?第四課時(shí)——求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與二次方程

知識(shí)點(diǎn)一：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式：
1. 二次函數(shù)的三種形式：
一般式： 。
頂點(diǎn)式： 。
兩點(diǎn)式： 。
2. 待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的步驟：
（1） 設(shè)函數(shù)解析式：根據(jù)已知條件設(shè)函數(shù)解析式。
特別說明：若已知條件為任意三點(diǎn)則設(shè)一般式。
若已知條件為頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸則設(shè)頂點(diǎn)式。
若已知條件為與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)則設(shè)兩點(diǎn)式。
（2） 找點(diǎn)：找函數(shù)圖像上的點(diǎn)。
（3） 帶入：把點(diǎn)帶入函數(shù)解析式得到方程。
（4） 求解方程。
（5） 反帶入：把求出的字母的值帶入解析式。

【類型一：設(shè)一般式求函數(shù)解析式】
1． 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．









2．二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3中的x，y滿足如表
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣3
m
﹣3
…
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）求m的值．









3．一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（﹣1，﹣1），（0，0），（1，9）三點(diǎn)
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）若另外三點(diǎn)（x1，21），（x2，21），（x1+x2，n）也在該二次函數(shù)圖象上，求n的值．












4．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）試確定此二次函數(shù)的解析式；
（2）請你判斷點(diǎn)P（﹣2，3）是否在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上？











5．拋物線y＝ax2+bx+4的圖象經(jīng)過（2，4），（3，1）兩點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)（m，n）是該拋物線上一點(diǎn)，若m≤x≤4時(shí)，n的最小值為﹣4，最大值為5，請求出m的取值范圍．











【類型二：設(shè)頂點(diǎn)式求函數(shù)解析式】
6．一拋物線以（﹣1，9）為頂點(diǎn)，且經(jīng)過x軸上一點(diǎn)（﹣4，0），求該拋物線解析式及拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)．






7．已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，3），且經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式、







8．若直線y＝x﹣2與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A（2，m）、B（n，3），拋物線對稱軸為x＝3，求拋物線解析式．










9．已知某二次函數(shù)，當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值為5，且它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，3）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)A（3，y1）、B（4，y2）在該拋物線上，試比較y1、y2的大?。?br />









10．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，5）．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若該二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y＝x+n（n為常數(shù)）的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，求n的取值范圍．












【類型三：設(shè)兩點(diǎn)式求函數(shù)解析式】
11．一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（﹣1，0），（0，6），（3，0）三點(diǎn)．
求：這個(gè)二次函數(shù)的解析式．





12．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（0，﹣3），C（﹣2，0），求它的解析式，直接寫出它的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．








13．若物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過（﹣1，0）和（5，0）．
（1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式．
（2）當(dāng)0＜x＜5時(shí)，直接寫出y的取值范圍是 　 ?。?br />







14．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0）和點(diǎn)C．
（1）若點(diǎn)C（0，3），求二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)C（m，n），證明：當(dāng)a＞0時(shí)，總有am2+b m≥a+b．








知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)與一元二次方程
1. 求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：
求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y= ，即 ，
解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．

2. 二次函數(shù)的交點(diǎn)與一元二次方程根之間的關(guān)系：
△=決定一元二次方程根的情況，也決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。
△=＞0一元二次方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根拋物線與x軸有 個(gè)交點(diǎn)；
△=＝0一元二次方程兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根拋物線與x軸有 個(gè)交點(diǎn)；△=＜0一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根拋物線與x軸 。
特別說明：一元二次方程的根就是二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
若點(diǎn)與點(diǎn)均在二次函數(shù)的圖像上，若，則的根一定在與之間。

【類型一：根據(jù)與x軸的交點(diǎn)求根】
15．如圖，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解為　 ?。?br />
第15題 第16題
16．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根為　 ?。?br /> 17．若二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），則方程ax2﹣2ax+c＝0的解為　 ?。?br /> 【類型二：根據(jù)與x軸的交點(diǎn)情況求字母的取值范圍】
18．如果函數(shù)y＝x2+4x﹣m的圖象與x軸有公共點(diǎn)，那么m的取值范圍是（　　）
A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4
19．若拋物線y＝x2﹣（2k+1）x+k2+2與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則整數(shù)k的最小值是　 ?。?br /> 20．已知函數(shù)y＝（k﹣3）x2+2x+1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（　　）
A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4
21．已知二次函數(shù)y＝kx2﹣7x﹣7的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則k的取值范圍為（　　）
A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k＜﹣ D．k＞﹣且k≠0
22．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c對于x的任何值都恒為負(fù)值的條件是（　　）
A．a(chǎn)＞0，Δ＞0 B．a(chǎn)＞0，Δ＜0 C．a(chǎn)＜0，Δ＞0 D．a(chǎn)＜0，Δ＜0
【類型三：二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題】
23．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過（0，﹣3），對稱軸為直線x＝﹣1，關(guān)于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則n的取值范圍為（　　）
A．﹣11＜n＜﹣2 B．﹣6＜n＜﹣3 C．﹣11＜n≤﹣2 D．﹣11＜n＜﹣6
24．拋物線y＝x2+bx+2的對稱軸為直線x＝1．若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+2﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在﹣1＜x＜5的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍是（　?。?br /> A．t≥0 B．5≤t＜17 C．1≤t＜17 D．3≤t＜19
25．將二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示．當(dāng)直線y＝x+b與新函數(shù)的圖象恰有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的值為（　?。?br />
第25題 第26題
A．－或﹣3 B．－或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
26．在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝﹣x2+x+6在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，將這個(gè)新函數(shù)的圖象記為G（如圖所示），當(dāng)直線y＝﹣x+m與圖象G有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則m的取值范圍是（　　）
A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
【類型四：利用函數(shù)圖像求一元二次方程的近似根】
27．如圖，點(diǎn)A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上，則方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)近似值可能是（　?。?br />
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
28．表給出了二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值：那么方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根的近似值可能是（　?。?br /> x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
…
A．1.08 B．1.18 C．1.28 D．1.38
29．如表是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的幾組對應(yīng)值：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)解x的范圍是（　?。?br /> A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
30．如圖，以（1，﹣4）為頂點(diǎn)的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸負(fù)半軸交于A點(diǎn)，則一元二次方程ax2+bx+c＝0的正數(shù)解的范圍是（　　）

A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
















一．選擇題（共10小題）
1．若拋物線y＝x2+2x+k與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則k的值為（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．若二次函數(shù)y＝x2+x+a的圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，且，則a＝（　?。?br /> A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0或﹣1
3．拋物線y＝ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：
x
﹣2
﹣1
0
1
y
0
4
6
6
下列結(jié)論不正確的是（　?。?br /> A．拋物線的開口向下
B．拋物線的對稱軸為直線x＝
C．拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）
D．函數(shù)y＝ax2+bx+c的最大值為
4．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A（2﹣m，c），B（m+2，c），則△AOB的面積為（　?。?br /> A．8 B．12 C．16 D．4
5．已知點(diǎn)M為二次函數(shù)y＝x2+2kx+k﹣2圖象的頂點(diǎn)，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）
A．該函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)
B．若該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，b），則b與a的關(guān)系滿足b＝﹣a2﹣a﹣2
C．無論k取何值，頂點(diǎn)M總在x軸的上方
D．直線y＝k﹣2與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)C、D，則當(dāng)時(shí)，△MCD是等邊三角形
6．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）的對應(yīng)值如表所示，
x
…
0

4
…
y
…
0.32
﹣2
0.32
…
則方程ax2+bx+2.32＝0的根是（　?。?br /> A．或 B．或－2 C．0或4 D．1或5
7．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+2）x+2m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，且有x2＜2＜x1，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　?。?br /> A．m＜2 B．m＞2 C．m＜﹣2 D．m＞﹣2
8．若二次函數(shù)y＝ax2﹣6ax+3（a＜0），當(dāng)2≤x≤5時(shí)，8≤y≤12，則a的值是（　　）
A．1 B．﹣ C．﹣ D．﹣1
9．如圖，若拋物線y＝ax2+2x+a2﹣1經(jīng)過原點(diǎn)，則拋物線的解析式為（　?。?br />
A．y＝﹣x2+2x B．y＝x2+2x
C．y＝﹣x2+2x+1 D．y＝﹣x2+2x或y＝x2+2x
10．在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)M為和諧點(diǎn)，比如：點(diǎn)M（﹣1，﹣1）、M（2，2）、M（0.3，0.3）…，都是和諧點(diǎn)，若二次函數(shù)y＝ax2+7x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)M（1，1），則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為（　　）
A．y＝﹣5x2+7x﹣1 B．y＝﹣x2+7x﹣5
C．y＝﹣2x2+7x﹣4 D．y＝﹣3x2+7x﹣3

二．填空題（共6小題）
11．已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3a的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是 　 　．
12．已知拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是﹣3和1，若拋物線y2＝ax2+bx+c+m（m＞0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 　 ?。?br /> 13．已知拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+2022的值為 　 ?。?br /> 14．拋物線y＝ax2﹣2x﹣1的對稱軸為直線x＝1．
（1）a＝　 ??；
（2）若拋物線y＝ax2﹣2x﹣1+m在﹣1＜x＜4內(nèi)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是 　 ?。?br />
15．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝2若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，則x2的取值范圍是 　 ?。?br />

16．物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＜0）的對稱軸為x＝m，且a+b+c＝0．
下列四個(gè)結(jié)論：
①c＜0；
②x＝2m﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根；
③不等式am2﹣a3≥ab﹣b m一定成立；
④若P（x1，y1），P2（x2，y2）在拋物線上，且當(dāng)x1＜x2＜2時(shí)，y1＜y2，則c≤3a．
其中正確的是 　 ?。ㄌ顚懶蛱?hào)）．
三．解答題（共4小題）
17．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，求y的取值范圍．










18．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，求y的取值范圍；
（3）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PAB＝10，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．










19．已知：如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸；
（3）若過點(diǎn)C的直線與拋物線相交于點(diǎn)E（4，m），請連接CB，BE并求出△CBE的面積S的值．










20．已知拋物線y＝﹣x2+2x+m．拋物線過點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B．直線AB與這條拋物線的對稱軸交于點(diǎn)P．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）求直線AB的解析式和點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在第一象限內(nèi)的該拋物線有一點(diǎn)D（x，y），且S△ABD＝S△ABC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．


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初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊電子課本

21.3 實(shí)際問題與一元二次方程

版本： 人教版

年級： 九年級上冊

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