2022-2023學(xué)年廣西桂林市第五中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．等差數(shù)列中，則公差（    ）A．4 B．3 C．-4 D．-3【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的通項公式進行求解即可.【詳解】在等差數(shù)列中，所以有．故選：B．2．函數(shù)在點處的切線斜率為（    ）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】先判斷點是否在上，再求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，進而得，即可求得答案.【詳解】由，可得點在上可得函數(shù)在點處的切線斜率為2故選：D.3．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，已知公比為2，且，則A．33 B．72 C．84 D．189【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列中，公比，且， 所以.故選：C.4．《孫子算經(jīng)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆．問：五人各得幾何？”其大意為：有個人分個橘子，他們分得的橘子數(shù)成公差為的等差數(shù)列，問人各得多少個橘子？這個問題中，得到橘子最少的人所得的橘子個數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橘子最少的人所得橘子個數(shù)為，則，解得：，即得到橘子最少的人所得的橘子個數(shù)是個.故選：B.5．已知等差數(shù)列的前項和  ，且，則（  ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由等差前n項和得，結(jié)合下標和的性質(zhì)求的值.【詳解】由題設(shè)，所以.故選：C6．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標和性質(zhì)和對數(shù)運算法則可知所求式子等于，代入可求得結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可得：故選：C7．某學(xué)校想了解該校學(xué)生對于某項運動的愛好是否與性別有關(guān)，通過隨機抽查名學(xué)生，得到如下列聯(lián)表：性別態(tài)度總計喜歡該項運動不喜歡該項運動男女總計由公式，算得：.下列結(jié)論正確的是（  ）A．有的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”B．有的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”C．有的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”D．有的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”【答案】D【分析】對比臨界值表，根據(jù)獨立性檢驗的思想直接判斷即可.【詳解】，，有的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”.故選：D.8．已知函數(shù)，x=-1為f(x)的極值點，則（    ）A．f(x)在(-∞，-1)上單調(diào)遞減，在(-1，+∞)上單調(diào)遞增B．f(x)在(-2，-1)上單調(diào)遞增，在(-1，+∞) 上單調(diào)遞減C．f(x)在(-∞，-1)上單調(diào)遞增，在(-1，+∞)上單調(diào)遞減D．f(x)在(-2，-1)上單調(diào)遞減，在(-1，+∞)上單調(diào)遞增【答案】D【分析】由x=-1為f(x)的極值點，求出的值，再根據(jù)的值確定導(dǎo)數(shù)的正負從而即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得答案.【詳解】解：因為，所以，又因為x=-1為f(x)的極值點，所以，解得,所以，所以定義域為，故排除A,C;所以，易知在上為增函數(shù)，又因為，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.故選：D. 二、多選題9．若，則的值為（    ）A．1 B． C． D．【答案】AB【分析】先對求導(dǎo)，從而得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】由題得.故選：AB.10．如圖是y= 的導(dǎo)函數(shù)的圖象，對于下列四個判斷，其中正確的判斷是（    ）A．當(dāng)x=﹣1時，取得極小值B． 在[﹣2，1]上是增函數(shù)C．當(dāng)x=1時，取得極大值D． 在[﹣1，2]上是增函數(shù)，在[2，4]上是減函數(shù)【答案】AD【分析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象，確定導(dǎo)函數(shù)的正負，由此得到函數(shù)的單調(diào)性，由極值的定義判斷函數(shù)的極值，由此判斷四個選項即可.【詳解】解：導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)﹣2<x<﹣1時， <0，則單調(diào)遞減，當(dāng)x=﹣1時， =0，當(dāng)﹣1<x<2時， >0，則單調(diào)遞增，當(dāng)x=2時，=0，當(dāng)2<x<4時，<0，則單調(diào)遞減，當(dāng)x=4時，=0，當(dāng)x>4時，>0，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=﹣1時，取得極小值，故選項A正確；在[﹣2，1]上是有減有增函數(shù)，故選項B錯誤；當(dāng)x=2時，取得極大值，故選項C錯誤；在[﹣1，2]上是增函數(shù)，在[2，4]上是減函數(shù)，故選項D正確.故選：AD.11．設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A．B．C．在處的切線方程為D．【答案】BC【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，對四個選項一一求導(dǎo)，即可驗證.【詳解】對于A：因為，所以，所以，故A錯誤；對于B：因為，所以，所以，故B正確；對于C：因為，所以，所以.而，所以在處的切線方程為，故C正確；對于D：.故D錯誤.故選：BC12．等差數(shù)列的前n項和為，若，公差，則下列說法正確的是（    ）．A．若，則 B．若，則是中最大的項C．若，則 D．若，則【答案】BC【分析】對于A，由已知和等差中項的性質(zhì)求得，再由等差數(shù)列求和公式可判斷；對于B，由已知得，繼而得，，由此可判斷；對于C，由已知得，從而有，故而可判斷；對于D，由已知得，但不能確定是否為負，故而可判斷．【詳解】解：對于A，因為，所以，即，所以，又，所以，故A錯誤；對于B，由，得，得，因為，，，所以是中最大的項，故B正確；對于C，因為，所以，又，所以，所以，所以，故C正確；對于D，因為，所以，但不能確定是否為負，因此不一定有，故D錯誤．故選：BC．【點睛】方法點睛：等差數(shù)列的前n項和有如下性質(zhì)：（1）在二次函數(shù)的圖象上，可以利用二次函數(shù)性質(zhì)求得的最值；（2），可由的正負確定與的大??；（3），因此可由的正負確定的正負． 三、填空題13．己知數(shù)列的通項公式為，，則它的第項是         .【答案】【分析】將代入通項公式即可.【詳解】，.故答案為：.14．某課外興趣小組對某地區(qū)不同年齡段的人群閱讀經(jīng)典名著的情況進行了相關(guān)調(diào)查，相關(guān)數(shù)據(jù)如下表．年齡區(qū)間／歲賦值變量人群數(shù)量根據(jù)表中數(shù)據(jù)，人群數(shù)量與賦值變量之間呈線性相關(guān)，且關(guān)系式為，則      ．【答案】【分析】將樣本中心點代入回歸直線即可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由表格數(shù)據(jù)知：，，，解得：.故答案為：.15．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是      【答案】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行求導(dǎo)即可.【詳解】因為，所以.故答案為：.16．對于相關(guān)系數(shù)，下列說法中錯誤的是            .①時，成對樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度較弱；②時，表明成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；③若線性回歸方程中的回歸系數(shù)，則相關(guān)系數(shù)；④越接近1，線性相關(guān)程度越強，越接近0，線性相關(guān)程度越弱.【答案】①③【分析】根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷即可．【詳解】根據(jù)題意，依次分析4個命題：對于①，當(dāng)時，成對樣本數(shù)據(jù)之間不存在任何關(guān)系，而不是較弱，錯誤；對于②，當(dāng)時，表明成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)，正確；對于③，若線性回歸方程中的回歸系數(shù)，說明成對樣本數(shù)據(jù)呈負相關(guān)，則相關(guān)系數(shù)，錯誤；對于④，越接近1，線性相關(guān)程度越強，越接近0，線性相關(guān)程度越弱，正確．故答案為：①③． 四、解答題17．某校隨機調(diào)查了100名學(xué)生，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)其中有60名學(xué)生喜歡戶外運動，然后對他們進行了一場體育測試，得到如下不完整的2×2列聯(lián)表：項目喜歡戶外運動不喜歡戶外運動合計體育測試成績非優(yōu)秀1015 體育測試成績優(yōu)秀  75合計  100(1)補全2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)列聯(lián)表分析，能否有95%的把握認為該校學(xué)生體育測試是否優(yōu)秀與喜歡戶外運動有關(guān)？附：，其中.2.7063.8416.6357.87910.8280.100.050.010.0050.001【答案】(1)表格見解析(2)有95%的把握認為該校學(xué)生體育測試是否優(yōu)秀與喜歡戶外運動有關(guān). 【分析】（1）根據(jù)已知條件補全頻率分布直方圖；（2）計算的值，由此求得正確答案.【詳解】（1）由題意可補全2×2列聯(lián)表為：項目喜歡戶外運動不喜歡戶外運動合計體育測試成績非優(yōu)秀101525體育測試成績優(yōu)秀502575合計6040100（2），則有95%的把握認為該校學(xué)生體育測試是否優(yōu)秀與喜歡戶外運動有關(guān).18．已知等比數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求的值【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用等比數(shù)列通項公式可構(gòu)造方程求得公比，進而得到；（2）利用等比數(shù)列求和公式可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得：，.（2），，解得：.19．隨著網(wǎng)絡(luò)的普及，網(wǎng)上購物的方式己經(jīng)受到越來越多年輕人的青睞，某家網(wǎng)絡(luò)店鋪商品的成交量（單位：件）與店鋪的瀏覽量（單位：，次）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：/件13579/次1030405060(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點圖；(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程；(3)當(dāng)這種商品的成交量突破100件（含100件）時，預(yù)測這家店鋪的瀏覽量至少為多少.【答案】(1)作圖見解析(2)(3)608 【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)直接描點即可，（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)結(jié)合回歸方程公式求解即可，（3）由（2）所求得方程可得，從而可求得結(jié)果.【詳解】（1）散點圖如圖所示（2）根據(jù)散點圖可得，變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，，，，，所以，，所以所求的回歸方程為（3）根據(jù)上面求出的回歸直線方程可知，當(dāng)成交量突破100件（含100件），即時，得，所以預(yù)測這家店鋪的瀏覽量至少為608.20．已知函數(shù)，當(dāng)時，的極大值為；當(dāng)時，有極小值．求：（1）的值；（2）函數(shù)的極小值．【答案】（1）a =-3，b =-9，c=2（2）-25【分析】利用函數(shù)f（x）在x=x0取得極值的充要條件f′（x0）=0且f′（x）在x=x0的左右附近符號相反即可得出a，b的值，再利用極大值即可得到c，從而得出答案．【詳解】(1)∵f(x) = x3+ ax2+bx + c ,∴f′ (x) = 3x2+2ax +b ∵當(dāng)x =- 1 時函數(shù)取得極大值7，當(dāng)x = 3時取得極小值∴x =- 1 和x = 3是方程f′ (x)=0的兩根，有∴， ∴f(x) = x3-3x2-9x+c.(2)∵當(dāng)x = -1時，函數(shù)取極大值7，∴(-1)3–3(-1)2–9(-1)+c= 7,∴c=2.此時函數(shù)f(x)的極小值為：f（3）= 33-3×32-9×3×2=-25.【點睛】熟練掌握函數(shù)f（x）在x=x0取得極值的充要條件是解題的關(guān)鍵．21．已知等比數(shù)列的公比，且滿足：，且是的等差中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求使成立的正整數(shù)的最小值．【答案】（1）；（2）6．【詳解】試題分析：（1）求等比數(shù)列的通項公式，關(guān)鍵是求出首項和公比，這可直接用首項和公比表示出已知并解出即可（可先把已知化簡后再代入）；（2）求出的表達式后，要求其前項和，需用錯位相減法．然后求解不等式可得最小值．試題解析：（1）∵是的等差中項，∴， 代入，可得，∴，∴，解之得或， ∵，∴，∴數(shù)列的通項公式為（2）∵，∴，．．．．．．．．．．．．．．．①，．．．．．．．．．．．．．②②—①得∵，∴，∴，∴使成立的正整數(shù)的最小值為6 【解析】等比數(shù)列的通項公式，錯位相減法．22．已知函數(shù).(1)求曲線過點的切線方程；(2)若函數(shù)有一個零點，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)或；(2).【分析】(1)對f(x)求導(dǎo)，設(shè)出切點坐標，由已知建立方程組求解，再由直線的點斜式寫出方程即得；(2)討論函數(shù)f(x)的性質(zhì)，作出其圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解.【詳解】(1)定義域為，，設(shè)切點為，斜率為k，則，解得或，所以，切線方程為或，即或.(2)，函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=m公共點個數(shù)即為g(x)的零點個數(shù)，由(1)知，則x<0或x>1時，，0<x<1時，，所以f(x)在、上都是單調(diào)遞增的，在上單調(diào)遞減，在x=1處取得極小值f(1)=e，且x<0時f(x)>0，f(x)的圖象如圖：因為g(x)只有一個零點，所以.【點睛】求函數(shù)過某點的切線方程，先設(shè)出切點坐標，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)條件建立方程組再求解. 

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