一次方程，解這個方程組即可求出首項和公差，最后利用等差數(shù)列的通項公式 和前項和公式求出及；（2）利用裂項相消法可以求出.【詳解】1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，（2）由（1）知：【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，考查了裂項相消法求數(shù)列前項和，考查了數(shù)學(xué)運算能力.22．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若存在兩個不相等的正數(shù)，滿足，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)得，令解得（舍或，分兩種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，討論的正負(fù)，的單調(diào)性．（2）由（1）不妨設(shè)，設(shè)，求導(dǎo)，分析的單調(diào)性，可得（a），即，根據(jù)，得，結(jié)合的單調(diào)性，即可得出答案．【詳解】解：（1）令解得(舍)或.①當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，當(dāng)，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）（2）證明：，由（1）不妨設(shè)．設(shè)．則．當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，（a），，由，則可得，，，而在上單調(diào)遞減，，． 

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