2022-2023學(xué)年福建省福州市八縣（市）協(xié)作校高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直線的斜率即可得傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為0，故其傾斜角為.故選：B2．已知等差數(shù)列滿足，則數(shù)列的前4項(xiàng)和為（    ）A．30 B．20 C．16 D．12【答案】D【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題設(shè)可得關(guān)于基本量的方程組，求出其解后可求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故，故，故選：D.3．已知函數(shù)，則其單調(diào)增區(qū)間是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的定義域和導(dǎo)數(shù)，解不等式結(jié)合定義域即可求解.【詳解】由，函數(shù)定義域?yàn)?/span>，求導(dǎo)，令，得或（舍去）,所以單調(diào)增區(qū)間是故選：D.4．我國即將進(jìn)入3航母時(shí)代，遼寧艦、山東艦、福建艦，航母編隊(duì)的要求是每艘航母配1-2艘核潛艇，船廠現(xiàn)有4艘核潛艇全部用來組建航母編隊(duì)，則不同的組建方法種數(shù)為（    ）A．36 B．72 C．12 D．24【答案】A【分析】可將4艘核潛艇先分組再分配的方法求解.【詳解】先將4艘核潛艇分成3組，每組至少1艘核潛艇，再將這3組核潛艇分配給遼寧艦、山東艦、福建艦，每個(gè)航母配1組核潛艇，則得不同的組建方法種數(shù)為.故選：A5．函數(shù)的圖象大致為（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】D【分析】求出的單調(diào)性即可判斷.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.只有D選項(xiàng)滿足.故選：D6．在所有不超過9且與9互質(zhì)的正整數(shù)中，任取兩個(gè)不同的數(shù)，則這兩數(shù)之和仍為質(zhì)數(shù)的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】列出所有不超過9且與9互質(zhì)的正整數(shù)，算出其中兩數(shù)之和仍為質(zhì)數(shù)的有幾組，再用古典概型的方法計(jì)算所求概率.【詳解】所有不超過9且與9互質(zhì)的正整數(shù)有1，2，4，5，7，8共6個(gè)，其中兩數(shù)之和仍為質(zhì)數(shù)的有1與2，1與4，2與5，4與7，5與8這5組，故所求概率為.故選：C7．《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，在塹堵中，若，若P為線段中點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面的距離為（    ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】利用等積法可求到平面的距離，故可求點(diǎn)P到平面的距離.【詳解】  因?yàn)?/span>為直角三角形，且，故，而平面，平面，故，同理，.而平面，故平面，故，又，故，而，故，所以，故，其中為到平面的距離，故，而P為線段中點(diǎn)，故P到平面的距離為，故選：C.8．設(shè)，則，，的大小順序?yàn)椋?/span>    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出判斷.【詳解】因?yàn)?/span>，令，，則，令，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.故選：A 二、多選題9．對(duì)于函數(shù)，以下直線方程是曲線的切線方程的有（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義根據(jù)斜率的值可求出切點(diǎn)，從而可求切線方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，則切線的斜率，若，則，切點(diǎn)為，故切線方程為，所以A正確，B錯(cuò)誤；若，則，切點(diǎn)為，故切線方程為，即，故C正確；若，則，切點(diǎn)為，故切線方程為，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC10．校園師生安全重于泰山，越來越多的學(xué)校紛紛引進(jìn)各類急救設(shè)備.福清融城中學(xué)準(zhǔn)備引進(jìn)5個(gè)不同顏色的自動(dòng)體外除顫器（簡(jiǎn)稱AED），則下面正確的是（    ）A．從5個(gè)AED中隨機(jī)取出3個(gè)，共有10種不同的取法B．從5個(gè)AED中選3個(gè)分別給3位教師志愿者培訓(xùn)使用，每人1個(gè)，共有60種選法C．把5個(gè)AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個(gè)不同的地方，共有129種方法D．把5個(gè)AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個(gè)不同的地方，每個(gè)地方至少放一個(gè)，共有150種方法【答案】ABD【分析】由排列組合的方法逐一計(jì)算驗(yàn)證即可.【詳解】從5個(gè)AED中隨機(jī)取出3個(gè)，共有種不同的取法，故A正確；從5個(gè)AED中選3個(gè)分別給3位教師志愿者培訓(xùn)使用，每人1個(gè)，共有種選法，故B正確；把5個(gè)AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個(gè)不同的地方，則每個(gè)AED都有3種安放方法，故共有種方法，故C錯(cuò)誤；把5個(gè)AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個(gè)不同的地方，每個(gè)地方至少放一個(gè)，可先將5個(gè)AED分成3組，每組至少1個(gè)，再把這3組AED放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個(gè)地方，每個(gè)地方放1組，故共有方法，故D正確.故選：ABD11．已知圓，直線，則（    ）A．直線與圓C相交B．直線過定點(diǎn)（2，1）C．圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為D．圓C被直線截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線的方程為x=1【答案】ACD【分析】先考慮直線過定點(diǎn)，再判斷該點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故可判斷AB，利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合圓心到直線的距離可判斷D的正誤，在圓的方程中令后可求圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)，故可判斷B的正誤.【詳解】可整理為，令，則，故直線過定點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.因?yàn)?/span>，故定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故直線與圓C相交，故A正確.在圓的方程中令，則即，故圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為，故C正確.因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，該定點(diǎn)與圓心的距離為，故圓心到直線的距離，故圓C被直線截得的弦長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)定點(diǎn)與圓心連線的斜率為0，該連線垂直于直線，故直線的方程為，故D正確.故選：ACD.12．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里的一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲*布勞威爾.簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，依據(jù)不動(dòng)點(diǎn)理論，下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)B．若定義在R上的奇函數(shù)，圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)是奇數(shù)C．函數(shù)只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)D．若函數(shù)在上存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a滿足【答案】ABD【分析】根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)和不動(dòng)點(diǎn)的定義，將各選項(xiàng)的不動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程的解的問題來處理后可得正確的選項(xiàng)，ACD選項(xiàng)中的對(duì)應(yīng)的方程的解的問題需結(jié)合導(dǎo)數(shù)來處，而B中則需結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)來處理.【詳解】對(duì)于A，令，因?yàn)?/span>，， 故在上存在零點(diǎn)，但，故在上為減函數(shù)，故在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，故有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，故A正確.對(duì)于B，若為奇函數(shù)的非零不動(dòng)點(diǎn)，則，而，所以也為奇函數(shù)的非零不動(dòng)點(diǎn)，故的非零不動(dòng)點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，而，故為奇函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，所以奇函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，故B正確.對(duì)于C，設(shè)，則，時(shí)；時(shí)；故在上遞增，在上遞減，而，，，故在有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故，故有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，若函數(shù)在上存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則在上存在兩個(gè)不同的解，故在上存在兩個(gè)不同的解，設(shè)，，若，則，故在上為增函數(shù)，在上至多一個(gè)零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；若，時(shí)；時(shí)；故在上遞增，在上遞減，因?yàn)?/span>在上存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故，故.此時(shí)，，下證：當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則，故在上為減函數(shù)，故，故在上恒成立，故在上恒成立，故在上恒成立，令，則，故當(dāng)時(shí)，有，故時(shí)，在上的確存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故D正確.故選:ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下函數(shù)的零點(diǎn)問題，需要結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)討論函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合零點(diǎn)存在定理討論零點(diǎn)的存在性問題，取點(diǎn)如果比較復(fù)雜，則可以利用放縮法把指對(duì)數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)為多項(xiàng)式函數(shù)來討論. 三、填空題13．已知點(diǎn)P是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則        .【答案】5【分析】求出的坐標(biāo)后可求.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，故，故，故答案為：5.14．福清融城中學(xué)高二（1）班一學(xué)生由教學(xué)樓五層走到一層去做課間操，每層均有兩個(gè)樓梯，則他的走法有        種.【答案】16【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求出結(jié)果.【詳解】共分4步:五層到四層2種，四層到三層2種，三層到二層2種，二層到一層2種，一共種.故答案為:16.15．寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)=       .①若，則；②；③當(dāng)時(shí)，【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，寫出滿足要求的對(duì)數(shù)函數(shù)即可.【詳解】，滿足，的定義域?yàn)?/span>，且，當(dāng)時(shí)，，恒成立.故答案為：16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線的左頂點(diǎn)為A，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P，Q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)Q在y軸右側(cè)，若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是         .【答案】【分析】以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的這條漸近線方程為，聯(lián)立可得P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由可得該雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】依題意可得，以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的這條漸近線方程為，由，得：或，所以，雙曲線的左頂點(diǎn)為，則，所以，，因?yàn)?/span>，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以，所以，又，所以.故答案為：   四、解答題17．已知的展開式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列.(1)求n的值；(2)求的展開式中的系數(shù).【答案】(1)8(2)0 【分析】（1）分別求出展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)后結(jié)合等差數(shù)列可求.（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可求展開式中的系數(shù).【詳解】（1）的前三項(xiàng)分別為，它們的系數(shù)分別為，其中而前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，故，解得.（2），展開式的通項(xiàng)公式為，令，則；令，則；令，則；故展開式中的系數(shù)為.18．如圖，圓是的外接圓，平面，是圓的直徑，，，且.  (1)求證：平面平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用線面垂直證明平面，再通過面面垂直即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，表達(dá)出各點(diǎn)坐標(biāo)，得出面與面的法向量，即可求出兩個(gè)面夾角的余弦值.【詳解】（1）由題意及圖證明如下，在圓中，為直徑，∴，∵平面,平面,平面,∴，，平面,面，∴平面, 又平面, ∴平面平面.（2）由題意及（1）得，在中，在中，，，∴，∵，∴建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，    ∵，∴，則，在面中，其一個(gè)法向量為，在面中，設(shè)其一個(gè)法向量為，則，即，解得：，∴當(dāng)時(shí)，，設(shè)面與面所成角為，19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若為等比數(shù)列，且，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)可得，故可求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法可求.【詳解】（1）因?yàn)?/span>成等差數(shù)列，故，故，所以，整理得到：，而，故，所以為等差數(shù)列，又，故，故.（2）因?yàn)?/span>為等比數(shù)列且，故，而，故，故等比數(shù)列的公比滿足，故，故，故，所以，故，故，，所以.20．隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為福清人喜愛的交通工具.據(jù)預(yù)測(cè)，福清某新能源汽車4S店從2023年1月份起的前x個(gè)月，顧客對(duì)比亞迪汽車的總需量（單位：輛）與x的關(guān)系會(huì)近似地滿足（其中且），該款汽車第x月的進(jìn)貨單價(jià)（單位：元）與x的近似關(guān)系是.(1)由前x個(gè)月的總需量，求出第x月的需求量（單位：輛）與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該款汽車每輛的售價(jià)為185000元，若不計(jì)其他費(fèi)用，則這個(gè)汽車4S店在2023年的第幾個(gè)月的月利潤(rùn)最大，最大月利潤(rùn)為多少元？【答案】(1)，（且）(2)這個(gè)汽車4S店在2023年的第5個(gè)月的月利潤(rùn)最大，最大月利潤(rùn)為31250000元 【分析】（1）根據(jù)當(dāng)，且時(shí)，再驗(yàn)證滿足即可求解；（2）依題意可得的表達(dá)式，用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，符合上式，故，（且）.（2）依題意，這個(gè)汽車4S店在2023年的第個(gè)月的月利潤(rùn)（且），，令，得：或（舍去），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值為.故這個(gè)汽車4S店在2023年的第5個(gè)月的月利潤(rùn)最大，最大月利潤(rùn)為31250000元.21．已知拋物線，過焦點(diǎn)且斜率為的直線交于，兩點(diǎn)，且.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)是上一點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，直線不經(jīng)過點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，若，證明：直線AB過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由題可得直線方程為，代入拋物線，設(shè)，利用拋物線定義即可求解.（2）設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出直線的斜率之積，由題意可得參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而求出所求直線恒過定點(diǎn).【詳解】（1）由題知，則直線方程為，代入得，設(shè)，則，因?yàn)?/span>，所以，即，所以拋物線方程為.（2）由（1）知拋物線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線，整理可得，則，①又，即，整理得，將①代入可得，即，所以或，即或，所以直線的方程為或，因?yàn)橹本€不過，所以直線的方程為，即，所以直線恒過點(diǎn)，即直線AB過定點(diǎn).  【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與拋物線位置關(guān)系問題，從以下幾個(gè)角度分析：（1）拋物線定義的應(yīng)用；（2）解設(shè)直線方程，盡量不要考慮斜率是否存在；（3）通過含參的方程，消去一個(gè)，轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)直線系方程；（4）數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.22．已知函數(shù).(1)令，討論的極值；(2)若時(shí)，恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)見解析(2). 【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得的極值.（2）恒成立等價(jià)于恒成立，設(shè)，求出其導(dǎo)數(shù)后就、分類討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)后可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），則，若，則，此時(shí)無極值；若，由得；由得；則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故在處取極小值且極小值為，綜上，當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，有極小值為，無極大值.（2）時(shí)，恒成立等價(jià)于恒成立，設(shè)，則，若，則，則為上的增函數(shù)，故，故恒成立.若，則當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，成立，這與題設(shè)矛盾，故. 

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