2022-2023學(xué)年廣西玉林市第十五中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．，則（    ）A． B．2 C． D．6【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，可得答案.【詳解】∵，，∴.故選：C.2．小明早晨趕往1公里外的學(xué)校，開(kāi)始時(shí)選擇搭乘同學(xué)的自行車，加速行進(jìn)，中途經(jīng)過(guò)早餐店，停下來(lái)休息，吃完早餐后，勻速步行到達(dá)學(xué)校，與以上事件吻合得最好的圖像是（    ）A．     B．    C．     D．    【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可得答案.【詳解】由題意，小明趕去學(xué)校的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為三段：第一段，小明為加速運(yùn)動(dòng)，速度大于零，且越來(lái)越大，函數(shù)圖象應(yīng)越來(lái)越趨向于豎直；第二段，小明停下休息，速度為零，則函數(shù)圖象應(yīng)該是水平的；第三段，小明勻速運(yùn)動(dòng)，速度恒定不變，則函數(shù)圖象應(yīng)是斜線.故選：A.3．如圖所示是函數(shù)的圖像，其中為的導(dǎo)函數(shù)，則下列大小關(guān)系正確的是（    ）  A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圖像，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：D.4．的展開(kāi)式的第3項(xiàng)的系數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】寫出通項(xiàng)公式，代入相應(yīng)的值，即可求出系數(shù).【詳解】的通項(xiàng)令則，可得第3項(xiàng)的系數(shù)是.故選:A.5．四名獲獎(jiǎng)學(xué)生可以從鋼筆、文具盒、精美水杯、筆記本等四種獎(jiǎng)品中，挑選一份送給自己，每人限選一份，不同的選擇方法共有（    ）A．7種 B．256種 C．6種 D．12種【答案】B【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】∵獎(jiǎng)品一共有鋼筆、文具盒、水杯、筆記本四種且每種獎(jiǎng)品數(shù)量無(wú)限制，∴四名獲獎(jiǎng)學(xué)生，每個(gè)人都可以從四種獎(jiǎng)品中任選一種，∴共有種.故選：B6．展開(kāi)式中不含項(xiàng)的系數(shù)的和為A． B． C． D．2【答案】B【詳解】試題分析：由二項(xiàng)式定理知，展開(kāi)式中最后一項(xiàng)含，其系數(shù)為1，令=1得，此二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為=1，故不含項(xiàng)的系數(shù)和為1-1=0，故選B.【解析】二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和；二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)7．某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45【答案】A【詳解】試題分析：記“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，“第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.【解析】條件概率． 8．袋中有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球的號(hào)碼之和為隨機(jī)變量X，則X所有可能取值的個(gè)數(shù)是（    ）A．5 B．9 C．10 D．25【答案】B【分析】根據(jù)每次抽取的球號(hào)均可能是1，2，3，4，5中某個(gè)可得答案.【詳解】由于抽球是在有放回條件下進(jìn)行的，所以每次抽取的球號(hào)均可能是1，2，3，4，5中某個(gè)，故兩次抽取球號(hào)碼之和X的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9個(gè).故選：B. 二、多選題9．下列選項(xiàng)正確的是（    ）A．，則 B．，則C．，則 D．，則【答案】BCD【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求各選項(xiàng)中函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).【詳解】A：，錯(cuò)誤；B：，則，正確；C：，正確；D：正確.故選：BCD10．某中學(xué)為提升學(xué)生勞動(dòng)意識(shí)和社會(huì)實(shí)踐能力，利用周末進(jìn)社區(qū)義務(wù)勞動(dòng)，高三一共6個(gè)班，其中只有1班有2個(gè)勞動(dòng)模范，本次義務(wù)勞動(dòng)一共20個(gè)名額，勞動(dòng)模范必須參加并不占名額，每個(gè)班都必須有人參加，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若1班不再分配名額.則共有種分配方法B．若1班有除勞動(dòng)模范之外學(xué)生參加，則共有種分配方法C．若每個(gè)班至少3人參加，則共有90種分配方法D．若每個(gè)班至少3人參加，則共有126種分配方法【答案】BD【分析】對(duì)于AB，將20個(gè)名額分給n個(gè)班，且每個(gè)班至少有一個(gè)名額，相當(dāng)于在20個(gè)物體的19個(gè)空中，選個(gè)位置分隔，用插空法；對(duì)于CD，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將10個(gè)，名額分配到6個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)名額，進(jìn)而結(jié)合擋板法求解即可得到.【詳解】解：對(duì)于A，若1班不再分配名額，則20個(gè)名額分配到5個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)，根據(jù)隔板法，有種分配方法，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若1班有除勞動(dòng)模范之外學(xué)生參加，則20個(gè)名額分配到6個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)，根據(jù)隔板法，有種分配方法，故B正確；對(duì)于CD，若每個(gè)班至少3人參加，由于1班有2個(gè)勞模，故只需先滿足每個(gè)班級(jí)有2個(gè)名額，還剩10個(gè)名額，再將10個(gè)，名額分配到6個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)名額，故只需在10個(gè)名額中的9個(gè)空上放置5個(gè)隔板即可，故有種，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.11．在的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是（    ）A．展開(kāi)式中各項(xiàng)的通項(xiàng)公式為B．展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)等于其二項(xiàng)式系數(shù)C．x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有5項(xiàng)D．展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)【答案】ABC【分析】對(duì)于A，根據(jù)二項(xiàng)式定理，結(jié)合冪的運(yùn)算律，可得答案；對(duì)于B，根據(jù)A寫出的通項(xiàng)，結(jié)合單項(xiàng)式系數(shù)以及二項(xiàng)式系數(shù)的定義，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式中項(xiàng)的性質(zhì)，建立方程，可得答案；對(duì)于D，利用賦值法，建立方程，結(jié)合常數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，的通項(xiàng)：，各項(xiàng)的系數(shù)為：，二項(xiàng)式系數(shù)為：，兩者相等，故B正確；對(duì)于C，x的冪指數(shù)是整數(shù)，∵的通項(xiàng)：，∴，且，，解得共五項(xiàng)，故C正確；對(duì)于D，的通項(xiàng)：，∴，且，∴k無(wú)解，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占30%，次品率為3%；第二批占70%，次品率為6%，將這兩批產(chǎn)品混合后，從中任取1件，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．這件產(chǎn)品是合格的概率為0.949B．這件產(chǎn)品是次品的概率為0.949C．已知取到的是合格品，那么它取自第一批產(chǎn)品的概率為D．已知取到的是合格品，那么它取自第二批產(chǎn)品的概率為【答案】AC【分析】AB選項(xiàng)，利用全概率公式計(jì)算即可；CD選項(xiàng)，利用條件概率公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)“取出的是第i批產(chǎn)品”，B＝“取出的是合格品”，，A正確；B選項(xiàng)，設(shè)C＝“取出的是次品”，，B正確；C、D選項(xiàng)．，，C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC． 三、填空題13．若函數(shù)，則         .【答案】2【分析】利用乘法求導(dǎo)公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，再求導(dǎo)數(shù)值即可.【詳解】解：，，.故答案為：2.14．5名工人分別要在3天中選擇一天休息，不同方法的種數(shù)是            ．【答案】【分析】按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】解：每個(gè)人都有種選擇方法，根據(jù)分步計(jì)算原理可知方法有種.故答案為：15．將兩個(gè)骰子各擲一次，設(shè)事件 “二個(gè)點(diǎn)數(shù)都相同”， “至少出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)”，則      ．【答案】【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，結(jié)合組合數(shù)以及古典概型的概率計(jì)算公式，可得答案.【詳解】，∵，，∴.故答案：.16．已知某位運(yùn)動(dòng)員投籃一次命中的概率是未命中概率的4倍，設(shè)隨機(jī)變量X為他投籃一次命中的個(gè)數(shù)，則X的期望是        ．【答案】0.8【解析】求出投籃一次命中和未命中的概率，再求期望即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以故答案為： 四、解答題17．已知函數(shù).(1)求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(2)求這個(gè)函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）求出切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，即；（2）因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，且，所以切線方程為，即.18．某班兩位老師和6名學(xué)生出去郊游，分別乘坐兩臺(tái)車，每臺(tái)車可以坐4人.(1)若要求兩位老師分別坐在兩臺(tái)車上，問(wèn)共有多少種分配方法？(2)郊游結(jié)束后，大家在景點(diǎn)合影留念，若要求8人站成一排且兩名老師不能相鄰，問(wèn)共有多少種站法（列式并用數(shù)字作答）？【答案】(1)40(2)30240 【分析】（1）該問(wèn)不涉及排序問(wèn)題，考慮用組合去處理，第一輛車選好后，剩下的歸為第二輛車.（2）排序問(wèn)題中，不相鄰問(wèn)題考慮用插空法.【詳解】（1）八個(gè)人坐兩臺(tái)車，只需要考慮第一輛車坐的人，先選一位老師坐入第一輛車，共種選法，再選三名學(xué)生坐入第一輛車，共種選法，因此共有種分配方式.（2）先讓6名學(xué)生排隊(duì)，共種方法，然后兩名老師插入7個(gè)空隙，共種方法，因此共有種站法.19．已知中，，且.（1）求m；（2）求.【答案】（1）（2）29524【分析】（1）由二項(xiàng)式定理求出第4項(xiàng)和第7項(xiàng)的系數(shù)，代入已知可得；（2）令得所有項(xiàng)系數(shù)和，令得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和的差，兩者結(jié)合后可得偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和，是常數(shù)項(xiàng)易求，從而可得，【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，依題意得：，因?yàn)?/span>，所以，得.（2）令得：.①令得：.②由①②得：，即.又，所以【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和賦值法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.20．已知隨機(jī)變量，且其正態(tài)曲線在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且．(1)求參數(shù)，的值．(2)求．附：若，則，【答案】(1)，(2)0.1359 【分析】（1）由題設(shè)及特殊區(qū)間的概率值得到，即可確定參數(shù)；（2）利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求、，進(jìn)而求目標(biāo)概率值.【詳解】（1）由題設(shè)，而，則，可得.（2）由（1）知：，正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱 ，即，所以，故，由，則，所以，綜上，.  21．為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)X為成活沙柳的株數(shù)，期望，方差．(1)求n和p的值，并寫出X的分布列.；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率．【答案】(1)，，分布列.見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)列方程組，求得，并求得的分布列.（2）結(jié)合（1）的分布列求得正確答案.【詳解】（1）由題意知，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，，．由，解得，．所以，的可能取值為， ，，，，所以X的分布列為：（2）記事件A表示“需要補(bǔ)種沙柳”，則，得，所以需要補(bǔ)種沙柳的概率為．22．設(shè)函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)時(shí)恒成立，求的取值范圍．【答案】(1) f(x)在(－∞，0)單調(diào)減少，在(0，＋∞)單調(diào)增加;(2) a的取值范圍為(－∞，].【分析】(1)a＝0時(shí)，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.分別令f′(x)<0，f′(x)>0可求的單調(diào)區(qū)間；(2求導(dǎo)得到)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立．故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，從而對(duì)1－2a的符號(hào)進(jìn)行討論即可得出結(jié)果.【詳解】(1)a＝0時(shí)，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)單調(diào)減少，在(0，＋∞)單調(diào)增加(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，從而當(dāng)1－2a≥0，即a≤時(shí)，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0.由ex>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，從而當(dāng)a>時(shí)，f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，故當(dāng)x∈(0，ln2a)時(shí)， f′(x)<0，而f(0)＝0，于是當(dāng)x∈(0，ln2a)時(shí)，f(x)<0，綜上可得a的取值范圍為(－∞，]．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題. 

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