廣西玉林市玉州區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷一、單選題（每小題5分，滿分40分）1．已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且均有′（x），則有（　?。?/span>A．B．C．D．2．函數(shù)的遞增區(qū)間是（　　）A．和 B．C． D．3．從6人中選出4人分別到碧峰峽、蒙頂山、喇叭河、龍蒼溝四個(gè)景區(qū)游覽，要求每個(gè)景區(qū)有一人游覽，每人只游覽一個(gè)景區(qū)，且這6人中甲，乙兩人不去龍蒼溝游覽，則不同的選擇方案共有（　　）A．168種 B．216種 C．240種 D．360種4． 的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（　　）   A．-60 B．-15 C．15 D．605．隨機(jī)變量的分布列如表所示，則（　?。?/span>X024PaA．1 B．2 C．3 D．46．某社區(qū)準(zhǔn)備從甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)中選取3名同學(xué)參加疫情防控志愿者服務(wù)，若每人被選中的可能性相等，則其中甲、乙2名同學(xué)同時(shí)被選取的概率為（　　）A． B． C． D．7．函數(shù)的部分圖象大致為（　?。?/span>A． B．C． D．8．將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲 次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)朝上的概率是（　　） A． B． C． D．二、多選題（每小題5分，滿分20分）9．以下函數(shù)求導(dǎo)正確的有（　?。?/span>A． B．C． D．10．下列命題正確的是（　?。?/span>A．若事件A與B相互獨(dú)立，且，，則B．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則C．在回歸分析中，對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)越接近1時(shí)，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)D．在回歸分析中，對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，若殘差平方和越大，則模型的擬合效果越差；反之，則模型的擬合效果越好11．已知公差為的等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且，則（　?。?/span>A． B． C． D．12．如圖，已知拋物線，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線自上而下，分別交拋物線與圓于四點(diǎn)，則（　?。?/span>A． B．C． D．三、填空題（每小題5分，滿分20分）13．的二項(xiàng)展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為　     　.14．已知函數(shù)，則f（x）所有的切線中斜率最小的切線方程為　            　.15．從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是　     　.   16．已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，則a=　     　.四、解答題（滿分70分）17．（10分）全民健身旨在全面提高國(guó)民體質(zhì)和健康水平，倡導(dǎo)全民做到每天參加一次以上的健身活動(dòng)，學(xué)會(huì)兩種以上健身方法，每年進(jìn)行一次體質(zhì)測(cè)定．為響應(yīng)全民健身號(hào)召，某單位在職工體測(cè)后就某項(xiàng)健康指數(shù)（百分制）隨機(jī)抽取了30名職工的體測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本進(jìn)行調(diào)查，具體數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，其中有1名女職工的健康指數(shù)的數(shù)據(jù)模糊不清（用x表示），已知這30名職工的健康指數(shù)的平均數(shù)為76.2．（1）根據(jù)莖葉圖，求樣本中男職工健康指數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（2）根據(jù)莖葉圖，按男女用分層抽樣從這30名職工中隨機(jī)抽取5人，再?gòu)某槿〉?/span>5人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人都是男職工的概率；（3）經(jīng)計(jì)算，樣本中男職工健康指數(shù)的平均數(shù)為81，女職工現(xiàn)有數(shù)據(jù)（即剔除x）健康指數(shù)的平均數(shù)為69，方差為190，求樣本中所有女職工的健康指數(shù)的平均數(shù)和方差（結(jié)果精確到0.1）．18．（12分）如果一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，這個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的大小能確定嗎？你能得到什么結(jié)論？19．（12分）如圖所示，是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，是的中點(diǎn)、若是上異于，的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，求證：.20．（12分）已知向量的坐標(biāo)分別是，求：（1）的夾角的余弦值；（2） 及 ．21．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓C上，且滿足．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．證明：總存在一個(gè)確定的圓與直線l相切，并求該圓的方程．22．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．
答案解析部分1．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系【解析】【解答】令 ，則 ，
又因?yàn)?/span> ，
所以， ，
函數(shù)為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，
即 ，
所以 ，
故選 D. 【分析】本題主要考察了函數(shù)的小題構(gòu)造，由 ， 可以構(gòu)造函數(shù) ， 進(jìn)而可以判斷出函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得出結(jié)論.2．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)公式【解析】【解答】求導(dǎo) ，令 ， 則 ， 解得 ，故選D.
【分析】 對(duì)f(x) 求導(dǎo) ，令導(dǎo)數(shù)大于0 即可得到答案 ，注意函數(shù)的定義域.3．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)與排列組合【解析】【解答】可以分類討論，第一類，從6人中選出的4人沒(méi)有甲也沒(méi)有乙，則不同的選擇方案有種 。第二類，選出的有且僅有甲乙其中一個(gè)，則不同的選擇方案有 種，第三類，選出的4人有甲也有乙，則不同的選擇方案為， 故答案為C
【分析】 本題考查排列組合的基本原理，可以簡(jiǎn)單的分類討論 選擇的4人中有沒(méi)有甲或者乙 進(jìn)行排序.4．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【解析】【解答】 的展開(kāi)式的通項(xiàng)為 ， 令 ，得到 所以 展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 ，故答案為：D.【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)式展開(kāi)通項(xiàng)，整理后令 的指數(shù)為0，得到相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，然后算出常數(shù)項(xiàng).5．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差【解析】【解答】由概率和為1可得，
則 ，
所以， ，
故選B.
【分析】 先根據(jù)概率和求出a ，再利用期望公式求出期望，代入方差公式即可求出.6．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式【解析】【解答】解：甲、乙2名同學(xué)同時(shí)被選取的概率為，故答案為：A.
【分析】 甲、乙2名同學(xué)同時(shí)被選取，只需要在剩下三位同學(xué)里面再選一個(gè)，即可完成選取任務(wù)，再結(jié)合組合數(shù)即可求解出答案.7．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的值域；函數(shù)的奇偶性；奇偶性與單調(diào)性的綜合【解析】【解答】因?yàn)?/span> ，
所以 f(x)為奇函數(shù)， 圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B，D 再代入特殊值可排除C 則答案為A.
【分析】利用函數(shù)圖象的奇偶性可以快速排除B和D，再根據(jù)剩余選項(xiàng)的差異再x>0 函數(shù)值應(yīng)該為正號(hào)排除C.8．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【解析】【解答】因?yàn)閷⒁活w質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次出現(xiàn)6點(diǎn)朝上的概率為 ， 因此，先后拋擲三次，出現(xiàn)0次6點(diǎn)朝上的概率為 ，所以至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)朝上的概率是 .故答案為：D.【分析】先根據(jù)題意，確定一顆骰子拋擲一次出現(xiàn)6點(diǎn)朝上的概率，計(jì)算出現(xiàn)0次6點(diǎn)朝上的概率，根據(jù)對(duì)立事件的概率計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.9．【答案】A,D【知識(shí)點(diǎn)】基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)公式【解析】【解答】A、 正確；
B、為常數(shù)，導(dǎo)數(shù)為0，錯(cuò)誤；
C、 ， 錯(cuò)誤；
D、 正確.
故選D.
【分析】主要考查基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則.10．【答案】A,C,D【知識(shí)點(diǎn)】回歸分析；條件概率與獨(dú)立事件；正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)【解析】【解答】對(duì)于A中，若事件A與B相互獨(dú)立，且，，可得   ，則   ，所以A符合題意；對(duì)于B中，設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布   ，可得   ，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得   ，所以B不符合題意；對(duì)于C中，在回歸分析中，對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)   而言，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的含義，可得當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)   越接近1時(shí)，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，所以C符合題意；對(duì)于D中，在回歸分析中，對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)   而言，根據(jù)殘差的含義，可得殘差平方和越大，則模型的擬合效果越差；反之，則模型的擬合效果越好，所以D符合題意.故答案為：ACD
【分析】由獨(dú)立事件概率計(jì)算，正態(tài)分布對(duì)稱性。相關(guān)系數(shù)的意義及殘差意義逐項(xiàng)判斷即可。11．【答案】A,B,C【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【解析】【解答】公差為的等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且， 則，解得，所以，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)正確；，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故答案為：ABC
【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的性質(zhì)，列方程求出公差，即可得數(shù)列通項(xiàng)，驗(yàn)證各選項(xiàng)是否正確.12．【答案】B,C【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；拋物線的應(yīng)用；直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；圓與圓錐曲線的綜合【解析】【解答】由題意知，設(shè)直線為 ， ， ，聯(lián)立
化簡(jiǎn)得，，，，
由拋物線的定義知，，，，，，
A、 ，A錯(cuò)誤；
B、 ，B正確；
C、 ，C正確；
D、 ，
令，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，
，D錯(cuò)誤.

故答案為：BC
【分析】由題知，設(shè)直線為 ， ， ，聯(lián)立方程，然后根據(jù)直線與拋物線的關(guān)系，焦點(diǎn)弦性質(zhì)，韋達(dá)定理，求導(dǎo)逐個(gè)計(jì)算選項(xiàng).13．【答案】-20【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【解析】【解答】由展開(kāi)式通項(xiàng)公式可得： ，
當(dāng)r=1時(shí)， ，
故x項(xiàng)的系數(shù)為-20.
故填：-20.
【分析】考查二項(xiàng)式的展開(kāi)通項(xiàng)公式，令x系數(shù)為1，可求出系數(shù).14．【答案】4x﹣2y﹣3=0【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【解析】【解答】由 ，
可得 ，
由 ，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.
所以x=1滿足題意，此時(shí)， 又 ，
所以所求切線方程為，即
故填：4x﹣2y﹣3=0.
【分析】 利用原函數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)，判斷出基本不等式的最值能不能取到，求出相對(duì)應(yīng)的x值，代入導(dǎo)函數(shù)即為斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線方程.15．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式【解析】 【解答】設(shè)3名男同學(xué)為： 2名女同學(xué)為： 設(shè)選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的事件為A，則從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)的基本事件為： 共十種，選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的基本事件為： 共七種，利用古典概型求概率的公式，得： 【分析】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的已知條件結(jié)合古典概型求概率的公式，求出選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率。16．【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【解析】【解答】由，
得 ，
故 ，
則 a=1 ，
經(jīng)檢驗(yàn)結(jié)果成立.
故填：1.
【分析】極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一定為0，進(jìn)而可以求出a，注意一定要驗(yàn)證是否不單調(diào)17．【答案】（1）解：根據(jù)莖葉圖，得到樣本中男職工健康指數(shù)的眾數(shù)是， 中位數(shù)是；（2）解：根據(jù)莖葉圖，按男女用分層抽樣從這名職工中隨機(jī)抽取人， 抽樣比男職工抽（人），記為，女職工人，記為，從這人中隨機(jī)抽取人，所有的基本事件是、、、、、、、、、共種，抽取的人都是男職工的事件為、、，故所求的概率為P；（3）解：由題意知： ，解得； 所以樣本中所有女職工的健康指數(shù)平均數(shù)為，方差為.【知識(shí)點(diǎn)】莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；古典概型及其概率計(jì)算公式【解析】【分析】（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本中男職工健康指數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（2）根據(jù)分層抽樣的基本原理可以求出男，女職工人數(shù)，用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值；
（3）根據(jù)題意求出x的值，再計(jì)算健康指數(shù)的平均數(shù)和方差.18．【答案】解：以，，成等差數(shù)列為例， 由題意可知，且，故，，，大小不確定．故只知道三角形三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，不能確定三個(gè)角的大小，只能得到其中一個(gè)角為；【知識(shí)點(diǎn)】等差中項(xiàng)【解析】【分析】本題主要考查了等差數(shù)列的定義及三角形的內(nèi)角和定理，利用等差中項(xiàng)就可以確定其中的一個(gè)角度為.19．【答案】證明：如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，，則是的中點(diǎn). 又是的中點(diǎn)，∴.∵平面，平面，∴平面.又∵平面平面，平面，∴.【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；直線與平面平行的性質(zhì)【解析】【分析】連接交于點(diǎn)，連接，，通過(guò)證明平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)得到.20．【答案】（1）解：，∴（2）解： 【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角；平面向量夾角的坐標(biāo)表示【解析】【分析】（1）主要考查向量坐標(biāo)表示中的夾角余弦公式；
（2）熟練掌握數(shù)量積的紐帶關(guān)系，利用模長(zhǎng)的公式與數(shù)量積的轉(zhuǎn)化即可求出.21．【答案】（1）解：因，則，點(diǎn)在橢圓C上，則橢圓C的半焦距，， ，因此，，解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.（2）解：由消去y并整理得：， 依題意，，設(shè)，，因，則，于是得，此時(shí)，，則原點(diǎn)O到直線l的距離，所以，存在以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓與直線l相切，此圓的方程為.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題【解析】【分析】（1）根據(jù)，可求出兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由橢圓定義可求出a，進(jìn)一步求得b，則可求出橢圓的方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合，可得，由點(diǎn)到直線的距離公式可得0到直線l的距離為定值，可得總存在一個(gè)確定的圓與直線l相切，并求得該圓的方程.22．【答案】（1）解：∵，函數(shù)的定義域， ∴，設(shè)，函數(shù)是開(kāi)口向下的拋物線，又．①當(dāng)時(shí)，，又，即，因此在上單調(diào)遞減．②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)兩個(gè)根為，且．，可知，解得，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明：要證明成立，即就是證明成立． 當(dāng)時(shí)，由上可知，函數(shù)在上遞減，在上遞增，因此函數(shù)的最小值為．設(shè)．因此，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞減，所以的最大值為，因此對(duì)任意，總有，故．【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a進(jìn)行分類討論，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性；
(2) 由題可知函數(shù)f(x)的最小值為f(0)=1，構(gòu)造函數(shù)，設(shè) 求出函數(shù)的最大值為h(0)=1，即可證明結(jié)論.

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