江蘇省連云港市贛榆區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(含答案)

這是一份江蘇省連云港市贛榆區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(含答案)，共16頁。試卷主要包含了選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、選擇題
1．已知向量,,若,則( )
A.B.C.D.
2．有3名旅客到某地旅游,該地有4家旅館可供他們選擇,則不同的選擇方法有( )
A.B.C.D.
3．若一組樣本數(shù)據(jù),,…,的方差為0.01,則數(shù)據(jù),,,…,的方差為( )
4．某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人游戲,規(guī)則如下:先將一棋子放在正六邊形ABCDEF(邊長(zhǎng)為1個(gè)單位)的頂點(diǎn)A處,然后通過擲骰子來確定棋子沿正六邊形的邊按逆時(shí)針方向行走的單位,如果擲出的點(diǎn)數(shù)為i(,2,…,6),則棋子就按逆時(shí)針方向行走i個(gè)單位,一直循環(huán)下去.某人拋擲2次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處,則不同走法種數(shù)為( )
A.5B.6C.7D.8
5．平行六面體中,已知底面四邊形ABCD為矩形,,,,則( )
A.B.2C.D.10
6．展開式中的項(xiàng)數(shù)為( )
A.11B.12C.22D.
7．將4個(gè)1和3個(gè)0隨機(jī)排成一行,則僅有2個(gè)0相鄰的概率為( )
A.B.C.D.
8．在正方體中,點(diǎn)M,N分別是,BD上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)線段MN的長(zhǎng)最小時(shí),直線MN與平面所成角的正弦值為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．若的展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則n的可能值為( )
A.6B.7C.8D.9
10．甲盒中有3個(gè)紅球,2個(gè)白球;乙盒中有2個(gè)紅球,3個(gè)白球.先從甲盒中隨機(jī)取出一球放入乙盒,用事件A表示“從甲盒中取出的是紅球”,用事件B表示“從甲盒中取出的是白球”;再從乙盒中隨機(jī)取出一球,用事件C表示“從乙盒中取出的是紅球”,則( )
A.事件A與事件B是對(duì)立事件B.事件B與事件C是獨(dú)立事件
C.D.
11．設(shè)構(gòu)成空間的一個(gè)基底,下列說法正確的是( )
A.,,兩兩不共線,但兩兩共面
B.對(duì)空間任一向量,總存在有序?qū)崝?shù)組,使得
C.,,能構(gòu)成空間另一個(gè)基底
D.若,則實(shí)數(shù)x,y,z全為零
12．已知,,,下列說法正確的是( )
A.若,則
B.若,則
C.若事件A,B,C兩兩獨(dú)立,則
D.若事件A,B互斥,事件A,C獨(dú)立,事件B,C獨(dú)立,則
三、填空題
13．已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布,若,則的標(biāo)準(zhǔn)差______.
14．在正四面體ABCD中,O為的重心,記,,若,,則______.(用,,表示)
15．已知展開式中的第4項(xiàng)是一次項(xiàng),則______,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是______.
16．將3個(gè)相同的紅球,2個(gè)相同的白球,1個(gè)黃球隨機(jī)排成一排,設(shè)3個(gè)紅球中相鄰的個(gè)數(shù)為(若互不相鄰,則;若有且僅有2個(gè)相鄰,則;若3個(gè)連在一起,則),2個(gè)白球中相鄰的個(gè)數(shù)為(若不相鄰,則;若相鄰,則),記則______.
四、解答題
17．已知,求,.
18．如圖,在四棱錐中,平面ABCD,PB與底面所成的角為,底面ABCD為直角梯形,,,.
（1）求直線PC與平面PBD所成角的正弦值;
（2）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值.
19．已知隨機(jī)變量X的概率分布表如下表所示:
其中,,,2,…,n,,記隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為,.求證:
（1）;
（2）.
20．如圖,在多面體ABCDE中,,,都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,平面平面BCD,平面平面BCD.
（1）判斷A,B,D,E四點(diǎn)是否共面,并說明理由;
（2）在中,試在邊BC的中線上確定一點(diǎn)Q,使得平面BCE.
21．一種微生物可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來,繁殖后自身即消亡.設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代,經(jīng)過一次繁殖后為第1代,再經(jīng)過一次繁殖后為第2代…,該微生物每代繁殖個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列,設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù),(,2,3),且,,成公差為的等差數(shù)列.
（1）求,,;
（2）設(shè)Y表示1個(gè)微生物個(gè)體在第2代的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.
22．甲,乙,丙三人進(jìn)行乒乓球單打比賽,約定:隨機(jī)選擇兩人打第一局,獲勝者與第三人進(jìn)行下一局的比賽,先獲勝兩局者為優(yōu)勝者,比賽結(jié)束.已知每局比賽均無平局,且甲贏乙的概率為,甲贏丙的概率為,乙贏丙的概率為.
（1）若甲,乙兩人打第一局,求比賽局?jǐn)?shù)X的概率分布列;
（2）求甲成為優(yōu)勝者的概率;
（3）為保護(hù)甲的比賽熱情,由甲確定第一局的比賽雙方,請(qǐng)你以甲成為優(yōu)勝者的概率大為依據(jù),幫助甲進(jìn)行決策.
參考答案
1．答案：A
解析：,,,
則,解得.
故選:A.
2．答案：D
解析：有3名旅客到某地旅游,該地有4家旅館可供他們選擇,
則每位游客均有4種選擇,故不同的選擇方法有43種.解析：故選:D.
3．答案：B
解析：根據(jù)題意,一組樣本數(shù)據(jù),,…,的方差,
則數(shù)據(jù),,,…,的方差為.
故選:B.
4．答案：B
解析：根據(jù)題意可知:,,
所以共有6種走法.
故選:B.
5．答案：A
解析：平行六面體中,已知底面四邊形ABCD為矩形,,,,
,
,
.
故選:A.
6．答案：B
解析：因?yàn)槎?xiàng)式的展開式共有11項(xiàng),
則多項(xiàng)式的展開式共有項(xiàng).
故選:B.
7．答案：C
解析：4個(gè)1和3個(gè)0隨機(jī)排成一行有種排法,
僅有2個(gè)0相鄰即4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空隙,將3個(gè)0分成2組,插到空隙中即可,有種排法,
則僅有2個(gè)0相鄰的概率為.
故選:C.
8．答案：B
解析：點(diǎn)M,N分別是,BD上的動(dòng)點(diǎn),
∴線段MN的長(zhǎng)最小時(shí),MN為,BD的公垂線段,
在正方體中,平面,
,
則N為AC,BD的交點(diǎn),
在平面內(nèi),過N作,垂足點(diǎn)為M,
此時(shí)MN即為直線與BD的公垂線段,
此時(shí)線段MN的長(zhǎng)最小,
以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,
則,,,,,
設(shè),
則,,,
,M,C三點(diǎn)共線,,即,①,
由得,,②,
由①②得,,.
即,,.
設(shè)平面平面的法向量為,
則,,
則,即,令,則,,即,
設(shè)直線MN與平面所成角為,
則,,
即直線MN與平面所成角的正弦值為.
故選:B.
9．答案：BCD
解析：當(dāng)時(shí),第4,第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大,此時(shí)滿足條件,
當(dāng)時(shí),此時(shí)只有第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大,此時(shí)滿足條件,
當(dāng)時(shí),第5,第6項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大,此時(shí)滿足條件,
故選:BCD.
10．答案：AD
解析：對(duì)于A:事件BCD與事件B不能同時(shí)發(fā)生,且沒有其他的可能結(jié)果,事件A與事件B是對(duì)立事件,故A正確;
對(duì)于B:事件B發(fā)生與否與事件C有關(guān),事件B與事件C不是相互獨(dú)立事件,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C:,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D:,,
所以,故D正確.
故選:AD.
11．答案：ABD
解析：對(duì)于A,是空間向量的一個(gè)基底,所以,,兩兩不共線,但兩兩共面,選項(xiàng)A正確;
對(duì)于B,因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底,所以對(duì)空間任一向量,
總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使得,選項(xiàng)B正確;
對(duì)于C,因?yàn)?所以與,共面,,,不能構(gòu)成空間另一個(gè)基底,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,若存在不全為零的實(shí)數(shù)x,y,z,使得,則不一定構(gòu)成空間的一個(gè)基底,
所以時(shí),實(shí)數(shù),選項(xiàng)D正確.
故選:ABD.
12．答案：ABD
解析：A選項(xiàng),,即,則,A正確;
B選項(xiàng),,則事件A,B為互斥事件,,B正確;
C選項(xiàng),舉例如從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取一個(gè),即事件“取出的數(shù)字為1或3”,事件“取出的數(shù)字為1或3”,事件“取出的數(shù)字為1或4”,“取出的數(shù)字為1”,
則,,
滿足,,,
即事件A,B,C兩兩獨(dú)立,但,故C錯(cuò)誤;
D選項(xiàng),,D正確.
故選:ABD.
13．答案：0.5
解析：∵隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布,且,
,
,
,
的標(biāo)準(zhǔn)差.
故答案為:0.5.
14．答案：
解析：如圖,,,O為的重心,
.
故答案為:.
15．答案：10,15x
解析：展開式的通項(xiàng)公式為,
第4項(xiàng)是一次項(xiàng),
時(shí),,即,
則,
設(shè)的系數(shù)最大,則,
即,即,
得,得,即,
,,
即第四項(xiàng)的系數(shù)最大,.
故答案為:10,15x.
16．答案：
解析：,,,
,
,
,
.解析：故答案為:.
17．答案：見解析
解析：,
令,得,
令,得,
則,
令,得,
故.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）面ABCD,
,,又,
,
為PB與底面所成的角為,
,故,
以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
則,,,解析：設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為,
則,即,取,則,,此時(shí),
設(shè)直線PC與平面PBD所成的角為,
則.
所以直線PC與平面PBD所成角的正弦值為.
（2）平面PAB的一個(gè)法向量
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為,
則,即,
取,則,,此時(shí),
,
所以平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值為.
19．答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）證明:由期望公式可得,
.
（2）
20．答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）A,B,D,E四點(diǎn)共面,證明:
如圖,O為BC中點(diǎn),由題意可知OB,OA,OD兩兩垂直,所以以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)B,OA,OD所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
,,,所以,所以A,B,D,E四點(diǎn)共面;
（2）結(jié)合（1）知,,,,設(shè),
則,令,得,可見Q是AO的中點(diǎn),即Q為中,邊BC的中線的中點(diǎn).
21．答案：（1）,
（2）
解析：（1）:,,成公差為的等差數(shù)列,所以,,
又,故,解得,
于是,;
（2）Y的所有可能值為0,1,2,3,4,
,
,
,
,
,
所以Y的分布列為:
所以Y的數(shù)學(xué)期望.
22．答案：（1）見解析
（2）
（3）見解析
解析：（1）比賽局?jǐn)?shù)X的可能取值為2,3,4,
比賽兩局結(jié)束,則甲連勝兩局或乙連勝兩局,所以,
比賽三局結(jié)束,則第二局,第三局丙連勝,所以,
比賽四局結(jié)束,所以,
所以X的分布列為:
（2）記甲,乙比賽第一局為事件A,甲,丙比賽第一局為事件B,乙,丙比賽第一局為事件C,甲成為優(yōu)勝者為事件D,
第一局比賽雙方可能是甲乙,甲丙,乙丙共三種情況,則,
所以,
,
,
所以
,
所以甲成為優(yōu)勝者的概率為;
（3）由（2）知,,
所以甲參加第一局比賽成為優(yōu)勝者的概率大.
X
…
P
…
Y
0
1
2
3
4
P
X
2
3
4
P