? 第四課時——求函數解析式、二次函數與二次方程（答案卷）

知識點一：待定系數法求函數解析式：
1. 二次函數的三種形式：
一般式： 。
頂點式： 。
兩點式： 。
2. 待定系數法求函數解析式的步驟：
（1） 設函數解析式：根據已知條件設函數解析式。
特別說明：若已知條件為任意三點則設一般式。
若已知條件為頂點坐標或對稱軸則設頂點式。
若已知條件為與x軸的交點坐標則設兩點式。
（2） 找點：找函數圖像上的點。
（3） 帶入：把點帶入函數解析式得到方程。
（4） 求解方程。
（5） 反帶入：把求出的字母的值帶入解析式。

【類型一：設一般式求函數解析式】
1．已知一個二次函數的圖象過（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求這個二次函數的解析式．
【分析】先設所求二次函數的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（﹣1，10）、（1，4）、（0，3）代入函數解析式，得到關于a、b、c的三元一次方程組，解即可求a、b、c，進而可得函數解析式．
【解答】解：設所求二次函數的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），
根據題意，得，
解得，
∴所求二次函數解析式為y＝4x2﹣3x+3．
2．二次函數y＝ax2+bx﹣3中的x，y滿足如表
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣3
m
﹣3
…
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）求m的值．
【分析】（1）設一般式y(tǒng)＝ax2+bx﹣3，再取兩組對應值代入得到關于a、b的方程組，然后解方程組即可；
（2）把x＝1代入二次函數的解析式求解即可．
【解答】解：（1）設拋物線解析式為y＝ax2+bx﹣3，
把（﹣1，0），（2，﹣3）代入得，
解得：，
所以解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）把x＝1代入y＝x2﹣2x﹣3，可得y＝1﹣2﹣3＝﹣4，
所以m＝﹣4．
3．一個二次函數的圖象經過（﹣1，﹣1），（0，0），（1，9）三點
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）若另外三點（x1，21），（x2，21），（x1+x2，n）也在該二次函數圖象上，求n的值．
【分析】（1）先設二次函數的一般關系式，然后將已知條件代入其中并解答即可；
（2）由拋物線的對稱軸對稱x1+x2＝﹣，代入解析式即可求得n的值．
【解答】解：（1）設二次函數的關系式為y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵二次函數的圖象經過點（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三點，
∴，
解得，
所以這個函數關系式是：y＝4x2+5x；
（2）∵二次函數為y＝4x2+5x，
∴對稱軸為直線x＝﹣＝﹣，
∵三點（x1，21），（x2，21），（x1+x2，n）也在該二次函數圖象上，
∴＝﹣，
∴x1+x2＝﹣，
∴n＝4×（﹣）2+5×（﹣）＝0．
4．已知二次函數y＝ax2+bx+3的圖象經過點（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）試確定此二次函數的解析式；
（2）請你判斷點P（﹣2，3）是否在這個二次函數的圖象上？
【分析】（1）根據題意列出二元一次方程組，解方程組求出a，b，得到此二次函數的解析式；
（2）把x＝﹣2代入函數解析式計算，判斷即可．
【解答】解：（1）由題意得，，
解得，，
則二次函數的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）當x＝﹣2時，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，
∴點P（﹣2，3）在這個二次函數的圖象上．
5．拋物線y＝ax2+bx+4的圖象經過（2，4），（3，1）兩點．
（1）求該拋物線的解析式及頂點坐標；
（2）點（m，n）是該拋物線上一點，若m≤x≤4時，n的最小值為﹣4，最大值為5，請求出m的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數法即可求得拋物線的解析式，然后化成頂點式即可求得頂點坐標；
（2）根據（1）中求得的解析式可知拋物線開口向下，頂點為（1，5），即當x＝1時，函數有最大值5，求得y＝﹣4時的x的值，根據二次函數的性質即可求得m的取值范圍．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4的圖象經過（2，4），（3，1）兩點，
∴解得
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+4．
∵y＝﹣（x﹣1）2+5，
∴頂點坐標為（1，5）．
（2）∵y＝﹣（x﹣1）2+5，
∴拋物線開口向下，頂點為（1，5），
∴當x＝1時，函數有最大值5，
當y＝﹣4時，則﹣（x﹣1）2+5＝﹣4，
解得x＝﹣2或4，
∵點（m，n）是該拋物線上一點，m≤x≤4時，n的最小值為﹣4，最大值為5，
∴m的取值范圍是﹣2≤m≤1．
【類型二：設頂點式求函數解析式】
6．一拋物線以（﹣1，9）為頂點，且經過x軸上一點（﹣4，0），求該拋物線解析式及拋物線與y軸交點坐標．
【分析】設拋物線解析式為y＝a（x﹣h）2+k，把（﹣1，9）和（﹣4，0）代入可得解析式，再把x＝0代入可得與y軸的交點．
【解答】解：設拋物線解析式為y＝a（x﹣h）2+k，
依題意得h＝﹣1，k＝9，
將（﹣4，0）代入y＝a（x+1）2+9中，
得0＝9a+9，
解得a＝﹣1，
∴拋物線解析式為y＝﹣（x+1）2+9．
令x＝0，則y＝8，
∴拋物線與y軸交點為（0，8）．
7．已知二次函數圖象的頂點坐標是（2，3），且經過點（﹣1，0），求這個二次函數的表達式、
【分析】由于已知拋物線的頂點坐標，則可設頂點式y(tǒng)＝a（x﹣2）2+3，然后把（﹣1，0）代入求出a的值即可．
【解答】解：設拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+3，
把（﹣1，0）代入得a?（x﹣1﹣2）2+3＝0，
解得a＝﹣．
所以拋物線解析式為y＝﹣（x﹣2）2+3．

8．若直線y＝x﹣2與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A（2，m）、B（n，3），拋物線對稱軸為x＝3，求拋物線解析式．
【分析】根據直線y＝x﹣2與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A（2，m）、B（n，3），先求出m，n的值，再把A，B的坐標代入，利用拋物線對稱軸為x＝3即可求出解析式．
【解答】解：∵直線y＝x﹣2過點A（2，m）、B（n，3），
∴m＝0，n＝5，
∴A（2，0）、B（5，3），分別代入y＝ax2+bx+c，拋物線對稱軸為x＝3，
∴，
綜合上述三式解得：a＝1，b＝﹣6，c＝8，
∴拋物線解析式為：y＝x2﹣6x+8．
9．已知某二次函數，當x＝1時，y有最大值為5，且它的圖象經過點（2，3）．
（1）求二次函數的解析式；
（2）若點A（3，y1）、B（4，y2）在該拋物線上，試比較y1、y2的大?。?br /> 【分析】（1）設函數解析式為y＝a（x﹣1）2+5，把點（2，3）代入解析式求出a即可．
（2）分別求出x＝3和x＝4時的函數值即可判斷．
【解答】解：（1）設這個函數解析式為y＝a（x﹣1）2+5
把點（2，3）代入，3＝a（2﹣1）2+5，解得a＝﹣2，
∴這個函數解析式是y＝﹣2（x﹣1）2+5；
（2）由（1）知，y＝﹣2（x﹣1）2+5，
∴y1＝﹣2（3﹣1）2+5＝﹣3，y2＝﹣2（4﹣1）2+5＝﹣13，
則y1＞y2．
10．在平面直角坐標系中，一個二次函數的圖象的頂點坐標是（2，1），與y軸的交點坐標是（0，5）．
（1）求該二次函數的表達式；
（2）在同一平面直角坐標系中，若該二次函數的圖象與一次函數y＝x+n（n為常數）的圖象有2個公共點，求n的取值范圍．
【分析】（1）設拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+1，再將（0，5）代入即可求解；
（2）二次函數的圖象與一次函數y＝x+n（n為常數）的圖象有兩個交點可列出方程a（x﹣2）2+1＝x+n，再利用Δ＞0，即可求出解．
【解答】解：（1）∵二次函數圖象的頂點是（2，1），
∴設二次函數的表達式為y＝a（x﹣2）2+1，
將點（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+1，
得5＝a（0﹣2）2+1，
解得：a＝1，
∴二次函數的表達式為：y＝（x﹣2）2+1．
（2）二次函數的圖象與一次函數y＝x+n（n為常數）的圖象有2個公共點，
∴得（x﹣2）2+1＝x+n，
化簡得：x2﹣5x+5﹣n＝0，
∵有2個公共點，
∴Δ＞0，
∴25﹣4（5﹣n）＞0，
解得n＞．
∴n的取值范圍為：n．
【類型三：設兩點式求函數解析式】
11．一個二次函數的圖象經過（﹣1，0），（0，6），（3，0）三點．
求：這個二次函數的解析式．
【分析】設一般式y(tǒng)＝ax2+bx+c，再把三個點的坐標代入得到關于a、b、c的方程組，然后解方程組求出a、b、c即可．
【解答】解：設拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，
根據題意得：，
解得：，
所以拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+6．
12．二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（4，0），B（0，﹣3），C（﹣2，0），求它的解析式，直接寫出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標．
【分析】通過待定系數法求出函數解析式，根據a的符號可得拋物線開口方向，根據x＝﹣求對稱軸，將x＝﹣的值代入函數解析式求拋物線頂點縱坐標．
【解答】解：將（4，0），（0，﹣3），（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3，
∵a＞0，
∴拋物線開口向上，
拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝﹣＝1，
把x＝1代入y＝x2﹣x﹣3得y＝+﹣3＝﹣，
∴拋物線頂點坐標為（1，﹣）．
13．若物線y＝﹣x2+bx+c經過（﹣1，0）和（5，0）．
（1）求拋物線對應的二次函數表達式．
（2）當0＜x＜5時，直接寫出y的取值范圍是 　 ?。?br /> 【分析】（1）利用待定系數法可得二次函數表達式；
（2）把x＝0和x＝5代入表達式，再結合拋物線的頂點坐標可得y的取值范圍．
【解答】解：（1）把（﹣1，0）和（5，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得b＝4，c＝5，
所以二次函數的表達式為y＝﹣x2+4x+5；
（2）拋物線的對稱軸是直線x＝2，頂點坐標（2，9），
當x＝0時，y＝5；當x＝5時，y＝0；當x＝2時，y＝9；
∴當0＜x＜5時，0＜y≤9，
故答案為：0＜y≤9．
14．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點A（﹣1，0），點B（3，0）和點C．
（1）若點C（0，3），求二次函數表達式；
（2）若點C（m，n），證明：當a＞0時，總有am2+b m≥a+b．
【分析】（1）由拋物線過點A（﹣1，0），點B（3，0）可得拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），進而求解．
（2）由拋物線解析式可得拋物線對稱軸，由a＞0可得當x＝1時，y取最小值，進而求解．
【解答】（1）設y＝a（x+1）（x﹣3），
把 （0，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）得3＝﹣3a，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
（2）方法一：
∵圖象過A（﹣1，0），點B（3，0），
∴對稱軸為直線x＝1，
∵a＞0，當x＝1時，圖象有最小值，此時最小值為y＝a+b+c
∴當x＝m時，存在am2+bm+c≥a+b+c．
∴am2+bm≥a+b．
方法二：∵圖象過A（﹣1，0），點B（3，0），
∴，則b＝﹣2a．
∴am2+bm﹣a﹣b＝am2﹣2am﹣a+2a＝am2﹣2am+a＝a（m2﹣2m+1）＝a（m﹣1）2≥0，
∴am2+bm≥a+b．

知識點一：二次函數與一元二次方程
1. 求二次函數與x軸的交點坐標：
求二次函數與x軸的交點坐標，令y= 0 ，即 ，
解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．

2. 二次函數的交點與一元二次方程根之間的關系：
△=決定一元二次方程根的情況，也決定拋物線與x軸的交點個數。
△=＞0一元二次方程兩個不相等的實數根拋物線與x軸有 2 個交點；
△=＝0一元二次方程兩個相等的實數根拋物線與x軸有 1 個交點；△=＜0一元二次方程沒有實數根拋物線與x軸 沒有交點 。
特別說明：一元二次方程的根就是二次函數與x軸交點的橫坐標。
若點與點均在二次函數的圖像上，若，則的根一定在與之間。

【類型一：根據與x軸的交點求根】
15．如圖，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解為　 ?。?br />
【分析】首先根據圖象求出拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的交點坐標，進而寫出一元二次方程ax2+bx+c＝0的解．
【解答】解：由圖可知：拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的交點坐標為（﹣1，0），（4，0），
則一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝4．
故答案為：x1＝﹣1，x2＝4．
16．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根為　 ?。?br />
【分析】關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根即為二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點．
【解答】解：根據圖象知，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的一個交點是（﹣1，0），對稱軸是直線x＝1．
設該拋物線與x軸的另一個交點是（x，0）．則
＝1，
解得，x＝3，
即該拋物線與x軸的另一個交點是（3，0）．
所以關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根為x1＝﹣1，x2＝3．
故答案是：x1＝﹣1，x2＝3．
17．若二次函數y＝ax2﹣2ax+c的圖象經過點（﹣1，0），則方程ax2﹣2ax+c＝0的解為　 ?。?br /> 【分析】二次函數y＝ax2﹣2ax+c的圖象經過點（﹣1，0），則當x＝﹣1時，y＝0，即ax2﹣2ax+c＝0的解是x＝﹣1，據此求解．
【解答】解：∵二次函數y＝ax2﹣2ax+c的圖象經過點（﹣1，0），
∴當x＝﹣1時，ax2﹣2ax+c＝0成立，
∴方程ax2﹣2ax+c＝0的一個解是x1＝﹣1．
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴原方程可化為a（x2﹣2x﹣3）＝0，
∵a≠0．
∴x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3．
故答案是：x1＝﹣1，x2＝3．
【類型二：根據與x軸的交點情況求字母的取值范圍】
18．如果函數y＝x2+4x﹣m的圖象與x軸有公共點，那么m的取值范圍是（　?。?br /> A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4
【分析】根據已知得出方程x2+4x﹣m＝0有兩個的實數解，即△≥0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵函數y＝x2+4x﹣m的圖象與x軸有公共點，
∴方程x2+4x﹣m＝0有兩個的實數解，即△＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，
解得：m≥﹣4，
故選：C．
19．若拋物線y＝x2﹣（2k+1）x+k2+2與x軸有兩個交點，則整數k的最小值是　 ?。?br /> 【分析】拋物線與x軸有兩交點，則Δ＝b2﹣4ac＞0，列出不等式求得整數解即可．
【解答】解：由題意得：（2k+1）2﹣4（k2+2）＞0，解得k＞，故整數k的最小值是2．
20．已知函數y＝（k﹣3）x2+2x+1的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（　?。?br /> A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4
【分析】由于不知道函數是一次函數還是二次函數，需對k進行討論．當k＝3時，函數y＝2x+1是一次函數，它的圖象與x軸有一個交點；
當k≠3，函數y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函數，當△≥0時，二次函數與x軸都有交點，解△≥0，求出k的范圍．
【解答】解：當k＝3時，函數y＝2x+1是一次函數，它的圖象與x軸有一個交點；
當k≠3，函數y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函數，
當22﹣4（k﹣3）≥0，
k≤4
即k≤4時，函數的圖象與x軸有交點．
綜上k的取值范圍是k≤4．
故選：D．
21．已知二次函數y＝kx2﹣7x﹣7的圖象與x軸沒有交點，則k的取值范圍為（　　）
A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k＜﹣ D．k＞﹣且k≠0
【分析】根據二次函數的定義得到k≠0，根據Δ＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數得到（﹣7）2﹣4k×（﹣7）＜0，然后求出兩個不等式的公共部分即可．
【解答】解：根據題意得，
解得k＜﹣．
故選：C．
22．二次函數y＝ax2+bx+c對于x的任何值都恒為負值的條件是（　?。?br /> A．a＞0，Δ＞0 B．a＞0，Δ＜0 C．a＜0，Δ＞0 D．a＜0，Δ＜0
【分析】函數值恒為負值要具備兩個條件：①開口向下：a＜0，②與x軸無交點，即Δ＜0．
【解答】解：如圖所示，
二次函數y＝ax2+bx+c對于x的任何值都恒為負值的條件是：a＜0，Δ＜0；
故選：D．


【類型三：二次函數與直線的交點問題】
23．拋物線y＝﹣x2+bx+c經過（0，﹣3），對稱軸為直線x＝﹣1，關于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范圍內有實數根，則n的取值范圍為（　?。?br /> A．﹣11＜n＜﹣2 B．﹣6＜n＜﹣3 C．﹣11＜n≤﹣2 D．﹣11＜n＜﹣6
【分析】x＝﹣4比x＝1離對稱軸遠，故關于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范圍內有實數根，則n在y＝﹣11和頂點之間，進而求解．
【解答】解：由題意得，解得，
故拋物線的表達式為y＝﹣x2﹣2x﹣3，
則拋物線的頂點坐標為（﹣1，﹣2），
函數的大致圖象如下：

當x＝﹣4時，y＝﹣x2﹣2x﹣3＝﹣11，
∵x＝﹣4比x＝1離對稱軸遠，故關于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范圍內有實數根，
則n在y＝﹣11和頂點之間，
即﹣11＜n≤﹣2，
故選：C．
24．拋物線y＝x2+bx+2的對稱軸為直線x＝1．若關于x的一元二次方程x2+bx+2﹣t＝0（t為實數）在﹣1＜x＜5的范圍內有實數根，則t的取值范圍是（　?。?br /> A．t≥0 B．5≤t＜17 C．1≤t＜17 D．3≤t＜19
【分析】一元二次方程x2+bx+2﹣t＝0（t為實數）在﹣1＜x＜5的范圍內有實數根，則y1＝x2﹣2x+2和y＝t有交點，進而求解．
【解答】解：x＝1＝﹣，解得b＝﹣2，
設y1＝x2+bx+2＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
則該函數的開口向上，頂點坐標為（1，1），
則x＝5比x＝﹣1離函數的對稱軸遠，
當x＝5時，y1＝x2﹣2x+2＝25﹣10+2＝17，
而一元二次方程x2+bx+2﹣t＝0（t為實數）在﹣1＜x＜5的范圍內有實數根，
則y1＝x2﹣2x+2和y＝t有交點，
故1≤t＜17，
故選：C．
25．將二次函數y＝﹣x2+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數的圖象如圖所示．當直線y＝x+b與新函數的圖象恰有3個公共點時，b的值為（　　）

A．－或﹣3 B．－或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
【分析】分兩種情形：如圖，當直線y＝x+b過點B時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，當直線y＝x+b與拋物線y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，分別求解即可．
【解答】解：二次函數解析式為y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴拋物線y＝﹣x2+2x+3的頂點坐標為（1，4），
當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
則拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸的交點為A（﹣1，0），B（3，0），
把拋物線y＝﹣x2+2x+3圖象x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，則翻折部分的拋物線解析式為y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），頂點坐標M（1，﹣4），
如圖，當直線y＝x+b過點B時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
當直線y＝x+b與拋物線y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，
即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的實數解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，△＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b＝﹣，
所以b的值為﹣3或﹣，
故選：A．





26．在平面直角坐標系中，將二次函數y＝﹣x2+x+6在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，將這個新函數的圖象記為G（如圖所示），當直線y＝﹣x+m與圖象G有4個交點時，則m的取值范圍是（　?。?br />
A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
【分析】如圖，解方程﹣x2+x+6＝0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折疊的性質求出折疊部分的解析式為y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直線?y＝﹣x+m經過點A（﹣2，0）時m的值和當直線y＝﹣x+m與拋物線y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共點時m的值，從而得到當直線y＝﹣x+m與新圖象有4個交點時，m的取值范圍．
【解答】解：如圖，當y＝0時，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，則A（﹣2，0），B（3，0），

將該二次函數在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方的部分圖象的解析式為y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
當直線?y＝﹣x+m經過點A（﹣2，0）時，2+m＝0，解得m＝﹣2；
當直線y＝﹣x+m與拋物線y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共點時，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的實數解，解得m＝﹣6，
所以當直線y＝﹣x+m與新圖象有4個交點時，m的取值范圍為﹣6＜m＜﹣2．
故選：D．

【類型四：利用函數圖像求一元二次方程的近似根】
27．如圖，點A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上，則方程ax2+bx+c＝0的一個近似值可能是（　?。?br />
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
【分析】根據自變量兩個取值所對應的函數值是﹣0.51和0.54，可得當函數值為0時，x的取值應在所給的自變量兩個值之間．
【解答】解：∵圖象上有兩點分別為A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），
∴當x＝2.18時，y＝﹣0.51；x＝2.68時，y＝0.54，
∴當y＝0時，2.18＜x＜2.68，
只有選項D符合，
故選：D．
28．表給出了二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的自變量x與函數值y的部分對應值：那么方程ax2+bx+c＝0的一個根的近似值可能是（　?。?br /> x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
…
A．1.08 B．1.18 C．1.28 D．1.38
【分析】觀察表中數據得到拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的一個交點在（1.1，0）和點（1.2，0）之間，更靠近點（1.2，0），然后根據拋物線與x軸的交點問題可得到方程ax2+bx+c＝0一個根的近似值．
【解答】解：∵x＝1.1時，y＝ax2+bx+c＝﹣0.49；x＝1.2時，y＝ax2+bx+c＝0.04；
∴拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的一個交點在（1.1，0）和點（1.2，0）之間，更靠近點（1.2，0），
∴方程ax2+bx+c＝0有一個根約為1.2．
故選：B．
29．如表是二次函數y＝ax2+bx+c的幾組對應值：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
根據表中數據判斷，方程ax2+bx+c＝0的一個解x的范圍是（　?。?br /> A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【分析】利用二次函數和一元二次方程的性質進行解答即可．
【解答】解：由表可以看出，當x取6.18與6.19之間的某個數時，y＝0，即這個數是ax2+bx+c＝0的一個根．
ax2+bx+c＝0的一個解x的取值范圍為6.18＜x＜6.19．
故選：C．
30．如圖，以（1，﹣4）為頂點的二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸負半軸交于A點，則一元二次方程ax2+bx+c＝0的正數解的范圍是（　　）

A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
【分析】先根據圖象得出對稱軸左側圖象與x軸交點橫坐標的取值范圍，再利用對稱軸x＝1，可以算出右側交點橫坐標的取值范圍．
【解答】解：∵二次函數y＝ax2+bx+c的頂點為（1，﹣4），
∴對稱軸為x＝1，
而對稱軸左側圖象與x軸交點橫坐標的取值范圍是﹣3＜x＜﹣2，
∴右側交點橫坐標的取值范圍是4＜x＜5．
故選：C．





一．選擇題（共10小題）
1．若拋物線y＝x2+2x+k與x軸只有一個交點，則k的值為（　?。?br /> A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根據拋物線y＝x2+2x+k與x軸只有一個交點，可知Δ＝0，從而可以求得k的值．
【解答】解：∵拋物線y＝x2+2x+k與x軸只有一個交點，
∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，
解得，k＝1，
故選：C．
2．若二次函數y＝x2+x+a的圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且，則a＝（　?。?br /> A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0或﹣1
【分析】由根與系數的關系得x1+x2＝﹣1，x1?x2＝a，將式變形代入即可．
【解答】解：y＝x2+x+a的圖象與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，
∴x1+x2＝﹣1，x1?x2＝a，
∵+＝＝＝＝3，
∴3a2+2a﹣1＝0
解得a＝﹣1或a＝；
∵y＝x2+x+a的圖象與x軸有兩個交點，
∵Δ＝1﹣4a＞0，
∴a＜，
∴a＝﹣1，
故選：B．
3．拋物線y＝ax2+bx+c上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：
x
﹣2
﹣1
0
1
y
0
4
6
6
下列結論不正確的是（　?。?br /> A．拋物線的開口向下
B．拋物線的對稱軸為直線x＝
C．拋物線與x軸的一個交點坐標為（2，0）
D．函數y＝ax2+bx+c的最大值為
【分析】根據表格中的數據，可以求出拋物線的解析式，然后化為頂點式和交點式，即可判斷各個選項中的說法是否正確．
【解答】解：由表格可得，
，
解得，
∴y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+＝（﹣x+3）（x+2），
∴該拋物線的開口向下，故選項A正確，不符合題意；
該拋物線的對稱軸是直線x＝，故選項B正確，不符合題意，
∵當x＝﹣2時，y＝0，
∴當x＝×2﹣（﹣2）＝3時，y＝0，故選項C錯誤，符合題意；
函數y＝ax2+bx+c的最大值為，故選項D正確，不符合題意；
故選：C．
4．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸只有一個交點，且經過點A（2﹣m，c），B（m+2，c），則△AOB的面積為（　?。?br /> A．8 B．12 C．16 D．4
【分析】根據A、B的坐標求得拋物線的對稱軸，從而求得b＝﹣4，由Δ＝0，求得c＝4，根據題意求得AB＝4，然后根據三角形面積公式即可求得△AOB的面積．
【解答】解：∵二次函數y＝x2+bx+c的圖象經過點A（2﹣m，c），B（m+2，c），
∴對稱軸為直線x＝＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4，
∵點A或點B在y軸上，
∴AB＝4，
∵二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸只有一個交點，
∴b2﹣4c＝0，即16﹣4c＝0，
∴c＝4，
∴△AOB的面積為：＝8．
故選：A．
5．已知點M為二次函數y＝x2+2kx+k﹣2圖象的頂點，則以下結論錯誤的是（　?。?br /> A．該函數圖象與x軸總有兩個交點
B．若該函數圖象的頂點M的坐標為（a，b），則b與a的關系滿足b＝﹣a2﹣a﹣2
C．無論k取何值，頂點M總在x軸的上方
D．直線y＝k﹣2與該函數圖象交于點C、D，則當時，△MCD是等邊三角形
【分析】令x2+2kx+k﹣2＝0，由Δ的符號可判斷選項A，C．將二次函數解析式化為頂點式可判斷選項B，由拋物線的對稱性可得C，D的坐標，根據等邊三角形的性質可判斷選項D．
【解答】解：令x2+2kx+k﹣2＝0，則Δ＝4k2﹣4（k﹣2）＝4k2﹣4k+8＝4（k﹣）2+7＞0，
∴拋物線與x軸有2個交點，選項A正確．
∵y＝x2+2kx+k﹣2＝（x+k）2﹣k2+k﹣2，
∴拋物線頂點坐標為（﹣k，﹣k2+k﹣2），
∴a＝﹣k，b＝﹣k2+k﹣2＝﹣a2﹣a﹣2，選項B正確．
∵拋物線開口向上，拋物線與x軸有2個交點，
∴拋物線頂點在x軸下方，選項C錯誤．
∵點M坐標為（﹣k，﹣k2+k﹣2），
∴拋物線對稱軸為值x＝﹣k，
∴點C，D坐標為（0，k﹣2），（﹣2k，k﹣2）．
∵△MCD是等邊三角形，
∴k﹣2﹣（﹣k2+k﹣2）＝|k|，
當k＝時，﹣2﹣（﹣3+﹣2）＝3，符合題意，選項D正確．
故選：C．
6．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象上部分點的坐標（x，y）的對應值如表所示，
x
…
0

4
…
y
…
0.32
﹣2
0.32
…
則方程ax2+bx+2.32＝0的根是（　?。?br /> A．或 B．或－2 C．0或4 D．1或5
【分析】利用拋物線經過點（0，0.32）得到c＝0.32，根據拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x＝2，拋物線經過點（，﹣2），由于方程ax2+bx+2.32＝0變形為ax2+bx+0.32＝﹣2，則方程ax2+bx+2.32＝0的根理解為函數值為﹣2所對應的自變量的值，所以方程ax2+bx+2.32＝0的根為x1＝，x2＝4﹣．
【解答】解：由拋物線經過點（0，0.32）得到c＝0.32，
因為拋物線經過點（0，0.32）、（4，0.32），
所以拋物線的對稱軸為直線x＝2，
而拋物線經過點（，﹣2），
所以拋物線經過點（4﹣，﹣2），
所以二次函數解析式為y＝ax2+bx+0.32，
方程ax2+bx+2.32＝0變形為ax2+bx+0.32＝﹣2，
所以方程ax2+bx+0.32＝﹣2的根理解為函數值為﹣2所對應的自變量的值，
所以方程ax2+bx+2.32＝0的根為x1＝，x2＝4﹣．
故選：A．
7．已知關于x的一元二次方程x2+（m+2）x+2m＝0有兩個不相等的實數根x1，x2，且有x2＜2＜x1，那么實數m的取值范圍是（　　）
A．m＜2 B．m＞2 C．m＜﹣2 D．m＞﹣2
【分析】先用求根公式和x2＜2＜x1，求出x2＝﹣2，x1＝﹣m，根據x1＞2求出m的取值范圍．
【解答】解：∵x2+（m+2）x+2m＝0，
∴x＝＝，
∵x2＜2＜x1，
∴x2＝﹣2，x1＝﹣m，
∴﹣m＞2，
∴m＜﹣2，
故選：C．
8．若二次函數y＝ax2﹣6ax+3（a＜0），當2≤x≤5時，8≤y≤12，則a的值是（　?。?br /> A．1 B．﹣ C．﹣ D．﹣1
【分析】根據二次函數解析式判斷出開口方向和對稱軸，再根據當2≤x≤5時，8≤y≤12，可得到x在頂點處取得最大值，即可求出a值．
【解答】解：在y＝ax2﹣6ax+3，a＜0，開口向下，對稱軸為x＝3，
∵當2≤x≤5時，8≤y≤12，
∴x＝3時，y取得最大為12，
∴12＝9a﹣18a+3，
∴a＝﹣1．
故選：D．
9．如圖，若拋物線y＝ax2+2x+a2﹣1經過原點，則拋物線的解析式為（　?。?br />
A．y＝﹣x2+2x B．y＝x2+2x
C．y＝﹣x2+2x+1 D．y＝﹣x2+2x或y＝x2+2x
【分析】把原點的坐標代入y＝ax2+2x+a2﹣1，求得a＝﹣1，即可求得拋物線的解析式．
【解答】解：把（0，0）代入y＝ax2+2x+a2﹣1得，0＝a2﹣1，
∴a＝±1，
∵拋物線開口向下，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x，
故選：A．
10．在平面直角坐標系中，如果點M的橫坐標與縱坐標相等，則稱點M為和諧點，比如：點M（﹣1，﹣1）、M（2，2）、M（0.3，0.3）…，都是和諧點，若二次函數y＝ax2+7x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個和諧點M（1，1），則這個二次函數的解析式為（　?。?br /> A．y＝﹣5x2+7x﹣1 B．y＝﹣x2+7x﹣5
C．y＝﹣2x2+7x﹣4 D．y＝﹣3x2+7x﹣3
【分析】由題意可得和諧點所在直線為y＝x，由拋物線經過（1，1）可得a與c的數量關系，聯立直線與拋物線方程，根據Δ＝0求解．
【解答】解：由題意可得和諧點所在直線為y＝x，
把（1，1）代入y＝ax2+7x+c得1＝a+7+c，
∴c＝﹣a﹣6，
∴y＝ax2+7x﹣a﹣6．
令x＝ax2+7x﹣a﹣6，整理得ax2+6x﹣a﹣6＝0，
∵拋物線與直線y＝x只有1個公共點，
∴Δ＝62﹣4a（﹣a﹣6）＝0，
解得a1＝a2＝﹣3，
∴y＝﹣3x2+7x﹣3．
故選：D．
二．填空題（共6小題）
11．已知二次函數y＝x2+2x﹣3a的圖象與x軸有兩個交點，則a的取值范圍是 　 　．
【分析】根據拋物線與x軸的交點問題，利用根的判別式的意義得到22﹣4×（﹣3a）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵二次函數y＝x2+2x﹣3a的圖象與x軸有兩個交點，
∴Δ＝22﹣4×（﹣3a）＞0，
解得a＞﹣，
即a的取值范圍為a＞﹣．
故答案為：a＞﹣．

12．已知拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標分別是﹣3和1，若拋物線y2＝ax2+bx+c+m（m＞0）與x軸有兩個交點A，B，點A的坐標是（4，0），則點B的坐標是 　 ?。?br /> 【分析】由拋物線與x軸兩交點橫坐標求出拋物線對稱軸，進而求解．
【解答】解：∵拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標分別是﹣3和1，
∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，
拋物線y2＝ax2+bx+c+m（m＞0）是由拋物線向上移動m個單位，拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，
∵A，B關于對稱軸對稱，A坐標為（4，0），
∴點B坐標為（﹣6，0）．
故答案為：（﹣6，0）．
13．已知拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個交點為（m，0），則代數式m2﹣m+2022的值為 　 ?。?br /> 【分析】將（m，0）代入函數解析式可得m2﹣m的值，進而求解．
【解答】解：將（m，0）代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2022＝1+2023，
故答案為：2023．
14．拋物線y＝ax2﹣2x﹣1的對稱軸為直線x＝1．
（1）a＝　 　；
（2）若拋物線y＝ax2﹣2x﹣1+m在﹣1＜x＜4內與x軸只有一個交點，則m的取值范圍是 　 ?。?br /> 【分析】（1）拋物線y＝ax2﹣2x﹣1的對稱軸為直線x＝1，由﹣＝1即可求得；
（2）先根據拋物線與x軸有交點，由Δ≥0得出m≤2．再分①拋物線的頂點在x軸上和②當x＝﹣1和x＝4時，對應的函數值異號兩種情況討論即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2x﹣1的對稱軸為直線x＝1，
∴﹣＝1，
∴a＝1；
故答案為：a＝1；
（2）由（1）知：a＝1，
∴拋物線y＝ax2﹣2x﹣1+m為y＝x2﹣2x﹣1+m，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1+m）＝8﹣4m≥0，
∴m≤2，
∵對稱軸為直線x＝1，
∴拋物線y＝x2﹣2x﹣1+m在﹣1＜x＜4內與x軸只有一個交點，分兩種情況：
①拋物線y＝x2﹣2x﹣1+m的頂點是（1，0），
∴0＝1﹣2×1﹣1+m，
解得m＝2，
②當x＝﹣1和x＝4時，對應的函數值異號，
而當x＝﹣1時，y＝2+m，
x＝4時，y＝7+m，
∴或，
解得﹣7＜m＜﹣2，
當m＝﹣7時，拋物線y＝x2﹣2x﹣1+m＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2），
∴拋物線與x軸的交點為（﹣2，0）和（4，0），
∴拋物線y＝x2﹣2x﹣1+m在﹣1＜x＜4沒有交點，
當m＝﹣2時，拋物線y＝x2﹣2x﹣1+m＝y(tǒng)＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），
∴拋物線與x軸的交點為（﹣1，0）和（3，0），
∴拋物線y＝x2﹣2x﹣1+m在﹣1＜x＜4有一個交點（3，0），符合題意，
綜上所述，m取值范圍是m＝2或﹣7＜m≤﹣2，
故答案為：m＝2或﹣7＜m≤﹣2．
15．二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝2若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，則x2的取值范圍是 　 　．

【分析】由拋物線對稱性及對稱軸為直線x＝2可得＝2，根據﹣1＜x1＜0可得x2的取值范圍．
【解答】解：∵拋物線對稱軸為直線x＝2，
∴＝2，
∴x2＝4﹣x1，
∵﹣1＜x1＜0，
∴4＜x2＜5，
故答案為：4＜x2＜5．
16．物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數，a＜0）的對稱軸為x＝m，且a+b+c＝0．
下列四個結論：
①c＜0；
②x＝2m﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根；
③不等式am2﹣a3≥ab﹣b m一定成立；
④若P（x1，y1），P2（x2，y2）在拋物線上，且當x1＜x2＜2時，y1＜y2，則c≤3a．
其中正確的是 　 ?。ㄌ顚懶蛱枺?br /> 【分析】根據題意拋物線開口向下，經過點（1，0），當m≤0時，c＞0，即可判斷①結論錯誤；根據拋物線的對稱性即可判斷②正確；根據二次函數的最值即可判斷③正確；根據二次函數的性質得出﹣≥2，即b≥﹣4a，由a+b+c＝0，得出b＝﹣a﹣c，從而得到4a≤﹣a﹣c，進一步得到c≤3a，即可判斷④正確．
【解答】解：①∵a+b+c＝0，
∴拋物線經過點（1，0），
∵a＜0，
∴當m≤0時，c＞0，故結論錯誤；
②拋物線經過點（1，0），對稱軸為x＝m，
∴點（1，0）關于直線x＝m的對稱點為（2m﹣1，0），
∴x＝2m﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根，故結論正確；
③a＜0，對稱軸為x＝m，
∴函數的最大值為y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a3+ab+c，
∴am2﹣a3≥ab﹣bm，故結論正確；
④若P（x1，y1），P2（x2，y2）在拋物線上，且當x1＜x2＜2時，y1＜y2，
∴﹣≥2，
∴b≥﹣4a，
∵a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
∴﹣4a≤﹣a﹣c，
∴c≤3a，故結論正確．
故答案為：②③④．
三．解答題（共4小題）
17．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；
（2）當0＜x＜3時，求y的取值范圍．

【分析】（1）把A、B兩點坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法可求得其解析式，再化為頂點式即可求得其頂點坐標；
（2）由解析式可求得其對稱軸，再結合函數的增減性分0＜x＜1和1＜x＜3分別求y的最大值和最小值即可求得y的取值范圍．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，
∴，解得，
∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴頂點坐標為（1，﹣4）；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線開口向上，對稱軸為x＝1，
∴當x＜1時，y隨x的增大而減小，當x＞1時，y隨x的增大而增大，
∴當0＜x＜1時，當x＝0時，y有最大值為﹣3，當x＝1時，y有最小值為﹣4，
當1＜x＜3時，當x＝3時，y有最大值為0，當x＝1時，y有最小值為﹣4，
∴當0＜x＜3時，﹣4≤y＜0．
18．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；
（2）當0＜x＜3時，求y的取值范圍；
（3）點P為拋物線上一點，若S△PAB＝10，求出此時點P的坐標．

【分析】（1）由點A、B的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式，再利用配方法即可求出拋物線頂點坐標；
（2）結合函數圖象以及A、B點的坐標即可得出結論；
（3）設P（x，y），根據三角形的面積公式以及S△PAB＝10，即可算出y的值，代入拋物線解析式即可得出點P的坐標．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分別代入y＝x2+bx+c中，
得：，解得：，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴頂點坐標為（1，﹣4）．
（2）由圖可得當0＜x＜3時，﹣4≤y＜0．
（3）∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB＝4．
設P（x，y），則S△PAB＝AB?|y|＝2|y|＝10，
∴|y|＝5，
∴y＝±5．
①當y＝5時，x2﹣2x﹣3＝5，解得：x1＝﹣2，x2＝4，
此時P點坐標為（﹣2，5）或（4，5）；
②當y＝﹣5時，x2﹣2x﹣3＝﹣5，方程無解；
綜上所述，P點坐標為（﹣2，5）或（4，5）．
19．已知：如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三點．
（1）求拋物線的函數關系式；
（2）求拋物線的頂點坐標、對稱軸；
（3）若過點C的直線與拋物線相交于點E（4，m），請連接CB，BE并求出△CBE的面積S的值．

【分析】（1）設拋物線y＝ax2+bx+c＝a（x﹣1）（x﹣5），把C的坐標代入求出即可；
（2）把拋物線的解析式化成頂點式，求得對稱軸，根據拋物線的性質即可求得x的取值；
（3）求出E的坐標，把C（0，5），E（4，﹣3）代入y＝kx+b得到方程組，求出方程組的解即可得到一次函數的解析式，求出直線與X軸的交點，根據三角形的面積公式求出即可；
【解答】解：（1）∵A（1，0），B（5，0），
設拋物線y＝ax2+bx+c＝a（x﹣1）（x﹣5），
把C（0，5）代入得：5＝a（0﹣1）（0﹣5），
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5，
即拋物線的函數關系式是y＝x2﹣6x+5．
（2）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴拋物線的對稱軸為x＝3，
又∵二次函數y＝x2﹣6x+5的二次項系數為1＞0，
∴拋物線的開口向上，
∴當x≥3時y隨x的增大而增大；
（3）把x＝4代入y＝x2﹣6x+5得：y＝﹣3，
∴E（4，﹣3），
把C（0，5），E（4，﹣3）代入y＝kx+b得：，
解得：k＝﹣2，b＝5，
∴y＝﹣2x+5，
設直線y＝﹣2x+5交x軸于D，
當y＝0時，0＝﹣2x+5，
∴x＝，
∴OD＝，
BD＝5﹣＝，
∴S△CBE＝S△CBD+S△EBD＝××5+××|﹣3|＝10．
20．已知拋物線y＝﹣x2+2x+m．拋物線過點A（3，0）和點C，與y軸交于點B．直線AB與這條拋物線的對稱軸交于點P．
（1）求拋物線的解析式及點B、C的坐標；
（2）求直線AB的解析式和點P的坐標；
（3）在第一象限內的該拋物線有一點D（x，y），且S△ABD＝S△ABC，求點D的坐標．

【分析】（1）根據待定系數法即可求得解析式，令x＝0，求得y的值，即可求得B的坐標，求得對稱軸，根據拋物線的對稱性即可求得C的坐標；
（2）根據待定系數法即可求得直線AB的解析式，把x＝1代入求得的直線解析式即可求得P的坐標；
（3）過D點作DE⊥x軸，交直線AB與E，表示出DE，然后根據三角形內接公式得到關于x的方程，解方程求得x的值，進而求得D的坐標．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+2x+m過點A（3，0），
∴﹣9+6+m＝0，解得m＝3，
∴拋物線為y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，則y＝3，
∴B（0，3），
∵對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴點A（3，0）關于對稱軸的對稱點為（﹣1，0），
∴C（﹣1，0）；
（2）設直線AB的解析式為y＝kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入得，解得，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3，
把x＝1代入y＝﹣x+3得，y＝2，
∴P的坐標為（1，2）；
（3）∵拋物線有一點D（x．y），
∴D（x，﹣x2+2x+3），
過D點作DE⊥x軸，交直線AB與E，
∴E（x，﹣x+3），
∵A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0），
∴S△ABC＝（3+1）×3＝6，
∴S△ABD＝S△ABC＝，
∵S△ABD＝S△ADE+S△BDE，
∴（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3＝，
解得x＝，
∴y＝﹣x2+2x+3＝，
∴D（，），（，）．



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