2022-2023學(xué)年福建省連城縣第二中學(xué)等校高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（    ）A．2 B．6 C．12 D．48【答案】C【分析】根據(jù)平均變化率的計(jì)算公式，結(jié)合函數(shù)的解析式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】根據(jù)平均變化率的計(jì)算公式，可得函數(shù)在區(qū)間的平均變化率為：.故選：C.2．設(shè)向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三點(diǎn)共線，則（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)A，C，D三點(diǎn)共線，可得，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，再根據(jù)空間向量共線定理即可得解.【詳解】由，，得，因?yàn)?/span>A，C，D三點(diǎn)共線，所以，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則，解得.故選：C.3．如圖，在直三棱柱中，E為棱的中點(diǎn).設(shè)，，，則（    ）  A． B．C． D．【答案】A【分析】由空間向量線性運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可得.故選：A.4．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量為（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)，可得、、的坐標(biāo)，由此可得向量、的坐標(biāo)，由此可得關(guān)于、、的方程組，利用特殊值求出、、的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，可得，則.故選：B．5．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率.函數(shù)的圖象在處的曲率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出、，代值計(jì)算可得出函數(shù)的圖象在處的曲率.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，所以，，所以.故選：D.6．已知直線與函數(shù)，的圖像分別交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】將兩個(gè)函數(shù)作差，得到函數(shù)，再求出函數(shù)的最小值即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值為，故選：D.7．如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，則，由圓錐的幾何性質(zhì)可知平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，  則、、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，又因?yàn)?/span>，所以，點(diǎn)到平面的距離為.故選：B.8．如圖所示的幾何體由一個(gè)正四棱錐和一個(gè)正四棱柱組合而成.已知正四棱錐的側(cè)棱長為3，正四棱柱的高為1，則該幾何體的體積的最大值為（   ）A．15 B．16 C． D．【答案】D【分析】連接與交于點(diǎn)，連接，證得，設(shè)正四棱柱的底面邊長為，求得，得到幾何體的體積為，令，得到，求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.【詳解】如圖所示，連接與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，所以，由題意知，正四棱錐的側(cè)棱長為，且正四棱柱的側(cè)棱長為，設(shè)正四棱柱的底面邊長為，在正方形中，可得，所以，則幾何體的體積為，令，可得且，可得，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以幾何體的體積的最大值為.故選：D. 二、多選題9．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．的最小值為2 D．的最大值為4【答案】ABC【分析】根據(jù)空間向量共線定理即可判斷A；根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可判斷B；根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷CD.【詳解】對于A，若，且，，則存在唯一實(shí)數(shù)使得，即，則，解得，故A正確；對于B，若，則，即，解得，故B正確；，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，無最大值，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的圖象如圖所示，則（    ）A．在上單調(diào)遞增B．曲線在處的切線的斜率為0C．D．有1個(gè)極大值點(diǎn)【答案】ABD【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為的圖象，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，以及函數(shù)的極值點(diǎn)的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】根據(jù)定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，對于A中，當(dāng)時(shí)，，且僅當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以A正確；對于B中，當(dāng)時(shí)，可得，所以曲線在處的切線的斜率為，所以B正確；對于C中，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以不是函數(shù)的最大值，所以C不正確；對于D中，由的圖象，可得時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以只有當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，所以有1個(gè)極大值點(diǎn)，所以D正確.故選：ABD.11．“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時(shí)常用的幾何體實(shí)物模型，圖1是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素描作品.“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）.若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”由兩個(gè)底面邊長為2，高為的正四棱柱構(gòu)成，在其直觀圖中建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則（    ）A．B．點(diǎn)的坐標(biāo)為C．O，E，F，A四點(diǎn)共面D．直線CE與直線DG所成角的余弦值為【答案】BCD【分析】先求出正方形的對角線從而可得；根據(jù)即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；判斷是否可以用表示即可判斷C；利用向量法即可判斷D.【詳解】由題意正方形的對角線，則，則，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，則，故B正確；對于C，，則，所以，又為三個(gè)向量的公共起點(diǎn)，所以O，E，F，A四點(diǎn)共面，故C正確；由，得，則，則，所以直線CE與直線DG所成角的余弦值為，故D正確.故選：BCD.12．已知定義在上的奇函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，，若存在等差數(shù)列，其中，使得成等比數(shù)列，則a的取值可能為（   ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，不妨設(shè)，由，得到，又由等比數(shù)列，設(shè)公比為，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，求得，再由，得出，轉(zhuǎn)化為在上有解，令，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性與，結(jié)合，求得，進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，所以，即函數(shù)，設(shè)等差數(shù)列的公差為，不妨設(shè)因?yàn)?/span>，可得，解得，所以，則，又因?yàn)?/span>等比數(shù)列，設(shè)公比為，可得，由且函數(shù)為奇函數(shù)，所以點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，即，解得，所以，因?yàn)?/span>，可得，所以，即方程即在上有解，即，即在上有解，令，可得，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以A正確；又由，，所以B正確，D不正確；令，可得，所以單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>，所以，即，可得，又由，所以，所以B符合題意.故選：ABC【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別． 三、填空題13．已知點(diǎn)，都在直線上，寫出一個(gè)直線的方向向量：       .【答案】(答案不唯一)【分析】由方向向量的定義求解即可.【詳解】，因?yàn)辄c(diǎn)，都在直線上，所以都是直線的方向向量，則可取.故答案為：.14．已知函數(shù)在上單調(diào)，則a的取值范圍為      ．【答案】【分析】求得，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為或在上恒成立，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，要使得函數(shù)在上單調(diào)，則或在上恒成立，即或在上恒成立，當(dāng)在上恒成立，可得；當(dāng)在上恒成立，此時(shí)不存在，舍去，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15．如圖，在墻角有一根長1米的直木棒AB緊貼墻面，墻面與底面垂直.在時(shí)，木棒的端點(diǎn)A以0.1m/s的速度豎直向下勻速運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)B向右沿直線運(yùn)動(dòng)，則端點(diǎn)B在這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為         m/s.  【答案】【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)的路程為，求出的表達(dá)式，在求出其導(dǎo)數(shù)，將代入即可得解.【詳解】設(shè)運(yùn)動(dòng)的路程為，則，變形可得，其導(dǎo)數(shù)，則，即端點(diǎn)B在這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為.故答案為：.16．如圖，在棱長為2的正方體中，E是棱的中點(diǎn)，O是BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)О作平面的垂線，交平面于點(diǎn)F，則        .  【答案】【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，證明平面，從而可得與兩點(diǎn)重合，進(jìn)而可得出答案.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，則，又平面，平面，所以平面，因?yàn)?/span>O是BE的中點(diǎn)，所以且，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面，又平面，所以，又因平面，所以，又平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，交平面于點(diǎn)F，且為的公共點(diǎn)，所以與兩點(diǎn)重合，因?yàn)?/span>，所以，在與中，，所以，所以，所以.故答案為：.  【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，證明平面，說明點(diǎn)即為點(diǎn)時(shí)解決本題的關(guān)鍵. 四、解答題17．如圖，在直四棱柱中，，，，E，F，G分別為棱，，的中點(diǎn).  (1)求線段的長度；(2)求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出即可；（2）根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】（1）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，所以，即線段的長度為；（2），則，所以.  18．已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的值域.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值，并求出、的值，即可得出在區(qū)間上的值域.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，則，則，，因此，曲線在處的切線方程為.（2）解：因?yàn)?/span>，則，令可得或，列表如下：增極大值減極小值增又因?yàn)?/span>，，因此，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，，E是PA的中點(diǎn)，，.  (1)證明：平面DEF.(2)求平面DEF與平面CDP所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明即可；（2）利用向量法求解即可.【詳解】（1）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?/span>，，所以，則，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，因?yàn)?/span>，所以，又平面，所以平面；（2）因?yàn)槠矫?/span>與平面重合，故可取平面的法向量為，則，所以平面DEF與平面CDP所成的銳二面角的余弦值為.  20．已知函數(shù).(1)若在處取得極值，求a的值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求得，由，求得，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，符合題意；（2）由，當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，解得，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，符合題意.（2）解：由，其中，當(dāng)時(shí)，可得，單調(diào)遞減，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)極小值，也是最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，，且，要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.21．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，且.  (1)證明：.(2)若，，，點(diǎn)M在直線上，求直線AB與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）連接，交于點(diǎn)O，連接AO，證明出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)推理作答；（2）以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）連接，交于O，連接，因?yàn)閭?cè)面為菱形，則，而，O為的中點(diǎn)，即有，又，且平面，于是平面，而平面，所以；（2）設(shè)，而，有，，又，則，即有，因此，即，，兩兩垂直，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，則，設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，則，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，設(shè)直線AB與平面所成角為，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，則，所以，綜上所述，直線AB與平面所成角的正弦值的最大值為.  【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.22．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析 【分析】（1）求導(dǎo)，再分和兩種情況討論，即可得出答案；（2）令，求導(dǎo)，令，分和兩種情況討論，得出函數(shù)的單調(diào)性，由此求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最大值，即可得證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，則，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即.【點(diǎn)睛】方法定睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形．(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x)．(3)利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值．(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問題． 

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