2022-2023學(xué)年廣西壯族自治區(qū)玉林市北流市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)全集，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解方程求出集合B,再由集合的運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意，，所以,所以.故選：D. 2．“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由當(dāng)為整數(shù)時(shí)，必為整數(shù)；當(dāng)為整數(shù)時(shí)，比一定為整數(shù)；即可選出答案.【詳解】當(dāng)為整數(shù)時(shí)，必為整數(shù)；當(dāng)為整數(shù)時(shí)，比一定為整數(shù)，例如當(dāng)時(shí)，.所以“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.3．若，一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一分析即可.【詳解】若，則，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故BC錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤.故選：A.4．從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D. 5．若函數(shù)，則（    ）A．－2 B．－1 C．0 D．1【答案】C【分析】首先求，再代入求的值.【詳解】，所以.故選：C6．新冠疫情防控期間，某鎮(zhèn)醫(yī)院派3位醫(yī)生到4個(gè)不同的學(xué)校進(jìn)行核酸檢測(cè)，每位醫(yī)生至少去一個(gè)學(xué)校且至多去兩個(gè)學(xué)校，每個(gè)學(xué)校只安排一位醫(yī)生，則所有不同的情況共有（    ）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種【答案】B【分析】先將醫(yī)院分三組，其中一組有兩個(gè)醫(yī)院，再把三位醫(yī)生分配到三個(gè)小組去.【詳解】由題意知必有一位醫(yī)生去兩個(gè)醫(yī)院，另外兩個(gè)醫(yī)院各去一位醫(yī)生，第一步先將醫(yī)院按2：1：1分為三組共有種方法，第二步再把三位醫(yī)生分配到三個(gè)小組去，有種分配方法，故共有種方法.故選：B7．盲盒里有大小、形狀完全相同的個(gè)綠球，個(gè)紅球，現(xiàn)拋擲一枚均勻的骰子，擲出幾點(diǎn)就從盲盒里取出幾個(gè)球．則取出的球全是綠球的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)“取出的球全是綠球”，“擲出點(diǎn)”，則，求出，利用全概率公式可求得的值.【詳解】設(shè)“取出的球全是綠球”，“擲出點(diǎn)”，則，又因?yàn)閺拿ず欣锩看稳〕?/span>個(gè)球的所有取法是，即基本事件總數(shù)為，而從袋中每次取出個(gè)綠球的所有取法是，即事件所含基本事件數(shù)為，所以擲出點(diǎn)，取出的球全是綠球的概率為，所以，.故選：B.8．不等式 對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為(　  　)A．  B． C． D． 【答案】A【詳解】試題分析：由題意得，不等式，又關(guān)于的不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則，即，解得，故選A.【解析】基本不等式的應(yīng)用；不等式的恒成立問(wèn)題. 二、多選題9．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】AC選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷出AC為偶函數(shù)，BD為奇函數(shù)，再數(shù)形結(jié)合判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?/span>定義域?yàn)?/span>R，且，故為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，定義域?yàn)?/span>，且，故為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，B正確；C選項(xiàng)，定義域?yàn)?/span>R，且，故為偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，定義域?yàn)?/span>R，且，故為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，D正確.故選：BD10．一個(gè)袋子中有編號(hào)分別為的4個(gè)球，除編號(hào)外沒(méi)有其它差異.每次摸球后放回，從中任意摸球兩次，每次摸出一個(gè)球.設(shè)“第一次摸到的球的編號(hào)為2”為事件，“第二次摸到的球的編號(hào)為奇數(shù)”為事件，“兩次摸到的球的編號(hào)之和能被3整除”為事件，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A． B．事件與事件相互獨(dú)立C． D．事件與事件互為對(duì)立事件【答案】AC【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，由古典概型的概率公式得，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由題得，事件與事件不相互獨(dú)立，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C, ，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D,舉例說(shuō)明事件與事件不是對(duì)立事件，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，兩次摸到的球的編號(hào)之和能被3整除的基本事件有 ，共5個(gè)，由古典概型的概率公式得，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由題得,,所以，事件與事件不相互獨(dú)立，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C, ，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D, 如果第一次摸到編號(hào)為1的球，第二次摸到編號(hào)為4的球，則事件A和B都沒(méi)有發(fā)生，所以事件與事件不是對(duì)立事件，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC11．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（    ）A．是偶函數(shù)B．是周期函數(shù)C．在區(qū)間 上，有且只有一個(gè)極值點(diǎn)D．過(guò) 作y=的切線，有無(wú)數(shù)條【答案】AC【分析】根據(jù) 的解析式，分別其對(duì)稱性，周期性，單調(diào)性以及切線方程作出分析.【詳解】顯然 ，A正確；顯然不是周期函數(shù)， B錯(cuò)誤；對(duì)于 C， ，令 ，當(dāng) 時(shí)， ，則 單調(diào)遞減，又 ，故 在 上只有一個(gè)解，C正確;對(duì)于 D，設(shè)切點(diǎn)為 ，則切線方程為，代入(0，0)，有，得t= 0或 ，若 ，則切線方程為；若 ，則切線方程為，故有且僅有3 條切線，D錯(cuò)誤；故選：AC.12．已知函數(shù)，則（    ）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.  三、填空題13．若，則的最小值為         .【答案】7【分析】配湊法，由均值不等式求和的最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即()時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為7.故答案為：7.14．的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為      .【答案】【分析】由題意結(jié)合二項(xiàng)式定理可得的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，代入即可得解.【詳解】由題意的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令即，則，所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則          .【答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解.【詳解】，則，所以由得，，，．故答案為：．16．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足且為偶函數(shù)，若，則不等式的解集為          .【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)結(jié)合已知條件得出函數(shù)的單調(diào)性.又根據(jù)為偶函數(shù)，可推得，.原不等式等價(jià)于，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案.【詳解】令，即，則.因?yàn)?/span>，所以在R上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.又為偶函數(shù)，所以，所以，所以.又不等式等價(jià)于，即，即.又在上單調(diào)遞增，可得.所以，不等式的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合已知得出函數(shù)的單調(diào)性.然后根據(jù)已知求得的解.又原不等式等價(jià)于，即可利用單調(diào)性得出答案. 四、解答題17．甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表： 一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?【答案】(1)75%；60%；(2)能． 【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)直接求頻率即可，（2）由公式直接計(jì)算，然后根據(jù)臨界值表中的數(shù)據(jù)比較可得結(jié)論【詳解】（1）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為，乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為．（2），故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異．18．已知函數(shù)（且）為定義在上的奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，使不等式對(duì)一切恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）1（2）【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義可知，從而可得a；（2）先利用奇函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再進(jìn)行求解.【詳解】（1）依題意可得，，即，此時(shí).又符合題意，∴實(shí)數(shù)的值為1；（2）由，得，解得．此時(shí)為減函數(shù)，不等式可化為.即對(duì)一切恒成立．故對(duì)任意恒成立．∴，解得．綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)及利用奇偶性求解不等式問(wèn)題，二次型恒成立問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為判別式的符號(hào)問(wèn)題.19．改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月，兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中，兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用和僅使用的學(xué)生的支付金額分布情況如下：交付金額（元）支付方式大于2000僅使用18人9人3人僅使用10人14人1人（Ⅰ）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月，兩種支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用和僅使用的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析，1【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意先計(jì)算出上個(gè)月，兩種支付方式都使用的學(xué)生人數(shù)，再結(jié)合古典概型公式計(jì)算即可；（Ⅱ）由題求出使用兩種支付方式金額不大于1000的人數(shù)和金額大于1000的人數(shù)所占概率，再結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可【詳解】（Ⅰ）由題意可知，兩種支付方式都使用的人數(shù)為：人，則：該學(xué)生上個(gè)月，兩種支付方式都使用的概率．（Ⅱ）由題意可知，僅使用支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，僅使用支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，且可能的取值為0，1，2．，，，的分布列為：012其數(shù)學(xué)期望：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的簡(jiǎn)單計(jì)算，離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題20．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論、、結(jié)合導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，又 ，則，故切線方程為：.（2）由，則且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，綜上：當(dāng)時(shí)，僅有單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.21．2015年7月31日，在吉隆坡舉行的國(guó)際奧委會(huì)第128次全會(huì)上，北京獲得2022年冬奧會(huì)舉辦權(quán).在申冬奧過(guò)程中，中國(guó)正式向國(guó)際社會(huì)作出“帶動(dòng)三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的莊嚴(yán)承諾.這一承諾，既是我國(guó)為國(guó)際奧林匹克運(yùn)動(dòng)做出重大貢獻(xiàn)的大國(guó)擔(dān)當(dāng)展現(xiàn)，也是根據(jù)我國(guó)經(jīng)濟(jì)水平和全民健身需求做出的群眾性運(yùn)動(dòng)的戰(zhàn)略部署.從北京冬奧會(huì)申辦成功到2021年10月，全國(guó)參與冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)累計(jì)達(dá)到3.46億，實(shí)現(xiàn)了“帶動(dòng)三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的目標(biāo)，這是北京冬奧會(huì)給予全球冬季體育運(yùn)動(dòng)和奧林匹克運(yùn)動(dòng)的最為重要的遺產(chǎn)，可以說(shuō)是2022年北京冬奧會(huì)的第一塊金牌.“冬奧熱”帶動(dòng)“冰雪熱”，也帶動(dòng)了冰雪經(jīng)濟(jì)，以冰雪運(yùn)動(dòng)為主要內(nèi)容的冰雪旅游近年來(lái)發(fā)展迅速，2016至2022六個(gè)冰雪季的旅游人次y（單位億）的數(shù)據(jù)如下表：年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022年度代號(hào)t123456旅游人次y1.71.972.240.942.543.15(1)求y與t的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并回答y與t的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；(2)因受疫情影響，現(xiàn)將2019—2020年度的異常數(shù)據(jù)剔除，用剩下的5個(gè)年度數(shù)據(jù)（年度代號(hào)不變），求y關(guān)于t的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并推測(cè)沒(méi)有疫情情況下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估計(jì)值.附注：參考數(shù)據(jù)：，，，，.參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，【答案】(1)，線性相關(guān)性不強(qiáng)(2)，億 【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)結(jié)合相關(guān)系數(shù)公式求出相關(guān)系數(shù)，再進(jìn)行判斷即可，（2）由已知數(shù)據(jù)結(jié)合回歸方程公式計(jì)算y關(guān)于t的線性回歸方程，再將代入回歸方程可求出2019—2020年度冰雪旅游人次的估計(jì)值【詳解】（1）由參考數(shù)據(jù)計(jì)算得所以，因?yàn)?/span>，所以線性相關(guān)性不強(qiáng).（2）五組數(shù)據(jù)的均值分別為，，關(guān)于的線性回歸方程為令，則，因此，在沒(méi)有疫情情況下，2019-2020年度冰雪旅游人次的估計(jì)值為億.22．設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)由（Ⅰ）知，，其定義域?yàn)?/span>．要證，即證，即證．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，即證．令，因?yàn)?/span>，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，即證，由（ⅰ）分析知在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．綜合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二] 【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無(wú)分母函數(shù)由（1）得，，且，當(dāng) 時(shí)，要證，， ，即證，化簡(jiǎn)得；同理，當(dāng)時(shí)，要證，， ，即證，化簡(jiǎn)得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時(shí)，，單減，故；當(dāng)時(shí)，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三] ：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見(jiàn)結(jié)論證明令，因?yàn)?/span>，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．故當(dāng)且時(shí)，且，，即，所以．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，同理可證得．綜合（ⅰ）（ⅱ）得，當(dāng)且時(shí)，，即．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當(dāng)時(shí)，成立和當(dāng)時(shí)，成立，然后換元構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證得，通性通法，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證得常見(jiàn)常用結(jié)論（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.   

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