目標(biāo)導(dǎo)航


學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解圓周角的概念.
2.經(jīng)歷探索圓周角定理的過程.
3.掌握圓周角定理和它的推論.
4.會運用圓周角定理及其推論解決簡單的幾何問題.

知識精講

知識點01 圓周角的概念
圓周角：頂點在圓上，兩邊分別和圓相交的角叫做圓周角．
圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半．
知識點02 圓周角性質(zhì)定理
1.圓周角性質(zhì)定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．
2.推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等．
3.推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
能力拓展
考點01 圓周角的概念
【典例1】下列圖形中的角是圓周角的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【思路點撥】根據(jù)圓周角的定義判斷即可．
【解析】解：根據(jù)圓周角的定義可知，選項A中的角是圓周角．
故選：A．
【點睛】本題考查圓周角的定義，解題的關(guān)鍵是理解圓周角的定義，屬于中考基礎(chǔ)題．
【即學(xué)即練1】下面圖形中的角，是圓周角的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【思路點撥】根據(jù)圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．即可求得答案，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．
【解析】解：∵圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
∴是圓周角的是B．
故選：B．
【點睛】此題考查了圓周角定義．注意圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．
考點02 圓周角性質(zhì)的應(yīng)用
【典例2】如圖，O為半圓的圓心，C、D為半圓上的兩點，連接CD、BD、AD，CD＝BD．連接AC并延長，與BD的延長線相交于點E．
（1）求證：CD＝DE；
（2）若AC＝6，半徑OB＝5，求BD的長．

【思路點撥】（1）連接BC，由CD＝BD，AB為直徑可得∠E＝∠ECD，進而求解．
（2）由勾股定理求出BC的值，再由△AEB為等腰三角形可得BD＝BE，再通過勾股定理求解．
【解析】（1）證明：∵AB為直徑，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
∵CD＝BD，
∴∠EAD＝∠DAB，
∴∠E＝∠ABE，
連接BC，則∠DCB＝∠DBC，∠ACB＝∠ECB＝90°，

∵∠EBC+∠E＝90°，∠DCB+∠ECD＝90°，
∴∠E＝∠ECD，
∴CD＝DE．
（2）解：在Rt△ACB中，由勾股定理得BC＝＝＝8，
∵∠E＝∠ABE，
∴△AEB為等腰三角形，
∴AB＝AE，BD＝DE，
∴CE＝AE﹣AC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝＝4，
∴BD＝BE＝2．
【點睛】本題考查圓與三角形的結(jié)合，解題關(guān)鍵是掌握圓周角定理，掌握解直角三角形的方法．
【即學(xué)即練2】如圖，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC的長為6，∠ACB的平分線交⊙O于點D．
（1）求弦BC的長；
（2）求弦BD的長；
（3）求CD的長．

【思路點撥】（1）利用勾股定理求解即可．
（2）證明△ABD是等腰直角三角形，可得結(jié)論．
（3）作BH⊥CD于H，如圖，求出CH，DH，可得結(jié)論．
【解析】
解：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8；
（2）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACB的平分線交⊙O于D，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴BD＝AB＝5；
（3）作BH⊥CD于H，如圖，
∵∠BCH＝45°，
∴△BCH為等腰直角三角形，
∴BH＝CH＝BC＝4，
在Rt△BDH中，DH＝＝3，
∴CD＝CH+DH＝4+3＝7．

【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．

分層提分


題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1.下列說法正確的是（　?。?br /> A．頂點在圓上的角是圓周角 B．兩邊都和圓相交的角是圓周角
C．圓心角是圓周角的2倍 D．在同圓中，同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角度數(shù)的一半
【思路點撥】根據(jù)圓周角的定義及圓周角定理的內(nèi)容進行各選項的判斷，繼而可得出答案．
【解析】解：A、頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角，原說法錯誤，故本選項錯誤；
B、沒有強調(diào)頂點在圓上，原說法錯誤，故本選項錯誤；
C、同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，原說法錯誤，故本選項錯誤；
D、在同圓中，同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角度數(shù)的一半，說法正確，故本選項正確．
故選：D．
【點睛】本題考查了圓周角的定義及圓周角定理的內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題，同學(xué)們注意仔細(xì)理解一些定義及定理，牢記各定理成立的條件．
2.如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D在⊙O上．若∠ACD＝＝50°，則∠BAD的大小為（　?。?br />
A．25° B．30° C．40° D．50°
【思路點撥】利用在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，可以得到∠ABD＝∠ACD＝50°，再利用直徑所對的圓周角是直角，即可求出∠BAD的度數(shù)．
【解析】解：連接BD，

∵BD是直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD和∠ACD所對的弧都是，
∴∠ABD＝∠ACD＝50°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
故答案選：C．
【點睛】本題主要考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作輔助線連接BD．
3.如圖，點A，B，C在⊙O上，∠AOC＝130°，∠B的大小是（　?。?br />
A．50° B．100° C．115° D．130°
【思路點撥】在優(yōu)弧AC上取點D，連接AD、CD，根據(jù)圓周角定理求出∠D＝AOC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠B+∠D＝180°，再求出答案即可．
【解析】解：在優(yōu)弧AC上取點D，連接AD、CD，

∵∠AOC＝130°，
∴∠D＝AOC＝65°，
∵A、B、C、D四點共圓，
∴∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝180°﹣65°＝115°，
故選：C．
【點睛】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識點，能熟記圓周角定理是解此題的關(guān)鍵．
4.圓中一條弦恰好等于圓的半徑，則這條弦所對的圓周角的度數(shù)為（　?。?br /> A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【思路點撥】由題意先畫出圖形，由圓周角定理可求解∠ACB＝90°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求解∩B＝30°，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求解∠D的度數(shù)，進而可求解．
【解析】解：如圖：AB＝2AC，AB為⊙O的直徑，連接BC，AD，CD，

∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∵∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝150°，
即這條弦所對的圓周角的度數(shù)為30°或150°，
故選：C．
【點睛】本題主要考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
5.如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，設(shè)∠ABC＝α，∠ABD＝β，∠AEC＝γ，則（　?。?br />
A．α+β﹣γ＝90° B．β+γ﹣α＝90° C．α+γ﹣β＝90° D．α+β+γ＝180°
【思路點撥】連接AC，根據(jù)圓周角定理及三角形外角性質(zhì)求解即可．
【解析】解：連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∵∠ACD＝∠ABD＝β，
∴∠BCD＝90°﹣β，
∵∠AEC＝∠ABC+∠BCD＝γ，∠ABC＝α，
∴γ＝α+90°﹣β，
即γ+β﹣α＝90°，
故選：B．
【點睛】此題考查了圓周角定理，熟記“直徑所對的圓周角等于90°”是解題的關(guān)鍵．
6.一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測量，測得AB＝12cm，BC＝5cm，則圓形鏡面的半徑為 　cm?。?br />
【思路點撥】連接AC，根據(jù)∠ABC＝90°得出AC是圓形鏡面的直徑，再根據(jù)勾股定理求出AC即可．
【解析】解：連接AC，

∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圓周角，
∴AC是圓形鏡面的直徑，
由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），
所以圓形鏡面的半徑為cm，
故答案為：cm．
【點睛】本題考查了圓周角定理和勾股定理等知識點，能根據(jù)圓周角定理得出AC是圓形鏡面的直徑是解此題的關(guān)鍵．
7.如圖，有一個弓形的暗礁區(qū)，弓形所在圓的圓周角∠C＝48°，問船在航行時怎樣才能保證不進入暗礁區(qū)？答：　∠ASB＜48°?。?br />
【思路點撥】如圖，設(shè)AS交圓于點E，連接EB，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．
【解析】解：如圖，設(shè)AS交圓于點E，連接EB，

由圓周角定理知，∠AEB＝∠C＝48°，而∠AEB是△SEB的一個外角，由∠AEB＞∠S，即當(dāng)∠S＜48°時船不進入暗礁區(qū)．
所以，∠ASB應(yīng)滿足的條件是∠ASB＜48°．
故答案為：∠ASB＜48°．
【點睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
8.如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點D，交AC于點E．
（1）求證：．
（2）若∠BAC＝50°，求的度數(shù)．

【思路點撥】（1）連接AD，先由圓周角定理得∠ADB＝90°，則AD⊥BC，再由等腰三角形的性質(zhì)得∠BAD＝∠CAD，即可得出結(jié)論；
（2）連接OE，先由等腰三角形的性質(zhì)得∠OEA＝∠BAC＝50°，再由三角形內(nèi)角和定理求出∠AOE＝80°，即可得出結(jié)論．
【解析】（1）證明：連接AD，如圖1所示：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴．
（2）解：連接OE，如圖2所示：
∵AB是⊙O的直徑，
∴OA是半徑，
∴OA＝OE，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠AOE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴的度數(shù)為80°．

【點睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是圓上一點，點D為的中點，過點D作DE⊥AB于E，交BC于點F．
（1）求證：DF＝BF；
（2）若AC＝6，⊙O的半徑為5，求BD的長．

【思路點撥】（1）連接AD，由圓周角定理及DE⊥AB得出∠DAB＝∠BDE，由點D為的中點得出∠CBD＝∠DAB，進而得到∠CBD＝∠BDE，即可證明DF＝BF；
（2）連接OD交BC于點H，由勾股定理得出BC＝8，由垂徑定理得出BH＝4，再由勾股定理得到OH＝3，進而求得DH＝2，再由勾股定理即可得出BD的長度．
【解析】（1）證明：如圖1，連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE+ABD＝90°，
∴∠DAB＝∠BDE，
∵點D為的中點，
∴，
∴∠CBD＝∠DAB，
∴∠CBD＝∠BDE，
∴DF＝BF；
（2）解：如圖2，連接OD交BC于點H，

∵AB是⊙O的直徑，⊙O的半徑為5，
∴∠ACB＝90°，AB＝10，
∵AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵點D為的中點，
∴OD⊥BC，
∴BH＝BC＝×8＝4，
∴OH＝＝＝3，
∴DH＝OD﹣OH＝5﹣3＝2，
∴BD＝＝＝2．
【點睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
題組B 能力提升練
10.將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點C在半圓上．點A，B的讀數(shù)分別為86°，30°，則∠ACB的度數(shù)是（　?。?br />
A．28° B．30° C．36° D．56°
【思路點撥】連接OA，OB，利用圓周角定理求解即可．
【解析】解：連接OA，OB．

由題意，∠AOB＝86°﹣30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝28°，
故選：A．
【點睛】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握圓周角定理解決問題．
11.下列語句中：①平分弦的直徑垂直于弦；②相等的圓心角所對的弧相等；③長度相等的兩條弧是等?。虎軋A是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；⑤在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓周角相等，不正確的有（　?。?br /> A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【思路點撥】根據(jù)垂徑定理，圓周角定理，圓的基本性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系逐一判斷即可．
【解析】解：①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故①錯誤；
②在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故②錯誤；
③能夠完全重合的兩條弧是等弧，故③錯誤；
④圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故④錯誤；
⑤在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓周角相等或互補，故⑤錯誤；
所以，不正確的有5個，
故選：D．
【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，圓的基本性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．
12.如圖，已知⊙O的半徑為5，AB、CD為⊙O的弦，且CD＝6．若∠AOB+∠COD＝180°，則弦AB的長為（　?。?br />
A．6 B．7 C．8 D．9
【思路點撥】延長AO交⊙O于點E，連接BE，由∠AOB+∠BOE＝∠AOB+∠COD知∠BOE＝∠COD，據(jù)此可得BE＝CD，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．
【解析】解：如圖，延長AO交⊙O于點E，連接BE，

則∠AOB+∠BOE＝180°，
又∵∠AOB+∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，
∴BE＝CD，
∵AE為⊙O的直徑，
∴∠ABE＝90°，
∴AB＝＝＝8，
故選：C．
【點睛】本題主要考查圓心角定理，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用圓心角定理和圓周角定理解決問題．
13.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，點B、C在⊙O上，邊AB、AC分別交⊙O于D、E兩點，點B是的中點，則∠ABE的度數(shù)是（　　）

A．13° B．16° C．18° D．21°
【思路點撥】連接CD，根據(jù)已知可得＝，從而可得BD＝BC，進而可得∠BDC＝∠BCD＝45°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠ACB＝58°，從而求出∠DCE＝13°，最后根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可解答．
【解析】解：連接CD，

∵點B是的中點，
∴＝，
∴BD＝BC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BDC＝∠BCD＝45°，
∵∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣∠A＝58°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣∠DCB＝13°，
∴∠ABE＝∠DCE＝13°，
故選：A．
【點睛】本題考查了圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
14.⊙O內(nèi)一點P，OP＝3cm，過點P的最短的弦AB＝6cm，Q是⊙O上除AB兩點之外的任一點，則∠AQB＝　60°或120°?。?br /> 【思路點撥】連接OA，OB，根據(jù)垂徑定理得到AP＝BP＝AB＝3（cm），根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠AOP＝60°，求得∠AOB＝120°，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．
【解析】解：如圖，連接OA，OB，
∵過點P的最短的弦AB＝6cm，
∴OP⊥AB，
∴AP＝BP＝AB＝3（cm），
∵OP＝3cm，
∴tan∠AOP＝＝＝，
∴∠AOP＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AQB＝AOB＝60°，
∴∠AQ′B＝180°﹣∠AQB＝120°，
故∠AQB＝60°或120°，
故答案為：60°或120°．

【點睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
15.如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，，如果D為圓上一點，且AD＝2，那么∠DAC＝　30°或90°?。?br />
【思路點撥】連接AD，OD，BC，先證明△OAD是等邊三角形，利用AB是圓O的直徑求得∠C＝90°，利用直角三角形中的三角函數(shù)可求得∠CAB＝30°，點D的位置有兩種情況：①當(dāng)點D在AB的下方的圓弧上，②當(dāng)點D在AB的上方的圓弧上，分別計算即可．
【解析】解：如圖，連接AD，OD，BC，
∵AO＝OB＝OD，AB＝4，AD＝2，
∴OA＝OD＝AD，
∴△OAD是等邊三角形，∠BAD＝60°，AB是圓O的直徑，
∴∠C＝90°，
∵AB＝4，AC＝2，
∴cos∠CAB＝＝，
∴∠CAB＝30°，
點D的位置有兩種情況：
①當(dāng)點D在AB的下方的圓弧上時，∠CAD＝∠CAB+∠OAD＝30°+60°＝90°；
②當(dāng)點D在AB的上方的圓弧上時，∠CAD＝∠OAD﹣∠CAB＝60°﹣30°＝30°．

故答案為：30°或90°．
【點睛】本題考查圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．
16.如圖，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D分別作DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分別為E、F，⊙O與AC交于點G．
（1）求證：EG＝BF；
（2）若⊙O的半徑r＝6，BF＝2，求AG長．

【思路點撥】（1）連接DG，BD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠GAD＝∠BAD，DE＝DF，求得DG＝BD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝AF＝10，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論．
【解析】（1）證明：連接DG，BD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC、DF⊥AB，
∴∠GAD＝∠BAD，DE＝DF，
∴＝，
∴DG＝BD，
在Rt△DEG與Rt△DFB中，
，
∴Rt△DEG≌Rt△DFB（HL），
∴EG＝BF；
（2）解：∵⊙O的半徑r＝6，BF＝2，
∴AF＝10，
在Rt△AED與Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF＝10，
∵EG＝BF＝2，
∴AG＝AE﹣EG＝8．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
17.如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點，F(xiàn)是線段BD上一點，連接CF并延長CF，與AB交于點E，CF＝BF．
（1）求證：CE⊥AB；
（2）若CE＝12，BE＝8，求AB的長．

【思路點撥】（1）根據(jù)圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系可得結(jié)論；
（2）由勾股定理得BC的長，設(shè)AB＝x，再利用勾股定理得方程組，求解即可得到答案．
【解析】（1）證明：∵C是的中點，
∴BC＝CD，∠D＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠A，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵CF＝BF，
∴∠CBF＝∠FCB，
∴∠A＝∠ECB，
∵∠A＝90°﹣∠CBE，
∴∠ECB＝90°﹣∠CBE，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）解：在Rt△EBC中，
∵CE＝12，BE＝8，
∴BC＝＝＝4，
∵BC＝CD，
∴BC＝CD＝4，
設(shè)AB＝x，
∴AE＝x﹣8，
由勾股定理得，
，
解得：x＝26，
∴AB＝26．
【點睛】此題考查的是圓周角定理、勾股定理、垂徑定理、圓的弦、弧、圓心角之間的關(guān)系等知識，根據(jù)勾股定理列出方程組是解決此題關(guān)鍵．
18.如圖所示，AB＝AC，AB為⊙O的直徑，AC、BC分別交⊙O于E，D，連結(jié)ED，BE．
（1）試判斷DE與BD是否相等，并說明理由；
（2）如果BC＝12，AB＝10，求BE的長．

【思路點撥】（1）根據(jù)題意得到AD就是等腰三角形ABC底邊上的高，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點，可得出∠CAD＝∠BAD，根據(jù)圓周角定理即可得證；
（2）本題中由于AD⊥BC，BE⊥AC，根據(jù)三角形面積公式推出AC?BE＝CB?AD．進而求出BE的長．
【解析】解：（1）DE＝BD，理由如下：
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴＝，
∴DE＝BD；
（2）∵BC＝12，BD＝BC＝6，
在Rt△ABD中，AB＝10，∠ADB＝90°，
∴AD＝＝＝8，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∴AD⊥BC，BE⊥AC，
∴△ABC的面積＝BC?AD＝AC?BE，
∵AB＝AC＝10，
∴AC?BE＝CB?AD，
∴BE＝．
【點睛】本題主要考查了圓周角定理、勾股定理等知識點的運用，熟記圓周角定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．
題組C 培優(yōu)拔尖練
19.如圖，A、P、B、C是⊙O上的四點，∠APC＝∠BPC＝60°，PA＝2，PC＝4，則△ABC的面積為（　?。?br />
A． B． C．2 D．3
【思路點撥】如圖，過點A作AH⊥PC于點H．首先證明△ABC是等邊三角形，解直角三角形求出AC，可得結(jié)論．
【解析】解：如圖，過點A作AH⊥PC于點H．

∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵AH⊥PC，
∴AH＝PA?sin60°＝，PH＝PA?cos60°＝1，
∴CH＝PC﹣PH＝4﹣1＝3，
∴AC＝＝＝2，
∴△ABC的面積＝×（2）2＝3，
故選：D．
【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
20.如圖，半徑為R的⊙O的弦AC＝BD，AC、BD交于E，F(xiàn)為上一點，連AF、BF、AB、AD，下列結(jié)論：①AE＝BE；②若AC⊥BD，則AD＝R；③在②的條件下，若＝，AB＝，則BF+CE＝1．其中正確的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【思路點撥】①由弦AC＝BD，可得＝，繼而可得＝，然后由圓周角定理，證得∠ABD＝∠BAC，即可判定AE＝BE；
②連接OA，OD，由AE＝BE，AC⊥BD，可求得∠ABD＝45°，繼而可得△AOD是等腰直角三角形，則可求得AD＝R；
③設(shè)AF與BD相交于點G，連接CG，易證得△BGF是等腰三角形，CE＝DE＝EG，繼而求得答案．
【解析】解：①∵弦AC＝BD，
∴＝，
∴＝，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE；
②連接OA，OD，
∵AC⊥BD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，
∴AD＝R；
③設(shè)AF與BD相交于點G，連接CG，
∵＝，
∴∠FAC＝∠DAC，
∵AC⊥BD，
∵在△AGE和△ADE中，
，
∴△AGE≌△ADE（ASA），
∴AG＝AD，EG＝DE，
∴∠AGD＝∠ADG，
∵∠BGF＝∠AGD，∠F＝∠ADG，
∴∠BGF＝∠F，
∴BG＝BF，
∵AC＝BD，AE＝BE，
∴DE＝CE，
∴EG＝CE，
∴BE＝BG+EG＝BF+CE，
∵AB＝，
∴BE＝AB?cos45°＝1，
∴BF+CE＝1．
故其中正確的是：①②③．
故選：D．

【點睛】此題考查了圓周角定理、弧與弦的關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
21.如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，且OC∥BD，AD分別與BC，OC相交于點E，F(xiàn)，則下列結(jié)論：
①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（　?。?br />
A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤
【思路點撥】①由直徑所對圓周角是直角，
②由于∠AOC是⊙O的圓心角，∠AEC是⊙O的圓內(nèi)部的角，
③由平行線得到∠OCB＝∠DBC，再由圓的性質(zhì)得到結(jié)論判斷出∠OBC＝∠DBC；
④用半徑垂直于不是直徑的弦，必平分弦；
⑤用三角形的中位線得到結(jié)論；
⑥得不到△CEF和△BED中對應(yīng)相等的邊，所以不一定全等．
【解析】解：①、∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
②假設(shè)∠AOC＝∠AEC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠A＝∠ABC，
∴，
∵OC∥BD
∴∠C＝∠CBD，
∴∠ABC＝∠DBC，
即：
∴C，D是半圓的三等分點，
而與“C，D是⊙O上的點”矛盾，
∴∠AOC≠∠AEC，
③、∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴BC平分∠ABD，
④、∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥BD，
∴∠AFO＝90°，
∵點O為圓心，
∴AF＝DF，
⑤、由④有，AF＝DF，
∵點O為AB中點，
∴OF是△ABD的中位線，
∴BD＝2OF，
⑥∵△CEF和△BED中，沒有相等的邊，
∴△CEF與△BED不全等，
故選：D．
【點睛】此題是圓綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的性質(zhì)．
22.在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，D為△ABC外一點，且AD＝AC，則∠BDC＝　50°或130　°．
【思路點撥】根據(jù)題意畫出兩個圖形，根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出答案即可．
【解析】解：

如圖，以A為圓心，以AB為半徑作圓，
∵AB＝AC，AC＝AD，
∴點C和D也在⊙A上，
①如圖1，當(dāng)D點在優(yōu)弧BC上時，
∵對的圓心角是∠BAC，圓周角是∠BDC，
∴∠BDC＝BAC＝100°＝50°；
②如圖2，當(dāng)D點在劣弧BC上時，
此時∠BDC＝180°﹣50°＝130°；
∴∠BDC＝50°或130°，
故答案為：50°或130．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識點，注意：一條弧所對的圓周角等于圓心角的一半，用了分類討論思想．
23.如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是⊙O上一動點，且∠ACB＝30°，點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與⊙O交于G、H兩點，若⊙O的半徑為8，則GE+FH的最大值為　12?。?br />
【思路點撥】首先連接OA、OB，根據(jù)圓周角定理，求出∠AOB＝2∠ACB＝60°，進而判斷出△AOB為等邊三角形；然后根據(jù)⊙O的半徑為8，可得AB＝OA＝OB＝8，再根據(jù)三角形的中位線定理，求出EF的長度；最后判斷出當(dāng)弦GH是圓的直徑時，它的值最大，進而求出GE+FH的最大值是多少即可．
【解析】解：如圖1，連接OA、OB，
，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB為等邊三角形，
∵⊙O的半徑為8，
∴AB＝OA＝OB＝8，
∵點E，F(xiàn)分別是AC、BC的中點，
∴EF＝AB＝4，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵當(dāng)弦GH是圓的直徑時，它的最大值為：8×2＝16，
∴GE+FH的最大值為：16﹣4＝12．
故答案為：12．
【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形中位線定理，有一定難度．確定GH的位置是解題的關(guān)鍵．
24.如圖，⊙O的半徑為1，A、B、C是⊙O上的三個點，點P在劣弧AB上，∠APB＝120°，PC平分∠APB．
（1）求證：PA+PB＝PC；
（2）當(dāng)點P位于什么位置時，△APB的面積最大？求出最大面積．

【思路點撥】（1）在PC上截取PD＝AP，連接AD，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP＝CD，即可證得．
（2）直接利用正三角形的性質(zhì)以及結(jié)合P點到AB的距離最大時，則△APB的面積最大，進而得出答案．
【解析】（1）證明：在PC上截取PD＝AP，連接AD，如圖，

∵∠APB＝120°，PC平分∠APB．
∴∠APC＝60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，
∴∠ADC＝∠APB＝120°．
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP＝CD，
又∵PD＝PA，
∴PA+PB＝PC；
（2）解：如圖所示，取的中點P，連接AP交AB于點E，連接OA，BP，OP，AP，當(dāng)P在中點時，此時P點到AB的距離最大，此時△APB的面積最大，

∵∠APB＝120°，PC平分∠APB．
∴∠ACB＝60°，＝，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∵點P是的中點，
∴OP⊥AB，AE＝BE，
∵⊙O的半徑為1，△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，
∴AO＝1，則EO＝，BE＝AE＝，
∴AB＝，PE＝OP﹣OE＝
故S△APB＝××＝．
∴當(dāng)點P位于的中點時，△APB的面積最大，最大面積為．
【點睛】此題主要考查了圓周角定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)等知識，正確利用正三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
25.如圖1，在圓O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，點E在劣弧AC上運動，連接EC、BE，交AC于點F．
（1）求∠E的度數(shù)；
（2）當(dāng)點E運動到使BE⊥AC時，如圖2，連接AO并延長，交BE于點G，交BC于點D，交圓O于點M，求證：D為GM中點．

【思路點撥】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠A即可解決問題．
（2）連接BM，證明BG＝BM，BD⊥GM，可得結(jié)論．
【解析】（1）解：如圖1中，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠BEC＝∠BAC＝30°．
（2）證明：連接BM．

∵AB＝AC，
∴＝，
∴AM⊥BC，
∴∠BAM＝∠CAM＝15°，
∴∠MBC＝∠CAM＝15°，
∵BE⊥AC，
∴∠BDG＝∠AFG＝90°，
∴∠AGF＝∠BGD＝75°，
∵∠M＝∠ACB＝75°，
∴∠M＝∠BGD＝75°，
∴BG＝BM，
∵BD⊥GM，
∴DG＝DM．
【點睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理的性質(zhì)，屬于中考常考題型．

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