2022-2023學(xué)年江蘇省連云港市贛榆區(qū)贛馬高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期10月第一次檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行直線方程的關(guān)系設(shè)直線方程，由條件確定待定系數(shù)即可.【詳解】因?yàn)樗笾本€與直線平行，故可設(shè)其方程為.，又點(diǎn)在直線上，所以，所以，所求直線的方程為. 故選：A．2．已知直線與平行，則的值是（    ）A． B．或 C． D．或【答案】C【分析】當(dāng)時(shí)求出兩直線方程，檢驗(yàn)是否平行；當(dāng)時(shí)，根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)求出k的值并檢驗(yàn)，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由兩直線平行得，當(dāng)時(shí)，兩直線分別為和，顯然兩直線平行；當(dāng)時(shí)，由，解得；而當(dāng)時(shí)兩直線重合.綜上所述，k的值為0.故選：C3．直線截圓所得的弦長(zhǎng)（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：先求圓心坐標(biāo)及圓的半徑，再求圓心到直線的距離，結(jié)合直線與圓的相交弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).方法二：聯(lián)立直線與圓的方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式求弦長(zhǎng)；方法三：聯(lián)立直線與圓的方程，利用設(shè)而不求法結(jié)合弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).【詳解】（方法1：幾何法）圓的半徑r＝，圓心坐標(biāo)為，圓心到直線的距離，所以.（方法2：兩點(diǎn)距離公式）由，消去得，解得或，直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，則．（方法3：韋達(dá)定理）由，消去得，方程的判別式，設(shè)，由韋達(dá)定理得，，， 所以．故選：C．4．兩圓與的位置關(guān)系是（    ）A．相交 B．內(nèi)含 C．外切 D．內(nèi)切【答案】D【分析】求出圓心和半徑，再根據(jù)兩個(gè)圓的圓心距與半徑之差和半徑和的關(guān)系，可得兩個(gè)圓相交．【詳解】兩圓方程可化為，圓心分別為，半徑分別為，因?yàn)?/span>，所以兩圓內(nèi)切．故選：D．5．已知點(diǎn)，若直線與線段沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出直線的斜率，結(jié)合圖形得出的范圍．【詳解】直線過(guò)定點(diǎn)，且，由圖可知直線與線段沒有交點(diǎn)時(shí)，斜率滿足，解得，故選：B．6．雙曲線的焦距等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程已知，，結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】在雙曲線中，，，∴，即焦距為，故選：C.7．若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題可知曲線表示一個(gè)半圓，然后利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】由曲線得，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為的上半圓，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，，則，此時(shí)直線為，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)直線為，要使直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍是．故選：C．8．滿足條件，的面積的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】以AB所在的直線為軸，AB中垂線為軸建系，得到點(diǎn)C的軌跡求解.【詳解】解：以AB所在的直線為軸，AB中垂線為軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，且，由得：，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)C的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓（除去點(diǎn)），所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值是，故選：D． 二、多選題9．下列說(shuō)法中，正確的有（    ）A．直線過(guò)定點(diǎn)B．直線在y軸上的截距為C．點(diǎn)（1，3）到直線的距離為1D．直線x＝－2與 x－y＋1＝0的夾角為【答案】BC【分析】A. 令求解判斷；B. 令求解判斷；C.利用點(diǎn)到直線的距離公式求解判斷；D.根據(jù)的傾斜角判斷.【詳解】A. 令，得 ，此時(shí) ，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故錯(cuò)誤；B. 令，得，所以直線在y軸上的截距為，故正確；C.點(diǎn)（1，3）到直線的距離為，故正確；D.易知的傾斜角為，則直線x＝－2與的夾角為，故錯(cuò)誤，故選：BC10．已知直線和圓：，則（    ）A．直線與圓相交B．當(dāng)圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為D．若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)的軌跡是圓的一部分【答案】ACD【分析】對(duì)于A項(xiàng),求出直線恒過(guò)定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得.對(duì)于B項(xiàng)，圓心到直線的距離為對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)閳A上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為圓心到直線的距離加半徑對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，過(guò)圓心作直線的垂線，垂足為，無(wú)論取何值，都滿足，并且為定點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓.【詳解】圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：把直線變形為對(duì)于A項(xiàng)，根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式可得直線恒過(guò)定點(diǎn)又因?yàn)榘腰c(diǎn)代入圓的左邊可得所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與圓相交.故A正確.對(duì)于B項(xiàng)，如圖與直線距離為的點(diǎn)的軌跡是與直線平行且距離為的兩條直線，根據(jù)題意得故圓心到直線的距離為，所以所以，故B不正確.對(duì)于C項(xiàng), 當(dāng)時(shí)又因?yàn)閳A上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為圓心到直線的距離加半徑圓心到直線的距離為：圓上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為，故C正確.對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，過(guò)圓心作直線的垂線，垂足為無(wú)論取何值，都滿足，并且為定點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，設(shè)的中點(diǎn)為，則圓且直線不過(guò)點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)，則為點(diǎn)，不符合要求。根據(jù)垂徑定理可得，點(diǎn)也是的中點(diǎn)，則的中點(diǎn)的軌跡是圓的一部分，故D正確.故選：ACD11．已知直線，圓，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，直線分別與圓切于點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．最短時(shí)，弦直線方程為B．最短時(shí)，弦長(zhǎng)為C．的面積最小值為D．四邊形的面積最小值為【答案】BC【分析】先證明四點(diǎn)共圓，再求最短時(shí)該圓的方程，由此求其與圓的公共弦方程和，由此判斷A，B，再結(jié)合三角形面積公式判斷C，D.【詳解】圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，由已知，由切線的幾何性質(zhì)可得，所以四點(diǎn)共圓，為圓的直徑，且，當(dāng)最小時(shí)，最小，又到直線的距離，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)的方程為，聯(lián)立可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，最小，此時(shí)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以過(guò)點(diǎn)的圓的方程為，即，由方程與方程相減可得，所以最短時(shí)，弦直線方程為，A錯(cuò)誤；當(dāng)最短時(shí)，弦直線方程為，圓心到直線的距離，所以，即弦長(zhǎng)為，B正確；的面積，又，所以，所以的面積最小值為，C正確；四邊形的面積，所以四邊形的面積最小值為，D錯(cuò)誤；故選：BC .12．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．以線段為直徑的圓與直線相切B．△面積的最大值為C．D．離心率【答案】ACD【分析】由題可得，然后結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.【詳解】由橢圓可得，，所以線段為直徑的圓的方程為，圓心為，半徑為1，所以線段為直徑的圓到直線的距離為，故A正確；由題可得△面積的最大值為，故B錯(cuò)誤；所以，故C正確；橢圓的離心率為，故D正確.故選：ACD. 三、填空題13．已知直線，則其傾斜角為_______．【答案】##【分析】由題可得直線的斜率為，然后根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即得.【詳解】因?yàn)橹本€，所以直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，則，又，所以.故答案為：.14．雙曲線=1的焦距是_____.【答案】8【分析】根據(jù)雙曲線中a、b、c的關(guān)系即可求得c，進(jìn)而得到焦距．【詳解】根據(jù)雙曲線中a、b、c的關(guān)系，可知 ，即所以 則焦距為【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用，雙曲線中a、b、c的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15．若直線l：x－2y＋8＝0上存在一點(diǎn)P到兩點(diǎn)A（2，0），B（－2，－4）的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．【答案】【分析】先求得點(diǎn)A關(guān)于l：x－2y＋8＝0的對(duì)稱點(diǎn)A1，再聯(lián)立直線A1B與直線x－2y＋8＝0求解.時(shí)【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于l：x－2y＋8＝0的對(duì)稱點(diǎn)為A1（m，n），則，解得，故A1（－2，8）．則直線A1B的方程為x＝－2．如圖所示：當(dāng)點(diǎn)P是直線A1B與直線x－2y＋8＝0的交點(diǎn)時(shí)，最小，將x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為．故答案為：16．如圖，分別是橢圓的頂點(diǎn)，從橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足為焦點(diǎn)，且，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．【答案】【分析】由已知設(shè)橢圓方程為，由條件列關(guān)于的方程，解方程求可得橢圓方程.【詳解】由已知可得所求橢圓的焦點(diǎn)在上，中心為原點(diǎn)，故可設(shè)其方程為，設(shè)橢圓的半焦距為，則，，，，所以直線的方程為，直線的斜率為將代入，解得，又點(diǎn)在第二象限，所以，所以直線的斜率為由題意得，即，解得，所以橢圓方程為.故答案為：. 四、解答題17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，求：(1)AB邊中線所在的直線方程；(2)的外接圓的方程.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線方程的點(diǎn)斜式可得AB邊中線所在的直線方程；（2）設(shè)出外接圓的一般方程：，利用待定系數(shù)法確定、、，再把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】（1）設(shè)AB中點(diǎn)為，，，，直線CM斜率，由點(diǎn)斜式得AB邊中線方程為：.（2）設(shè)外接圓的一般方程為： ，把，，三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程得：，解得，所求圓的一般方程為：，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：.18．(1)若實(shí)數(shù)m滿足的方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求m的取值范圍；(2)若實(shí)數(shù)m滿足的方程表示雙曲線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】利用對(duì)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解得到關(guān)于的不等式組，解之即可.【詳解】（1）由題意得，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是．（2）由題意得，即，解得或，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是．19．已知直線.(1)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值和此時(shí)直線的方程.【答案】(1)；(2)，直線的方程為. 【分析】(1)將直線方程化為斜截式，再利用數(shù)形結(jié)合求出k的取值范圍.(2)先求直線在軸和軸上的截距，表示的面積，利用基本不等式求其最小值.【詳解】（1）方程可化為，要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限，則，解得，所以k的取值范圍為.（2）由題意可得，由取得，取得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，直線的方程為.20．橢圓的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，焦距為2，過(guò)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓C的方程；(2)若AB⊥x軸，求△ABF2的面積．【答案】(1)(2)3 【分析】（1）由ABF2的周長(zhǎng)為8得到a，再由焦距為2得到c求解；（2）由橢圓方程與直線AB方程聯(lián)立，求得AB的坐標(biāo)求解.【詳解】（1）由題意知，4a＝8，所以a＝2，由焦距為2，所以c＝1，所以，所以橢圓C的方程為．（2）設(shè)直線AB的方程為x＝－1，由，x＝－1聯(lián)立，得，      解得y1＝，y2＝－，          所以＝c·|y1－y2|＝3.21．河道上有一座圓拱橋，在正常水位時(shí)，拱圈最高點(diǎn)距水面9m，拱圈內(nèi)水面寬22m．一條船在水面以上部分高6.5m，船頂部寬4m，可以通行無(wú)阻．近日水位暴漲了2.7m，為此，必須加重船載，降低船身，才能通過(guò)橋洞．試問(wèn)：船身應(yīng)該降低多少？（精確0.01m，參考數(shù)據(jù) ）【答案】【分析】建立坐標(biāo)系，確定圓的方程，再令，即可求得通過(guò)橋洞，船身至少應(yīng)該降低多少．【詳解】以正常水位時(shí)河道中央為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)垂直于水面的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)橋拱圓的圓心，半徑為，則圓的方程為．依題意得，解得，．圓的方程為,當(dāng)時(shí)，,，因?yàn)樗槐q了，所以船身要降低，才能順利地通過(guò)橋洞．22．已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，且，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意可知，，結(jié)合，即可求得橢圓E的方程；（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程．由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，即可求得k的值．【詳解】（1）由離心率，則，又上頂點(diǎn)，知，又，可知，，∴橢圓E的方程為；（2）設(shè)直線l：，設(shè)，，則，整理得：，，即，∴，，∴，即，解得：或（舍去）∴ 

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