注意事項
考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求
1. 本試卷共4頁，滿分150分，考試時間為120分鐘.考試結(jié)束后，請將答題卷交回.
2. 答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號用0.5毫米黑色字跡簽字筆填寫在答題卷上.
3. 請監(jiān)考員認(rèn)真核對在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、考試證號與你本人的是否相符.
4. 作答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.作答非選擇題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米的簽字筆寫在答題卷上的指定位置，在其它位置作答一律無效.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 直線在x軸、y軸上的截距分別為（ ）
A. 6，2B. －6，2C. －6，－2D. 6，－2
2. 若方程表示半徑為1的圓，則（ ）
A. 1B. 2C. －1或1D. －2或2
3. 橢圓的內(nèi)接矩形的最大面積為（ ）
A. B. C. 4D. 2
4. 方程可化簡為（ ）
A. B. C. D.
5. 拋物線的焦點(diǎn)到圓C：上點(diǎn)的距離的最小值為（ ）
A. 0B. 4C. 5D. 6
6. 已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，漸近線方程為，則C的離心率為（ ）
A. B. C. 或D. 或
7. 設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，下頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P在C上，則的最大值為（ ）
A. 1B. bC. 3D. 3b
8. 已知圓C：，點(diǎn)P在直線l：上.若存在過點(diǎn)P的直線與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且，，則k的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 下列結(jié)論中，不正確的是（ ）
A. 若直線的斜率越大，則其傾斜角越大
B. 若圓與圓沒有公共點(diǎn)，則兩圓外離
C. 直線的一般式方程可以表示平面內(nèi)任意一條直線
D. 將已知三點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的一般式方程，所得三元一次方程組必有唯一一組解
10. 已知圓M：，則下列關(guān)于圓M的結(jié)論正確的是（ ）
A. 點(diǎn)在圓M內(nèi)
B. 圓M關(guān)于直線對稱
C. 圓M與圓O：相切
D. 若直線l過點(diǎn)，且被圓M截得的弦長為，則l的方程為
11. 已知雙曲線E：，則（ ）
A. E的焦距為6
B. E的虛軸長為
C. E上任意一點(diǎn)到E的兩條漸近線的距離之積為定值
D. 過點(diǎn)與E有且只有一個公共點(diǎn)的直線共有3條
12. 已知直線，的斜率分別為2，，直線l與直線，圍成一個等腰三角形，且頂角為鈍角，則直線l的斜率可能是（ ）
A. B. －1C. D. 1
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 若方程表示雙曲線，則實數(shù)t的取值范圍是______.
14. 寫出一個圓心在上，且與直線和圓都相切的圓的方程：______.
15. 已知直線l過拋物線C：的焦點(diǎn)，與C相交于A，B兩點(diǎn)，且.若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則______；直線l的斜率為______.（第一空2分，第二空3分）
16. 已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，離心率為，C上一點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B.若的周長的最大值為16，則C的短軸長為______.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（10分）
已知直線：，直線：，其中a，b均不為0.
（1）若，且過點(diǎn)，求a，b；
（2）若，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求與之間的距離.
18.（12分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，分別求滿足下列條件的動點(diǎn)M的軌跡方程，并說明方程表示何種曲線.
（1）動點(diǎn)M到點(diǎn)的距離是到點(diǎn)的距離的3倍；
（2）動點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為.
19.（12分）
已知直線l：與圓C：相切.
（1）求實數(shù)a的值及圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線m：與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若的面積為2，求直線m的方程.
20.（12分）
已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，斜率為2的直線l與E的一條漸近線垂直，且交E于A，B兩點(diǎn)，.
（1）求E的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，求直線OP的方程.
21.（12分）
設(shè)直線與橢圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，且直線OM的斜率為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
（1）求C的離心率；
（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為，且，求C的方程.
22.（12分）
已知動圓M與y軸相切，且與圓N：外切，記動圓M的圓心軌跡為E.
（1）求E的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線與E分別交于點(diǎn)A，B，證明：直線AB過定點(diǎn).
2023~2024學(xué)年第二學(xué)期期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測
參考答案
2023.11
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1-5：BDADB6-8：DCB
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. ABD 10. BC 11. AC 12. ACD
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 14. 答案不唯一，或
15. 4， 16.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 解：（1）當(dāng)過點(diǎn)時，，所以.……2分
因為，所以，即，于是.……4分
（2）因為：在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以，故.……6分
又，所以，所以.……8分
設(shè)：與：之間的距離為d，
則，所以與之間的距離為.……10分
18. 解：設(shè)動點(diǎn).
（1）因為動點(diǎn)M到點(diǎn)的距離是到點(diǎn)的距離的3倍，所以.
所以，……2分
即，化簡得，
所以動點(diǎn)M的軌跡方程為該方程，表示圓.……6分
（2）因為動點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，
所以，……8分
即，化簡得，
所以動點(diǎn)M的軌跡方程為，該方程表示橢圓.……12分
19. 解：（1）將圓C：化為標(biāo)準(zhǔn)方程，
得，故圓心，半徑為.……2分
因為直線l：與圓C相切，
所以，……4分
解得，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.……6分
（2）設(shè)圓心C到直線m的距離為d.
則，所以，解得.……8分
故，……10分
解得或.
所以直線m的方程為或.……12分
20. 解：（1）因為在雙曲線E：中，，
所以，即.……2分
雙曲線E：的漸近線方程為，
因為斜率為2的直線l與E的一條漸近線垂直，所以，所以.……4分
所以E的方程為.……5分
（2）設(shè)，，則.
線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則.……7分
又點(diǎn)A，B在雙曲線E上，所以，
②－①得，，
兩邊同時除以并整理，得.……10分
又，，，所以.
所以直線OP的方程為：.……12分
21. 解：（1）設(shè)，，，C的離心率為e.
聯(lián)立方程組并消去y，得.
所以判別式，，.……2分
因為點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，所以，.
因為直線OM的斜率為，所以.……4分
所以，所以橢圓的離心率為.……6分
（2）由，知.
所以，即.……8分
整理得，.
所以，化簡得.……10分
又由（1）知，，聯(lián)立方程組解得，，.
經(jīng)檢驗，滿足，所以C的方程為：.……12分
22. 解：（1）設(shè)動圓的圓心M坐標(biāo)為.
因為動圓M與y軸相切，所以圓M的半徑為，且.……1分
由圓N：，知，半徑為3.
因為動圓M與圓N外切，所以.……3分
當(dāng)時，，化簡得；
當(dāng)時，，化簡得.
綜上，軌跡E的方程為：.……5分
（注：遺漏的情形扣1分）
（2）設(shè)直線OA的方程為：，
與聯(lián)立方程組，解得，.
不妨點(diǎn)A的坐標(biāo)為，于是與OA垂直的直線OB的方程為：，
同理可得，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.……7分
當(dāng)時，直線AB的斜率為：，此時直線AB的方程為：
.……9分
整理得，，故直線AB過定點(diǎn)；……11分
當(dāng)時，，，此時直線AB的方程為：，
故直線AB過點(diǎn).

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