目標導航


學習目標
1.了解圓的中心對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性，體驗利用旋轉(zhuǎn)來研究圓的性質(zhì)的思想方法.
2.理解圓心角的概念,并掌握圓心角定理:在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也
相等.
3.掌握“在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各對量都相等”這個圓的性質(zhì).
4.會運用關(guān)于圓心角、弧、弦、弦心距之間相互關(guān)系的定理解決簡單的幾何問題.

知識精講

知識點01 圓心角的概念
圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.
圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)．
知識點02 圓心角定理
1.圓心角定理：
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等，所對弦的弦心距也相等．
2.圓心角定理推論：
在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等，則它們所對應(yīng)的其余各對量都相等．
　　
能力拓展
考點01 圓心角的概念
【典例1】1.下列圖形中的角，是圓心角的為（　?。?br /> A． B． C． D．
【思路點撥】根據(jù)圓心角的定義逐個判斷即可．
【解析】解：A．頂點不在圓上，不是圓心角，故本選項不符合題意；
B．頂點不在圓上，不是圓心角，故本選項不符合題意；
C．是圓心角，故本選項符合題意；
D．頂點不在圓上，不是圓心角，故本選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了圓心角，弧、弦之間的關(guān)系和圓心角的定義，能熟記圓心角的定義（頂點在圓上，并且兩邊與圓相交的角，叫圓心角）是解此題的關(guān)鍵．
2.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以點C為圓心，BC為半徑的圓分別交AB、AC于點D、點E，則弧BD的度數(shù)為（　?。?br />
A．28° B．64° C．56° D．124°
【思路點撥】先利用互余計算出∠B＝62°，再利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)得到∠CDB＝∠B＝62°，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出∠BCD，然后根據(jù)圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)求解．
【解析】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，
∴∠B＝62°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝62°，
∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴的度數(shù)為56°．
故選：C．
【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．
【即學即練1】1．下面圖形中的角是圓心角的是（　　）
A． B． C． D．
【思路點撥】根據(jù)圓心角的定義逐個判斷即可．
【解析】解：A．頂點不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；
B．頂點不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；
C．頂點不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；
D．是圓心角，故本選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了圓心角的定義，注意：頂點在圓心上，并且兩邊和圓相交的角，叫圓心角．
2．如圖，CD是⊙O的直徑，∠EOD＝84°，AE交⊙O于點B，且AB＝OC，求的度數(shù)．

【思路點撥】連接OB，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得到∠EBO＝2∠A，則∠E＝2∠A，再利用∠EOD＝84°得到2∠A+∠A＝84°，解得∠A＝28°，接著計算出∠BOE的度數(shù)，從而得到的度數(shù)．
【解析】解：連接OB，如圖，
∵OB＝OC，OC＝AB，
∴OB＝AB，
∴∠A＝∠BOA，
∴∠EBO＝∠A+∠BOA＝2∠A，
∵OB＝OE，
∴∠E＝∠EBO＝2∠A，
∵∠EOD＝∠E+∠A，
∴2∠A+∠A＝84°，解得∠A＝28°，
∴∠E＝∠EBO＝56°，
∴∠BOE＝180°﹣∠E﹣∠EBO＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
∴的度數(shù)為68°．
故答案為：68°．

【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．
考點02 圓心角定理
【典例2】如圖，在⊙O中，點C是優(yōu)弧ACB的中點，D、E分別是OA、OB上的點，且AD＝BE，弦CM、CN分別過點D、E．
（1）求證：CD＝CE．
（2）求證：＝．

【思路點撥】（1）連接OC，只要證明△COD≌△COE（SAS）即可解決問題；
（2）欲證明＝，只要證明∠MOD＝∠NOE即可；
【解析】（1）證明：連接OC．
∵＝，
∴∠COD＝∠COE，
∵OA＝OB，AD＝BE，
∴OD＝OE，∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE．

（2）分別連接OM，ON，
∵△COD≌△COE，
∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE，
∵OC＝OM＝ON，
∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC，
∴∠OMD＝∠ONE，
∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON，
∴∠MOD＝∠NOE，
∴＝．

【點睛】本題考查圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．
【即學即練2】如圖所示，⊙O中，弦AB與CD相交于點E，AB＝CD，連接AD，BC，求證：
（1）＝；
（2）AE＝CE．

【思路點撥】（1）由AB＝CD，推出＝，推出＝．
（2）證明△ADE≌△CBE可得結(jié)論．
【解析】證明：（1）∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，
∴＝．
（2）∵＝，
∴AD＝BC，
∵∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB，
∴△ADE≌△CBE（AAS），
∴AE＝EC．
【點睛】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．

分層提分


題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．如圖，在⊙O中，＝，∠1＝45°，則∠2＝（　?。?br />
A．60° B．30° C．45° D．40°
【思路點撥】根據(jù)在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等即可得到結(jié)論．
【解析】解：∵＝，
∴∠2＝∠1＝45°，
故選：C．
【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟記圓心角、弧、弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，AB為半圓O的直徑，點C、D為的三等分點，若∠COD＝50°，則∠BOE的度數(shù)是（　?。?br />
A．25° B．30° C．50° D．60°
【思路點撥】求出∠AOE，可得結(jié)論．
【解析】解：∵點C、D為的三等分點，
∴＝＝，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝50°，
∴∠AOE＝150°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝30°，
故選：B．
【點睛】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
3．下列說法正確的個數(shù)有（　　）
①半圓是?。虎诿娣e相等的兩個圓是等圓；③所對的弦長相等的兩條弧是等??；④如果圓心角相等，那么它們所對的弦一定相等；⑤等弧所對的圓心角相等
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【思路點撥】根據(jù)半圓，等圓，等弧等知識一一判斷即可．
【解析】解：①半圓是弧，正確；
②面積相等的兩個圓是等圓，正確，
③所對的弦長相等的兩條弧是等弧，錯誤，可能一條是優(yōu)弧，一條是劣弧
④如果圓心角相等，那么它們所對的弦一定相等，錯誤，應(yīng)該同圓或等圓中．
⑤等弧所對的圓心角相等，正確．
故選：B．
【點睛】本題考查圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，半圓，等圓，等弧等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
4．如圖，在兩個同心圓中，為60°，則的度數(shù)為 　60°　．

【思路點撥】求出∠AOB＝60°，可得結(jié)論．
【解析】解：∵的度數(shù)為60°，
∴∠AOB＝60°，
∴的度數(shù)為60°，
故答案為：60°．
【點睛】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解圓心角的度數(shù)與所對的弧的度數(shù)相等．
5．如圖，在⊙O中，＝，則下列結(jié)論中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正確的是 ?、佗冖邰堋。ㄌ钚蛱枺?br />
【思路點撥】利用同圓或等圓中弧，弦以及所對的圓心角之間的關(guān)系逐項分析即可．
【解析】解：在⊙O中，＝，
∴AB＝CD，故①正確；
∵BC為公共弧，
∴＝故④正確；
∴AC＝BD，故②正確；
∴∠AOC＝∠BOD，故③正確．
故答案為：①②③④．
【點睛】本題考查了定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等以及推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．
6．如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，要使AB＝CD，需要補充的條件是?。健。ㄑa充一個即可）．

【思路點撥】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理解答即可．
【解析】解：當＝時，AB＝CD，
理由如下：∵＝，
∴+＝+，即＝，
∴AB＝CD，
故答案為：＝．
【點睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，掌握在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，AB是⊙O的直徑，AC，CD，DE，EF，F(xiàn)B都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，求∠AOC與∠COF的度數(shù)．

【思路點撥】由AC＝CD＝DE＝EF＝FB，根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應(yīng)相等得到∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOB，而AB是⊙O的直徑，所以∠AOC＝×180°，∠COF＝×180°．
【解析】解：∵AC＝CD＝DE＝EF＝FB，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOB，
而AB是⊙O的直徑，
∴∠AOB＝180°，
∴∠AOC＝×180°＝36°，
∴∠COF＝×180°＝108°．
【點睛】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應(yīng)相等．
8．如圖，A、B、C、D是⊙O上的點，∠1＝∠2，求證：AC＝BD．

【思路點撥】求出∠AOC＝∠BOD，推出弧AC＝弧BD，即可得出AC＝BD．
【解析】證明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴弧AC＝弧BD，
∴AC＝BD．
【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系的應(yīng)用，注意：在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦，其中有一對相等，那么其余兩對也相等．
9．如圖，已知C，D是以AB為直徑的⊙O上的兩點，連接BC，OC，OD，若OD∥BC，求證：D為的中點．

【思路點撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠B＝∠C，∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，求出∠AOD＝∠COD，再根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得出即可．
【解析】證明：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠C，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，
∴∠AOD＝∠COD，
∴＝，
即D為的中點．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，能求出∠AOD＝∠COD是解此題的關(guān)鍵．


題組B 能力提升練
10．圓中長度等于半徑的弦所對的圓心角的度數(shù)為（　?。?br /> A．30° B．45° C．60° D．90°
【思路點撥】根據(jù)等邊三角形的判定得出△AOB是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出即可．
【解析】解：連接OA、OB，

∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴∠AOB＝60°，
即圓中長度等于半徑的弦所對的圓心角的度數(shù)為60°，
故選：C．
【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系和等邊三角形的性質(zhì)和判定，能熟記等邊三角形的性質(zhì)和判定定理是解此題的關(guān)鍵．
11．如圖，A，B是⊙O上的點，∠AOB＝120°，C是的中點，若⊙O的半徑為5，則四邊形ACBO的面積為（　?。?br />
A．25 B．25 C． D．
【思路點撥】根據(jù)在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等邊三角形，即可解決問題．
【解析】解：連OC，如圖，

∵C是的中點，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等邊三角形，
∴S四邊形AOBC＝2×＝．
故選：D．
【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定．
12．如圖，在⊙O中，如果＝2，則下列關(guān)于弦AB與弦AC之間關(guān)系正確的是（　?。?br />
A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC
【思路點撥】取弧AB的中點D，連接AD，BD，則＝2＝2，由已知條件＝2，得出＝＝，根據(jù)圓心角、弧、弦關(guān)系定理的推論得到AD＝BD＝AC，又在△ABD中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出AD+BD＞AB，即可得到AB＜2AC．
【解析】解：如圖，取弧AB的中點D，連接AD，BD，則＝2＝2，
∵＝2，
∴＝＝，
∴AD＝BD＝AC．
在△ABD中，AD+BD＞AB，
∴AC+AC＞AB，即AB＜2AC．
故選：D．

【點睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系及三角形三邊關(guān)系定理，準確作出輔助線，得出AD＝BD＝AC是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，若∠A＝80°，則∠BOC的度數(shù)為（　　）

A．125° B．120° C．130° D．115°
【思路點撥】過點O作OE⊥AB于E，OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，根據(jù)心角、弧、弦的關(guān)系定理得到OD＝OE＝OF，根據(jù)角平分線的判定定理、三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案．
【解析】解：過點O作OE⊥AB于E，OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
由題意得，HG＝PQ＝MN，
∴OD＝OE＝OF，
∵OE⊥AB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
故選：C．

【點睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系、角平分線的判定，掌握圓心角、弧、弦的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，AB，CD是⊙O的直徑，弦CE∥AB，弧CE的度數(shù)為40°，∠AOC的度數(shù)　70°?。?br />
【思路點撥】連接OE，由弧CE的度數(shù)為40°，得到∠COE＝40°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求出∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC＝∠OCE＝70°．
【解析】解：連接OE，如圖，
∵弧CE的度數(shù)為40°，
∴∠COE＝40°，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠AOC＝∠OCE＝70°．

【點睛】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應(yīng)相等，等腰三角形的性質(zhì)和平行的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理．
15．如圖，已知點C是⊙O的直徑AB上的一點，過點C作弦DE，使CD＝CO．若的度數(shù)為35°，則的度數(shù)是　105°?。?br />
【思路點撥】連接OD、OE，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理求出∠AOD＝35°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計算即可．
【解析】解：連接OD、OE，
∵的度數(shù)為35°，
∴∠AOD＝35°，
∵CD＝CO，
∴∠ODC＝∠AOD＝35°，
∵OD＝OE，
∴∠ODC＝∠E＝35°，
∴∠DOE＝110°，
∴∠AOE＝75°，
∴∠BOE＝105°，
∴的度數(shù)是105°．
故答案為105°．

【點睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
16．已知如圖所示，P為直徑AB上一點，EF，CD為過點P的兩條弦，且∠DPB＝∠EPB；
（1）求證：；
（2）求證：CE＝DF．

【思路點撥】（1）根據(jù)弧長之間的關(guān)系，可證＝；
（2）由弧CE＝弧DF推出CE＝DF．
【解析】證明：（1）作ON⊥EF，OM⊥CD，
∵∠DPB＝∠EPB；
∴ON＝OM，
∴CD＝EF，
∴＝，﹣＝﹣，
即．
（2）證明：∵
∴CE＝DF．

【點睛】本題主要考查圓心角，弧和弦之間的關(guān)系．
17．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D為圓上兩點，且弧CB＝弧CD，CF⊥AB于點F，CE⊥AD的延長線于點E．求證：DE＝BF．

【思路點撥】由弧CB＝弧CD，根據(jù)圓周角定理得到CB＝CD，∠CAE＝∠CAB，而CF⊥AB，CE⊥AD，根據(jù)角平分線定理得到CE＝CF，于是有Rt△CED≌Rt△CFB，即可得到結(jié)論．
【解析】證明：∵弧CB＝弧CD，
∴CB＝CD，∠CAE＝∠CAB，
又∵CF⊥AB，CE⊥AD，
∴CE＝CF，
∴Rt△CED≌Rt△CFB，
∴DE＝BF．
【點睛】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應(yīng)相等．也考查了圓周角定理、角平分線定理以及三角形全等的判定與性質(zhì)．
18．如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC，OD分別交AB于點E，F(xiàn)．且＝．
（1）求證：AE＝BF；
（2）作半徑ON⊥AB于點M，若AB＝12，MN＝3，求OM的長．

【思路點撥】（1）連接OA、OB，證明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出結(jié)論；
（2）連接OA，由垂徑定理得出AM＝AB＝6，設(shè)OM＝x，則OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解析】（1）證明：連接OA、OB，如圖1所示：
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵＝，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF．
（2）解：連接OA，如圖2所示：
∵OM⊥AB，
∴AM＝AB＝6，
設(shè)OM＝x，則OA＝ON＝x+3，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：62+x2＝（x+3）2，
解得：x＝4.5，
∴OM＝4.5．


【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．

題組C 培優(yōu)拔尖練
19．如圖，半徑為5的⊙O中，有兩條互相垂直的弦AB、CD，垂足為點E，且AB＝CD＝8，則OE的長為（　　）

A．3 B． C．2 D．3
【思路點撥】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OA，OC，根據(jù)垂徑定理得出BM＝AM＝4，DN＝CN＝4，根據(jù)勾股定理求出OM和ON，證明四邊形OMEN是正方形，即可解決問題．
【解析】解：如圖，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OA，OC．

∴AM＝BM＝4，CN＝DN＝4，
∵OA＝OC＝5，
∴OM＝＝＝3，ON＝＝＝3，
∴OM＝ON，
∵AB⊥CD，
∴∠OME＝∠ONE＝∠MEN＝90°，
∴四邊形OMEN是矩形，
∵OM＝ON，
∴四邊形OMEN是正方形，
∴OE＝OM＝3，
故選：D．
【點睛】本題考查垂徑定理，解直角三角形，正方形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考?？碱}型．
20．如圖，AB為⊙O的直徑，點D是弧AC的中點，過點D作DE⊥AB于點E，延長DE交⊙O于點F，若AE＝3，⊙O的直徑為15，則AC長為（　?。?br />
A．10 B．13 C．12 D．11
【思路點撥】根據(jù)垂徑定理求出DE＝EF，＝，求出＝，求出AC＝DF，求出EF的長，再求出DF長，即可求出答案．
【解析】解：連接OF，

∵DE⊥AB，AB過圓心O，
∴DE＝EF，＝，
∵D為弧AC的中點，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝DF，
∵⊙O的直徑為15，
∴OF＝OA＝，
∵AE＝3，
∴OE＝OA﹣AE＝，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF＝＝＝6，
∴DE＝EF＝6，
∴AC＝DF＝DE+EF＝6+6＝12，
故選：C．
【點睛】本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，勾股定理等知識點，解此題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，是中考常見題目．
21．如圖，AB是圓O的直徑，AB＝8，點M在圓O上，∠MOB＝60°，N是的中點，P為AB上一動點，則PM+PN的最小值是　4?。?br />
【思路點撥】作點M關(guān)于AB的對稱點M'，連接NM'，交AB于點P，此時PM+PN有最小值，連接ON，OM，利用垂徑定理，求出∠M'OB＝∠MOB＝60°，進一步求出∠NOM'＝90°，在等腰直角三角形NOM'中求出NM'的長度即可．
【解析】解：如圖，作點M關(guān)于AB的對稱點M'，連接NM'，交AB于點P，此時PM+PN有最小值，
連接ON，OM，
則OB垂直平分MM'，，
∴∠M'OB＝∠MOB＝60°，
∵N是的中點，
∴，
∴∠MON＝∠BON＝∠MOB＝30°，
∴∠NOM'＝∠NOB+∠M'OB＝90°，
∵AB＝8，
∴ON＝OM'＝4，
在等腰Rt△ONM'中，
NM'＝ON＝4，
∵MP＝M'P，
∴MP+NP＝M'N＝4，
故答案為：4．

【點睛】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，軸對稱稱的性質(zhì)，解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是靈活運兩點之間線段最短這一定理．
22．如圖，在⊙O中，弦AD、BC相交于點E，連接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求證：AB＝CD；
（2）如果⊙O的半徑為5，DE＝1，求AE的長．

【思路點撥】（1）欲證明AB＝CD，只需證得＝；
（2）如圖，過O作OF⊥AD于點F，作OG⊥BC于點G，連接OA、OC．構(gòu)建正方形EFOG，利用正方形的性質(zhì)，垂徑定理和勾股定理來求AF的長度，則易求AE的長度．
【解析】（1）證明：如圖，∵AD＝BC，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴AB＝CD；
（2）如圖，過O作OF⊥AD于點F，作OG⊥BC于點G，連接OA、OC．

則AF＝FD，BG＝CG．
∵AD＝BC，
∴AF＝CG．
在Rt△AOF與Rt△COG中，
，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF＝OG，
∴四邊形OFEG是正方形，
∴OF＝EF．
設(shè)OF＝EF＝x，則AF＝FD＝x+1，
在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，
解得 x＝3．
則AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．
【點睛】本題考查了勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，垂徑定理以及圓周角、弧、弦間的關(guān)系．注意（2）中輔助線的作法．
23．如圖，在⊙O中，C，D是直徑AB上的兩點，且AC＝BD，EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AB，交AB于C、D，點E，G，F(xiàn)，H在⊙O上．
（1）若EG＝8，AC＝2，求⊙O半徑；
（2）求證：＝；
（3）若C，D分別為OA，OB的中點，則＝＝成立嗎？請說明理由．

【思路點撥】（1）連接OE，利用勾股定理即可求得；
（2）通過證得Rt△COE≌Rt△DOF（HL），得到∠AOE＝∠BOF，即可根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到結(jié)論；
（3）解直角三角形求得∠AOE＝60°，同理∠BOF＝60°，進一步得到∠EOF＝60°，即可根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到＝＝．
【解析】解：（1）連接EO，
設(shè)⊙O半徑為r，
∵EG⊥AB，
∴CE＝CG＝EG＝4，
∵AC＝2，
∴OC＝r﹣2，
在Rt△CEO中，OE2＝CE2+OC2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴⊙O半徑為5；
（2）連接OE、OF，
∵AC＝BD，OA＝OB，
∴OC＝OD，
∵EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AB，
∴在Rt△COE和Rt△DOF中，
，
∴Rt△COE≌Rt△DOF（HL），
∴∠AOE＝∠BOF，
∴＝；
（3）＝＝成立，理由如下：
∵C，D分別為OA，OB的中點，
∴OC＝，
∴∠CEO＝30°
∴∠AOE＝60°，
同理∠BOF＝60°，
∴∠EOF＝60°，
∴＝＝．


【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，三角形全等的判斷和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，作出輔助性構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．

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3.4 圓心角

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