2022-2023學(xué)年黑龍江省雞西市雞西實驗中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若，則P(A)=（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件概率公式即可求解．【詳解】依題意得，所以，解得．故選：C．2．已知8名學(xué)生中有5名男生，從中選出4名代表，記選出的代表中男生人數(shù)為X，則（    ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)超幾何分布的概率公式計算即可.【詳解】表示選出的個代表中有個男生個女生，則.故選：B.3．5月12日在雞西實驗中學(xué)報告廳開展了以“預(yù)防災(zāi)害風(fēng)險，守護美好家園”為主題的消防安全知識專題講座，還要到3個學(xué)校開講，一個學(xué)校講一次，不同的次序種數(shù)為（    ）A．3 B． C．9 D．6【答案】D【分析】3個學(xué)校進行排列，直接利用排列數(shù)公式計算即可.【詳解】要到3個學(xué)校開講，一個學(xué)校講一次，不同的次序種數(shù)為，故選：D.4．已知箱中裝有6瓶消毒液，其中4瓶合格品，2瓶不合格品，現(xiàn)從箱中每次取一瓶消毒液，每瓶消毒液被抽到的可能性相同，不放回地抽取兩次，若用A表示“第一次取到不合格消毒液”，用B表示“第二次仍取到不合格消毒液”，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出和，再由條件概率公式計算．【詳解】，，∴．故選：B．【點睛】本題考查條件概率，掌握條件概率計算公式是解題基礎(chǔ)．5．5月8日下午自習(xí)課舉行了高二學(xué)年學(xué)生會頒牌儀式，學(xué)生會全體成員合影，其中第二排3位主任、3名女生排成一排，主任必須相鄰，女生也必須相鄰的排法種數(shù)為（    ）  A．2 B．9 C．72 D．36【答案】C【分析】由捆綁法可求出結(jié)果.【詳解】先將位主任捆在一起當(dāng)一個元素使用，有種捆法，將位女生捆在一起當(dāng)一個元素使用，有種捆法，再將所得個元素作全排，有種排法，故滿足題意的排法有種.故選：C6．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等比數(shù)列的運算性質(zhì)結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，，即，因此，.故選：B.7．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.只有C選項的圖象符合.故選：C.8．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，在定義域內(nèi)解不等式可得單調(diào)遞增區(qū)間．【詳解】由已知得，令，則，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：B． 二、多選題9．下列求導(dǎo)運算錯誤的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)基本函數(shù)的求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)法則即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，，故A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，，故C錯誤，對于D，，故D錯誤，故選：ACD10．已知是等比數(shù)列，，，則公比（    ）A． B． C．2 D．【答案】AD【分析】利用等比數(shù)列的通項公式即可求解【詳解】由題意可得，解得或故選：AD11．如圖，某城市兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，某同學(xué)從處沿道路走到處，他隨機地選擇一條沿街的最短路徑，則下列說法正確的是（    ）A．他從處到達處有12種走法B．他從處到達處有35種走法C．他從處經(jīng)過處到達處有18種走法D．他從處經(jīng)過處到達處有30種走法【答案】BC【分析】根據(jù)組合數(shù)、分步乘法計數(shù)原理求得正確答案.【詳解】對于AB選項：向右次，向上次，故走法有種，B選項正確.對于CD選項：到有種走法，到有種走法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有種走法，C選項正確.故選：BC12．關(guān)于的展開式，下列判斷正確的是(    )A．展開式共有8項 B．展開式的各二項式系數(shù)的和為128C．展開式的第7項的二項式系數(shù)為49 D．展開式的各項系數(shù)的和為【答案】ABD【分析】根據(jù)二項式定理的性質(zhì)逐項判斷即可．【詳解】展開式共有項，故A正確．展開式的各二項式系數(shù)的和為，故B正確．展開式的第7項的二項式系數(shù)為，故C錯誤．展開式的各項系數(shù)的和為，故D正確．故選：ABD． 三、填空題13．根據(jù)歷年的氣象數(shù)據(jù)，某市5月份發(fā)生中度霧霾的概率為0.25，刮四級以上大風(fēng)的概率為0.4，既發(fā)生中度霧霾又刮四級以上大風(fēng)的概率為0.02．則在發(fā)生中度霧霾的情況下，刮四級以上大風(fēng)的概率為          ．【答案】0.08【分析】利用條件概率公式求解.【詳解】設(shè)發(fā)生中度霧霾為事件，刮四級以上大風(fēng)為事件，所以,,故答案為: 0.08.14．最近網(wǎng)上比較火的“挖呀挖黃老師”的歌詞中“種什么樣的種子開什么樣的花”，假設(shè)種小小的種子開小小的花的概率為0.9，種大大的種子開大大的花的概率為0.8．現(xiàn)袋子中有10顆種子，其中有6顆小小的種子和4顆大大的種子，每顆種子只能開小小的花或大大的花，那么取出一顆種子開出小小的花的概率為      ．【答案】/【分析】利用古典概型的概率計算公式和條件概率的性質(zhì)，結(jié)合全概率公式即可求解；【詳解】記事件分別為種小小的種子、種大大的種子，事件為取出一顆種子開出小小的花，則，且互斥，由題意可知，,,所以,由全概率公式知.故答案為：.15．已知二項式的所有二項式系數(shù)之和等于128，那么其展開式中含項的系數(shù)是      ．【答案】【分析】利用二項式系數(shù)的性質(zhì)及二項式定理即可求解.【詳解】由二項式的所有二項式系數(shù)之和等于128，得，即，所以，則.令，得.所以展開式中含項的系數(shù)是.故答案為：.16．在數(shù)列中，若，則        .【答案】【分析】通過取倒數(shù)的方法，證得數(shù)列是等差數(shù)列，求得，進而求得.【詳解】取倒數(shù)得:，所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為： 四、解答題17．雞西實驗中學(xué)藝術(shù)節(jié)大合唱排練時，某班計劃從3名男生，5名女生中選派4名學(xué)生參加排練，求下列情形下有幾種選派方法．(1)男生2名，女生2名；(2)至少有1名男生．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用組合數(shù)和分步乘法計數(shù)原理即可求解；（2）利用組合數(shù)和分類加法計數(shù)原理即可求解.【詳解】（1）依題意知，從3名男生，5名女生中選派4名學(xué)生參加排練,要求男生2名，女生2名，共有種選派方法.（2）依題意知，從3名男生，5名女生中選派4名學(xué)生參加排練，要求“至少有1名男生”分類，第類，選派4人中男生1名，女生3名，有種選派方法；第類，選派4人中男生2名，女生2名，有種選派方法；第類，選派4人中男生名，女生1名，有種選派方法；根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有種選派方法.18．一個袋中裝有5個形狀大小完全相同的小球，其中紅球有2個，白球有3個，從中任意取出3個球.(1)求取出的3個球恰有一個紅球的概率；(2)若隨機變量X表示取得紅球的個數(shù)，求隨機變量X的分布列.【答案】(1)(2)分布列見解析. 【分析】設(shè)出事件，利用超幾何分布求概率公式進行求解；（2）寫出隨機變量X的可能取值及相應(yīng)的概率，求出分布列.【詳解】（1）設(shè)取出的3個球恰有一個紅球為事件A，則（2）隨機變量X可能取值為0,1,2,，，， 故X的分布列為：X012P19．設(shè)函數(shù)，已知和為的極值點.（1）求和的值；（2）討論的單調(diào)性.【答案】（1），；（2）在和上單調(diào)遞增；在和上單調(diào)遞減.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由和得出關(guān)于與的方程組，即可解出和的值；（2）分別解出不等式和，即可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間.【詳解】（1），，由題意得，解得；（2）由（1）可得.解不等式，解得或；解不等式，解得或.因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和.【點睛】本題考查利用極值點求參數(shù)，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查運算求解能力，屬于中等題.20．已知雙曲線的實軸長為2，右焦點為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線與雙曲線交于不同的兩點，，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)實軸長可求，根據(jù)焦點坐標(biāo)可求，然后可得方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，利用韋達定理和弦長公式可求答案.【詳解】（1）由已知，，又，則，所以雙曲線方程為.（2）由，得，則，設(shè)，，則，，所以.21．如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，，，，．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，證明與平面的法向量垂直即可； (2)利用空間向量求線面角即可.【詳解】（1）由題意知，，，兩兩互相垂直，以為原點，，，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，．底面，底面，又，，且平面,平面，所以是平面的一個法向量．因為，所以．又平面，所以平面．（2）因為，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則由，解得，令，得平面的一個法向量為．設(shè)直線與平面所成的角為，則．故：直線與平面所成角的正弦值為．22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，即可得到其單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意，整理可得當(dāng)時，恒成立，構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為即可，然后通過求導(dǎo)研究函數(shù)的最大值，即可得到a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，易知在上單調(diào)遞增，且，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時，．整理得，即恒成立．令，則即可，所以必有成立，即．易知，令，則，，易知．當(dāng)時，，所以當(dāng)和時，；當(dāng)時，．所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．故，故，解得．當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．故，解得，所以．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為時，恒成立，然后構(gòu)造，由來求解的值. 

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