2022-2023學年廣西崇左市天等縣民族高中高二下學期數(shù)學期中考試試題 一、單選題1．已知函數(shù)，設是函數(shù)的導函數(shù)，則的值為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用導數(shù)的運算法則求出導數(shù)，再代值計算作答.【詳解】函數(shù)，求導得：，所以.故選：A2．設等比數(shù)列的前項和為，若，且成等差數(shù)列，則（    ）A．63 B．31 C．-63 D．-31【答案】A【分析】設出公比，根據(jù)成等差數(shù)列列出方程，求出公比，利用等比求和公式求出答案.【詳解】設公比為，因為成等差數(shù)列，所以，則，解得：或0（舍去）.因為，所以，故.故選：A.3．已知等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，為其前項和，若，，則A．40 B．56 C．72 D．120【答案】D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的片段求和性質求解即可.【詳解】因為,,,成等比數(shù)列,所以,,,故選：D.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列片段求和的性質,屬于基礎題.4．若，（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導公式和二倍角公式即可求解.【詳解】∵，∴.故選：C.5．直線與圓交于兩點，則為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圓方程求圓心坐標和半徑，利用點到直線距離公式求圓心到直線的距離，結合弦長公式求.【詳解】方程可化為，所以圓的圓心的坐標為，半徑為，圓心到直線的距離，所以，故選：D.6．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（    ）A．6 B．12 C．78 D．156【答案】C【分析】由條件根據(jù)等差數(shù)列前項和公式結合等差數(shù)列性質可求.【詳解】因為，又，所以，故選：C.7．設函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù)，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的導數(shù)公式求解.【詳解】因為，所以，所以，故選：B.8．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（    ）A． B． C． D．和【答案】D【分析】求導，根據(jù)導函數(shù)的符號求解.【詳解】 ，依題意， 或 ；故選：D. 二、多選題9．下列關于雙曲線的結論中，正確的是（    ）A．離心率為 B．焦距為C．兩條漸近線互相垂直 D．焦點到漸近線的距離為1【答案】ACD【分析】根據(jù)雙曲線的基本知識對選項一一驗證即可.【詳解】雙曲線，可得，，，則雙曲線的離線率為，故A正確；焦距，故B錯誤；漸近線為與，且斜率之積為-1，即兩條漸近線互相垂直，故C正確；焦點到漸近線的距離為，故D正確；故選：ACD.10．已知函數(shù)，則下列結論中正確的是（    ）A． 有兩個極值點B．當時，在上是增函數(shù)C．當時，在上的最大值是1D．當時，點是曲線的對稱中心【答案】BCD【分析】求函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)極值點的定義判斷A，結合導數(shù)判斷函數(shù)的單調性求最值，判斷B，C，結合奇函數(shù)的定義判斷D.【詳解】因為，所以，當時，，當且僅當時，函數(shù)在上單調遞增，函數(shù)沒有極大值點也沒有極小值點，A錯誤；當時，，當時，，函數(shù)在上單調遞增，B正確；當時，，令可得，或，當時，，函數(shù)在上單調遞增，當時，，函數(shù)在上單調遞減，當時，，函數(shù)在上單調遞增，又，所以函數(shù)在上的最大值為1，C正確；當時，，，設，則，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于原點對稱，所以函數(shù)關于點對稱，D正確.故選：BCD.11．設拋物線的焦點為，準線為，直線經(jīng)過點且與交于兩點，若，則下列結論中正確的是（    ）A．直線的斜率為或 B．的中點到的距離為4C． D．（O為坐標原點）【答案】ABC【分析】由題設直線的方程為，，進而聯(lián)立方程，結合向量關系得或，再依次討論各選項即可.【詳解】解：由題知焦點為，準線為，所以，設直線的方程為，，所以，得，所以，，①，②，因為，即，所以③，所以，由①②③得或，所以直線的斜率為，故A選項正確；所以，，故的中點的橫坐標為，所以，的中點到的距離為，故B選項正確；當時，，此時，，故；當時，，此時，，故；故C選項正確；因為，故不成立，故D選項錯誤.故選：ABC12．設是數(shù)列的前n項和，且，，則下列結論中，正確的是（    ）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C． D．【答案】BD【分析】利用與的關系可得的遞推關系即可判斷A，C；利用與的關系可得的遞推關系即可判斷B，D．【詳解】由，所以當時，有，兩式相減得，又，，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故A錯誤；C錯誤；由，得，所以數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，所以，故B正確；D正確．故選：BD． 三、填空題13．若a是4+m，4-m的等差中項，則a=           【答案】4【分析】用等差數(shù)列性質中，有關于等差中項的公式，即可求得.【詳解】a是4+m，4-m的等差中項，，解得，故答案為：4.14．曲線在點處的切線方程為            .【答案】【分析】再結合導數(shù)的幾何意義 切線斜率，代入切線方程公式即可．【詳解】因為，所以，所以．故切線方程為．故答案為：．15．已知中，，則面積的最大值為     【答案】【分析】設，則，根據(jù)面積公式得，由余弦定理求得代入化簡，由三角形三邊關系求得，由二次函數(shù)的性質求得取得最大值．【詳解】解：設，則，根據(jù)面積公式得，由余弦定理可得，可得：，由三角形三邊關系有：，且，解得：，故當時，取得最大值，故答案為：．【點睛】本題主要考查余弦定理和面積公式在解三角形中的應用．當涉及最值問題時，可考慮用函數(shù)的單調性和定義域等問題，屬于中檔題．16．已知經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，若恰為弦的中點，則橢圓的離心率為                .【答案】【分析】設，代入橢圓方程相減，利用中點坐標求得關系，從而可得離心率．【詳解】解：設，，是線段的中點，，兩式相減可得，整理得，即，∵弦的斜率為，即．故答案為：． 四、解答題17．求下列函數(shù)的導函數(shù).(1)；(2).【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用函數(shù)積的導數(shù)公式計算；（2）利用函數(shù)商的導數(shù)公式計算.【詳解】（1），；（2），.18．已知橢圓的左、右焦點分別為，且該橢圓過點．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）過點作一條斜率不為0的直線，直線與橢圓相交于兩點，記點關于軸對稱的點為點，若直線與軸相交于點，求面積的最大值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)，和計算橢圓的標準方程；（Ⅱ）題意可設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到，根據(jù)坐標設出的方程，并得到的面積，代入根與系數(shù)的關系，并求最大值.【詳解】（Ⅰ）由橢圓的定義可得，解得 .又， 所以橢圓的標準方程為（Ⅱ）由題意可設直線的方程為 .設，則 .由，消去可得 ， 直線的方程為 .令，可得， 令，則當且僅當，即時等號成立，面積的最大值為【點睛】本題考查了直線與橢圓的位置關系的綜合問題，涉及橢圓中三角形面積的最值的求法，第二問中設而不求的基本方法也使得求解過程變得簡單，在解決圓錐曲線與動直線問題中，韋達定理，弦長公式都是解題的基本工具.19．已知數(shù)列滿足，.求數(shù)列的通項公式；【答案】【分析】由，利用累乘法進行解決即可.【詳解】因為，，所以當時，，則，即，當時，也成立，所以.20．在中，內角A，B，C對的邊長分別為a，b，C，且.(1)求角A；(2)若，求面積的最大值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用正弦定理，，據(jù)此可得答案；（2），又由（1）可知，則再利用輔助角公式與三角函數(shù)有界性可得答案.【詳解】（1）由正弦定理，，又在三角形中，.則，又，得，結合，知.（2）由正弦定理，可知.則.又由（1）可知，則.，因，則，故當，即時，取最大值.21．已知等差數(shù)列的前n項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設數(shù)列的公差為，列方程求，寫出等差數(shù)列通項公式；（2）利用裂項相消法求和.【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，因為，所以，，解得，，所以．（2），因為所以．所以.22．已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個零點，求a的取值范圍.【答案】(1)單調增區(qū)間；減區(qū)間(2) 【分析】（1）求函數(shù)的導函數(shù)，由求函數(shù)的單調遞增區(qū)間，由求函數(shù)的單調遞減區(qū)間；（2）由可得，則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與極值，數(shù)形結合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，，該函數(shù)的定義域為，，令可得，列表如下：取值為正取值為負單調遞增極大值單調遞減所以，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；（2）由，可得，則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，函數(shù)的定義域為，，由，可得，列表如下：取值為正取值為負單調遞增極大值單調遞減所以，函數(shù)的極大值為，且當時，，當時，和函數(shù)相比，一次函數(shù)呈爆炸性增長，所以，且，，又，根據(jù)以上信息，作出其圖象如下：當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理． 

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