2022-2023學(xué)年廣東省韶關(guān)市新豐縣第一中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式得到，進而利用交集概念進行求解.【詳解】，故.故選：B2．已知數(shù)列滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由求出，進而代入求出.【詳解】因為，所以，.故選：C3．已知向量且，則實數(shù)（    ）A．-3 B． C． D．3【答案】D【分析】計算出，根據(jù)向量垂直列出方程，求出答案.【詳解】由，得，因為，所以，所以，所以.故選：D4．中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物（鼠?牛?虎?兔?龍?蛇?馬?羊?猴?雞?狗?豬）中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，已知甲同學(xué)喜歡牛?馬，乙同學(xué)喜歡牛?狗和羊，丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡，讓甲乙丙三位同學(xué)依次從中選一個作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的，則不同的選法有（    ）A．90種 B．80種 C．60種 D．50種【答案】D【分析】根據(jù)題意，按甲的選擇不同分成2種情況討論，求出確定乙，丙的選擇方法，即可得每種情況的選法數(shù)目，由分類加法計數(shù)原理，即可求出答案.【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：①若甲選擇牛，此時乙的選擇有2種，丙的選擇有10種，此時有種不同的選法：②若甲選擇馬，此時乙的選擇有3種，丙的選擇有10種，此時有種不同的選法：則共有種選法.故選：D5．在的展開式中，含項的系數(shù)為（    ）A．60 B．-60 C．12 D．-12【答案】A【分析】利用二項式定理得到展開式的通項公式，進而得到項的系數(shù).【詳解】展開式的通項為，則含的項為，故含項的系數(shù)為60.故選：A6．已知盒中裝有大小形狀完全相同的3個紅球、2個白球、5個黑球.甲每次從中任取一球且不放回，則在他第一次拿到的是紅球的前提下，第二次拿到白球的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)“第一次拿到的是紅球”為事件A,“第二次拿到白球”為事件B，分別計算出，的值，由條件概率公式可得，可得答案.【詳解】解：設(shè)“第一次拿到的是紅球”為事件A,“第二次拿到白球”為事件B，可得：，,則所求事件的概率為：,故選：D.【點睛】本題主要考查條件概率與獨立事件的計算，屬于條件概率的計算公式是解題的關(guān)鍵.7．點是直線上的動點，由點向圓作切線，則切線長的最小值為（   ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，要使切線長的最小，則必須點P到圓的距離最小，求出圓心到直線的距離，利用切線的性質(zhì)及勾股定理求出切線長的最小值即可．詳解：∵圓，∴圓心 ，半徑．由題意可知，點到圓的切線長最小時，直線．∵圓心到直線的距離 ，∴切線長的最小值為．故選C．點睛：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點到直線的距離公式，以及勾股定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．8．已知三棱錐的頂點都在球的球面上，平面，若球的體積為，則該三棱錐的體積的最大值是（    ）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】將三棱錐放入長方體內(nèi)，得到為球直徑，由基本不等式求出，從而求出三棱錐的體積的最大值.【詳解】因為，易知三角形為等腰直角三角形，又平面，所以為三棱錐的高，則可將三棱錐放入長方體內(nèi)，如圖，  長方體的體對角線即為外接球直徑，即為球直徑，，解得，又，解得，，所以所以三棱錐的體積，故選：A【點睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑 二、多選題9．某學(xué)校為了促進學(xué)生德?智?體?美?勞全面發(fā)展，制訂了一套量化評價標(biāo)準(zhǔn).下表是該校甲?乙兩個班級在某次活動中的德?智?體?美?勞的評價得分(得分越高，說明該項教育越好).下列說法正確的是（    ） 德智體美勞甲班9.59.599.58乙班9.599.598.5A．甲班五項得分的極差為1.5B．甲班五項得分的平均數(shù)高于乙班五項得分的平均數(shù)C．甲班五項得分的中位數(shù)大于乙班五項得分的中位數(shù)D．甲班五項得分的方差小于乙班五項得分的方差【答案】AC【分析】直接根據(jù)已知數(shù)據(jù)計算極差、平均數(shù)和中位數(shù)，比較判定ABC，寫出甲乙的成績的方差，作差比較即可判定D.【詳解】甲班的極差為,故A正確；甲班的平均數(shù),乙班的平均數(shù),故B錯誤；甲班的成績從低到高：8，9，9.5，9.5，9.5，中位數(shù)為9.5,乙班的成績從低到高排列：8.5，9，9，9.5，9.5，中位數(shù)9，故C正確；甲班的成績的方差為,乙班的成績的方差為,,故D錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查極差，平均數(shù)，中位數(shù)，方差的求法和大小比較，屬基礎(chǔ)題.關(guān)鍵在于理解有關(guān)概念，并熟練進行計算.10．設(shè)公比為的等比數(shù)列，若，則（    ）A． B．當(dāng)時，C．和的等比中項為4 D．【答案】AB【分析】ABC選項，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及通項公式求解判斷即可，對于D，可舉出反例.【詳解】A選項，由等比數(shù)列性質(zhì)可得，即，故A正確；B選項，當(dāng)時，，所以，故B正確；C選項，因為，所以和的等比中項為4或-4，故C錯誤；D選項，當(dāng)時，，故，D不正確.故選：AB11．生命在于運動，小蘭給自己制定了周一到周六的運動計劃，這六天每天安排一項運動，其中有兩天練習(xí)瑜伽，另外四天的運動項目互不相同，且運動項目為跑步、爬山、打羽毛球和跳繩.（    ）A．若瑜伽被安排在周一和周六，則共有48種不同的安排方法B．若周二和周五至少有一天安排練習(xí)瑜伽，則共有216種不同的安排方法C．若周一不練習(xí)瑜伽，周三爬山.則共有36種不同的安排方法D．若瑜伽不被安排在相鄰的兩天，則共有240種不同的安排方法【答案】BCD【分析】對于A，安排剩下的四種運動項目即可；對于B，利用間接法可求解；對于C，先排特殊的項目；對于D，先排其他四項運動，再插空可求解.【詳解】對于A，若瑜伽被安排在同一和周六，則共有種不同的安排方法，故A不正確；對于B，若周二和周五至少有一天安排練習(xí)瑜伽，則由間接法可得，不同的安排方法種數(shù)為，故B正確對于C，若周一不練習(xí)瑜伽，周三爬山，則共有種不同的安排方法，故C正確；對于D，若瑜伽不被安排在相鄰的兩天，則先排其他四項運動，共有種不同的安排方法，再從5個空位里插入2個安排練習(xí)瑜伽，故共有種不同的安排方法，故D正確.故選：BCD12．設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足，當(dāng)時，，則下列說法一定正確的是（    ）A．是偶函數(shù)B．不是奇函數(shù)C．函數(shù)有10個不同的零點D．【答案】AC【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可推導(dǎo)得到關(guān)于直線和點對稱，且周期為；令，，由奇偶性定義可得的奇偶性，可判斷AB；作出和的圖象，根據(jù)圖象可得兩函數(shù)交點個數(shù)，進而確定函數(shù)零點個數(shù)，知C正確；根據(jù)周期性可求得，知D錯誤.【詳解】，且關(guān)于直線對稱；又，且關(guān)于中心對稱；，則是周期為8的周期函數(shù)；對于，令，則為偶函數(shù)，正確；對于，令，則為奇函數(shù)，不正確；對于，作出和的圖象如下圖所示，  當(dāng)時，，又，由圖象可知：與共有10個不同的交點，則有10個不同的零點，正確；對于，錯誤.故選：AC 三、填空題13．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則          .【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)除法公式得到，再利用復(fù)數(shù)模長公式計算即可.【詳解】，故.故答案為：14．函數(shù)在點處的切線方程為              ；【答案】 【分析】由題意，求得，得到，進而得到切線的斜率，在利用直線的點斜式，即可得到切線的方程．【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則，即切線的斜率為，又，所以函數(shù)在點處的切線方程為，即．【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題時的注意點：①首先應(yīng)判斷所給點是不是切點，如果不是，需將切點坐標(biāo)設(shè)出；②切點既在原函數(shù)的圖象上也在切線上，可將切點坐標(biāo)代入兩者的函數(shù)解析式建立方程組；③在切點處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率，這是求切線方程最重要的條件．15．如圖，已知四棱柱的底面是邊長為1的正方形，且，，則      ．【答案】【分析】記，，，利用基底表示所求向量，然后將向量的模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積計算即可.【詳解】設(shè) ，，， 則 ， 底面是邊長為1的正方形，且，， 則有，，，，，，則 ，所以.故答案為：16．設(shè)函數(shù)，已知在上有且僅有2023個極值點，則的取值范圍是           【答案】【分析】通過三角恒等變換公式及輔助角公式化簡，得到，所以令，并求出，畫出在的圖像，又因為在上有且僅有2023個極值點，且每個周期有兩個極值點，所以推出，從而求出的取值范圍【詳解】當(dāng)時，，令，則，作出函數(shù)的圖象如圖所示：由于函數(shù)在上有且僅有2023個極值點，則，解得.故答案為：. 四、解答題17．已知各項都為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且，__________.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，記數(shù)列前項和為，證明：.請在下面三個條件中任選一個補充在上面題干中，再解答問題.①成等比數(shù)列；②成等差數(shù)列；③【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由，得到數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，然后分別選①②③，列方程求解首項，即可數(shù)列的通項公式；（2）利用裂項相消法求數(shù)列前項和為，即可證明.【詳解】（1）選①，由得：，數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列.由成等比數(shù)列可得，即，解得..選②，由，得，數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列.由成等差數(shù)列，得，即，解得，.選③，由，得，數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，由得，即解得（舍去），.（2）由（1）得，數(shù)列前項和為，故.18．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，求周長的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理可得，結(jié)合余弦定理得到結(jié)果；（2）利用余弦定理及重要不等式即可得到結(jié)果.【詳解】（1），由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，∴；（2）∵，，∴，即，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.∴周長的最大值為.19．如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角，，為側(cè)棱的中點.(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）證明出，，利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)徐，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：因為是等腰直角三角形，且，則，因為在直三棱柱中，平面，因為平面，所以，，因為，、平面，故平面.（2）解：因為平面，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，，則，因此，二面角的正弦值為.20．已知數(shù)列的首項為，且滿足；(1)求證是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項；(2)記數(shù)列的前項和為，求.【答案】(1)證明見解析，(2) 【分析】（1）變形得到，從而得到為首項為，公比為的等比數(shù)列，并求出；（2）利用錯位相減法和分組求和，求出答案.【詳解】（1）由題意，數(shù)列滿足，即，則，又由，可得，所以數(shù)列表示首項為，公比為-的等比數(shù)列.所以，所以，（2）由（1）知：，設(shè)，記數(shù)列的前項和為；設(shè)，記數(shù)列的前項和為；則，，①，②，①②得：，，，所以.21．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求的極值；（2）若對任意的，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）極小值=f(0)=1，無極大值；（2）【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，根據(jù)f(x)min≥1，求出k的范圍即可【詳解】(1)k=0時， .所以.令，解得:x>0；令，解得:x<0，故在遞減，在遞增，故極小值=f(0)=-1+2=1，無極大值.（2）.①時， ，在遞增，成立；②時，ln2k>0，令，解得:；令，解得: ，故f(x) 遞減，在遞增，故，故不合題意.綜上， .即的取值范圍為.22．已知橢圓過點為.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線與橢圓交于不同的兩點，直線分別與軸交于點，求的值.【答案】(1)(2)1 【分析】（1）代入點的坐標(biāo)，求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，求出直線的方程，從而得到，同理得到，從而求出，由，從而得到，故.【詳解】（1）因為橢圓過點為，所以有；（2）當(dāng)過點的直線斜率不存在時，直線與橢圓只有1個點，舍去，依題意過點的直線為，設(shè)，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，  直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，，因為，所以，因為，所以，即，于是有，即.【點睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值. 

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