2022-2023學(xué)年廣東省陽江市第三中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（    ）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由于數(shù)列是等差數(shù)列，故，故選：B2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)A． B．C． D．【答案】B【分析】由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解，【詳解】，則，由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：B3．若數(shù)列的前n項和，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)遞推公式和首項可求出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，則，，則.故選：C4．曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標(biāo)為（    ）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到曲線在點處的切線方程，取y=0求得x值即可.【詳解】由，得，則曲線在點處的切線斜率為，∴曲線在點處的切線方程為，取，可得．∴曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標(biāo)為-1．故選：C．5．為了紀(jì)念我國成功舉辦北京冬奧會，中國郵政發(fā)行《北京舉辦2022年冬奧會成功紀(jì)念》郵票，圖案分別為冬奧會會徽“冬夢”、冬殘奧會會徽“飛躍”、冬奧會吉祥物“冰墩墩”、冬殘奧會吉祥物“雪容融”及“志愿者標(biāo)志”，現(xiàn)將一套5枚郵票任取3枚，要求取出的郵票既含會徽郵票又含吉祥物郵票，則不同的取法種數(shù)為（    ）A．8 B．10 C．16 D．18【答案】A【分析】分類討論3枚郵票的組成情況，根據(jù)分布乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理運算求解.【詳解】由題意可知：會徽郵票有2枚，吉祥物郵票有2枚，“志愿者標(biāo)志”有1枚，若任取3枚，取出的郵票既含會徽郵票又含吉祥物郵票，則有：若會徽郵票有2枚，吉祥物郵票有1枚，共有種；若會徽郵票有1枚，吉祥物郵票有2枚，共有種；若會徽郵票有1枚，吉祥物郵票有1枚，“志愿者標(biāo)志”有1枚，共有種；故共有種.故選：A.6．函數(shù)的圖像大致是（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)的函數(shù)值的正負，可排除A、C項；求得，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可排除B項，即可求解.【詳解】由函數(shù)，令，即，解得或，所以當(dāng)或時，；當(dāng)時，，可排除A、C項；又由，令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，則可排除B項，選項D符合題意.故選：D.7．在的展開式中，的系數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過二項展開式的通項公式直接求特定項系數(shù).【詳解】的通項為，令，即，，故選：D.8．若函數(shù)在上只有一個零點，則常數(shù)的取值范圍是（   ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可得：原題意等價于與有且僅有一個交點，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和極值，數(shù)形結(jié)合求常數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則，構(gòu)建，原題意等價于與有且僅有一個交點，因為，令，解得或；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得在處取到極大值，在處取到極小值，且當(dāng)趨近于時，趨近于，當(dāng)趨近于時，趨近于，  結(jié)合的圖象可知：若與有且僅有一個交點，則或，所以常數(shù)的取值范圍是.故選：D. 二、多選題9．(多選)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，已知a7＝5，S7＝21，則（    ）A．a1＝1 B．d＝－C．a2＋a12＝10 D．S10＝40【答案】ACD【分析】根據(jù)所給條件，代入等差數(shù)列的通項公式和求和公式，直接計算即可得解.【詳解】設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1.又a7＝a1＋6d，所以d＝.所以S10＝10a1＋d＝10＋＝40.由{an}為等差數(shù)列，知a2＋a12＝2a7＝10.故選：ACD10．下列結(jié)論正確的是（    ）A．B．C．D．“仁義禮智信”為儒家“五常”，由偉大的教育家孔子提出，現(xiàn)將“仁義禮智信”排成一排，則“禮智”互不相鄰的排法總數(shù)為72【答案】BCD【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的計算公式判斷ABC，利用插空法判斷D.【詳解】對于A，因為，故A錯誤；對于B，，，故B正確；對于C，由組合數(shù)的性質(zhì)可得，故C正確；對于D，采用插空法，將“禮智”插入“仁義信”的4個空中，則一共有種，故D正確，故選：BCD11．已知函數(shù)在處取得極值，則下列說法正確的是（    ）A． B．C．一定有兩個極值點 D．的單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】BC【分析】根據(jù)和可求得，代回解析式驗證是否為極值點可知，滿足題意，由此可得AB正誤；根據(jù)極值點定義可知C正確；驗證可知在不滿足單調(diào)遞增定義，知D錯誤.【詳解】，且在處取得極值，，解得：或；當(dāng)，時，，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，是的極小值點，滿足題意；當(dāng)，時，，在上單調(diào)遞增，不合題意；綜上所述：，；對于AB，，A錯誤，B正確；對于C，和分別為的極大值點和極小值點，C正確；對于D，當(dāng)，時，，，，，即不滿足在單調(diào)遞增，的單調(diào)遞增區(qū)間應(yīng)為和，D錯誤.故選：BC.12．已知數(shù)列滿足，，則（    ）A．是遞減數(shù)列 B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的判斷方法，累加法，累乘法以及裂項求和法，結(jié)合已知條件，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：，又當(dāng)時，與矛盾，故，即，故該數(shù)列遞增數(shù)列，A錯誤；對B：，根據(jù)A知：，即，，故B正確；對C：，由可得，故（當(dāng)或時取得等號），故，C錯誤；對D：由可得，即，故，又，故，故，D正確.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列的單調(diào)性，累加法，累乘法以及裂項求和法，處理問題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)常見的地推關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，屬困難題. 三、填空題13．計算          .【答案】765【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)公式運算求解.【詳解】由題意可得：.故答案為：765.14．由線在處的切線方程是          .【答案】【分析】首先求導(dǎo)得，求出切點為，切線斜率為，則得到切線方程.【詳解】時,,則切點為,,故切線斜率，所以切線方程:，化簡得.故答案為：.15．用這10個數(shù)字，可以組成       個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).【答案】648【分析】先考慮百位，然后考慮十位和個位，由此計算出正確答案.【詳解】先考慮百位，有種方法；然后考慮十位和個位，有種方法；故沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有個.故答案為：16．若方程有兩個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是          .【答案】【分析】問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與直線有 2 個交點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求實數(shù)的取值范圍.【詳解】方程化為 ，令則問題轉(zhuǎn)化為的圖像與直線有 2 個交點，因為，當(dāng) 時，單調(diào)遞減，當(dāng) 時，，單調(diào)遞增， 所以函數(shù)最小值為，且當(dāng)正向無限趨近于時， 的取值無限趨近于正無窮大； 當(dāng)無限趨近于正無窮大時， 的取值無限趨近于正無窮大；    故方程有兩個不等的實數(shù)根時，.故答案為： 四、解答題17．已知在等差數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式進行求解即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式進行求解即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由；（2）18．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）   （2）   （3）【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運算法則和計算公式,逐一計算可得答案.【詳解】解：（1），則（2）（3）【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計算公式,意在考查學(xué)生對于公式的記憶和理解,以及運算能力.19．已知數(shù)列 中 ，，.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由題意得，結(jié)合等比數(shù)列定義證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）可求即，利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）因為，所以，又，，所以，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列（2）由(1)知 ，因為，所以，所以 ， ，兩式相減，得 ，所以 20．已知函數(shù)在處取得極小值-2.(1)求實數(shù)的值；(2)若，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根據(jù)已知條件可得，求解即可.（2）問題等價于，利用導(dǎo)數(shù)法求得的最大值和最小值，從而可以求解.【詳解】（1），因為函數(shù)在處取得極小值-2，所以，即，解得．經(jīng)檢驗，當(dāng)，時，在處取到極小值，所以，.（2）由（1）可知，，則令，解得或，而，所以當(dāng)，時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.又所以當(dāng)時，.若，都有成立，只需，所以.故實數(shù)的取值范圍為.21．某校舉辦元旦晩會，現(xiàn)有4首歌曲和3個舞蹈需要安排出場順序.（結(jié)果用數(shù)字作答）(1)如果4首歌曲相鄰，那么有多少種不同的出場順序?(2)如果3個舞蹈不相鄰，那么有多少種不同的出場順序?(3)如果歌曲甲不在第一個出場，舞蹈乙不在最后一個出場，那么有多少種不同的出場順序?【答案】(1)(2)(3) 【分析】(1)捆綁法：先將4首歌曲捆綁，然后與3個舞蹈排序，有（種）不同的出場順序.（2）插空法：先將4首歌曲排好，再將3個舞蹈排入4首歌曲隔開的5個空中，（種）不同的出場順序.（3）有條件限制類排列：可用排除法，7個節(jié)目全排列，有種情況，其中歌曲甲在第一個出場時，有種情況，舞蹈乙在最后一個出場時，有種情況，其中都包含了歌曲甲在第一個出場且舞蹈乙在最后一個出場的情況，有種情況，故共有（種）不同的出場順序.【詳解】（1）先將4首歌曲捆綁，有種情況，再將捆綁好的4首歌曲與3個舞蹈排序，有種情況，所以有（種）不同的出場順序.（2）先將4首歌曲排好，有種情況，再將3個舞蹈排入4首歌曲隔開的5個空中，有種情況，所以有（種）不同的出場順序.（3）方法一：7個節(jié)目全排列，有種情況，其中歌曲甲在第一個出場時，有種情況，舞蹈乙在最后一個出場時，有種情況，其中都包含了歌曲甲在第一個出場且舞蹈乙在最后一個出場的情況，有種情況，故共有（種）不同的出場順序.方法二：歌曲甲在最后一個出場時，其他節(jié)目可全排，有種情況；歌曲甲不在最后一個出場時，可從余下的5個位置任選一個，有種情況，而舞蹈乙可排在除去最后一個位置后剩下的5個位置中，有種情況，其余節(jié)目全排列，有種情況，共有（種）不同的出場順序.22．已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，證明．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，分類討論當(dāng)、時函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（2）由（1）知，原不等式等價于，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，． 若，則當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；若，則當(dāng)時，當(dāng)時，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時，在處取得最小值，所以等價于，即．設(shè)，則．當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得極小值且為最小值，最小值為． 所以當(dāng)時，．從而當(dāng)時，，即． 

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