第11講  平面幾何的向量方法     課程標準課標解讀1.能用向量方法解決簡單的幾何問題.2.能用向量方法解決簡單的幾何應(yīng)用類問題和其他實際問題.3.體會向量在解決幾何在生活中的實際問題中的作用，培養(yǎng)學生的運算、分析和解決實際問題的能力． 1.在系統(tǒng)學習向量知識的基礎(chǔ)上，能用向量方法解決簡單的幾何問題.2.提升學生實際問題中的知識抽象，能用向量方法解決簡單的幾何應(yīng)用類問題和其他實際問題.3.體會向量在解決幾何問題在生活中的實際問題中的作用，培養(yǎng)學生的運算、分析和解決實際問題的能力．  知識點 向量方法解決平面幾何問題的步驟用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題．(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題．(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．   【即學即練1】　已知點A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，則△ABC是(　　)A．等腰三角形   B．等邊三角形C．直角三角形   D．等腰直角三角形       反思感悟 用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路(1)向量的線性運算法的四個步驟：①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；③利用向量的線性運算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；④把計算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問題．(2)向量的坐標運算法的四個步驟：①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?/span>②把相關(guān)向量坐標化；③利用向量的坐標運算找到相應(yīng)關(guān)系；④利用向量關(guān)系回答幾何問題．   考法01 利用向量證明平面幾何問題  【典例1】 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于點E，求BE∶EC.      【變式訓練】在四邊形ABCD中，若＝(1,3)，＝(－6,2)，則該四邊形的面積為(　　)A.  B．2  C．5  D．10      考法02  利用平面向量求幾何中的長度問題 【典例2】在平行四邊形ABCD中，AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長．     反思感悟　用向量法求長度的策略(1)根據(jù)圖形特點選擇基底，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2＝a2求解．(2)建立坐標系，確定相應(yīng)向量的坐標，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝. 【變式訓練】在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，則BC邊上的中線AD的長是(　　)A．2   B.C．3   D.      考法03 平面幾何中的平行(或共線)問題【典例3】如圖，點O是平行四邊形ABCD的中心，E，F分別在邊CD，AB上，且＝＝.求證：點E，O，F在同一直線上．     反思感悟  　(1)利用向量方法可以解決平面幾何中的平行(共線)等問題，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，另一種思路是建立坐標系，求出題目中涉及的向量的坐標．(2)通過用向量方法解決平面幾何問題，培養(yǎng)數(shù)學建模、邏輯推理素養(yǎng)．   題組A  基礎(chǔ)過關(guān)練1．在平面四邊形ABCD中，，，則該四邊形的面積為（    ）A． B． C．13 D．26     2．在中，若，則的形狀是（    ）A．為鈍角的三角形B．為直角的直角三角形C．銳角三角形D．為直角的直角三角形     3．在中，若，則的形狀是（    ）A．∠C為鈍角的三角形 B．∠B為直角的直角三角形C．銳角三角形 D．∠A為直角的直角三角形     4．中,設(shè),若,則的形狀是A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定     5．已知的面積為2,在所在的平面內(nèi)有兩點、,滿足,,則的面積為（    ）A． B． C．1 D．2     6．若,且,則四邊形是A．平行四邊形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形     7．已知向量，向量，則的形狀為(    )A．等腰直角三角形 B．等邊三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形     8．已知是內(nèi)的一點，且，若和的面積分別為，則的最小值是A． B． C． D．      9．已知，且與夾角為鈍角，則的取值范圍___________.     10．已知向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為__________.     11．向量與向量的夾角為鈍角，則的取值集合為__.     12．已知,，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是_____;     13．如圖，正六邊形的邊長為1，______．      14．已知位置向量,,的終點分別為,,,試判斷的形狀.         題組B  能力提升練1．若函數(shù)的圖像按向量平移后，得到函數(shù)的圖像，則向量（    ）A． B． C． D．     2．已知和是平面內(nèi)兩個單位向量，且，若向量滿足，則的最大值是（    ）A． B． C． D．     3．已知點在單位圓上運動，且，若點的坐標為，則的最大值為（    ）A．6 B．7 C．8 D．9     4．以為頂點的三角形是（    ）A．銳角三角形 B．以為直角頂點的直角三角形C．以為直角頂點的直角三角形 D．鈍角三角形     5．在空間四邊形ABCD中， M，G分別是BC， CD的中點，則 （    ）A． B．2 C．3 D．3     6．在中，滿足，是的中點，若是線段上任意一點，且，則的最小值為（　?。?/span>A． B． C． D．     7．已知平面向量，，滿足，且，則的最大值為________．     8．數(shù)學中處處存在著美，機械學家菜洛發(fā)現(xiàn)的菜洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的.已知，點為上一點，則的最小值為______.       9．邊長為4的正三角形，為邊的中點，若在邊上運動（點可與重合），則的最小值為___________.     10．已知O是內(nèi)部一點，且滿足，又，則的面積為______.     11．在中，為中線上的一個動點，若，則的取值范圍是_____．     12．已知向量，，，若，則________；若與的夾角為鈍角，則的取值范圍為_________.         題組C  培優(yōu)拔尖練1．在梯形ABCD中，，，，，若EF在線段AB上運動，且，則的最小值為（    ）A．5 B． C．4 D．     2．已知平面向量滿足，且，則的最小值為（    ）A． B． C． D．     3．（多選）已知向量，設(shè)的夾角為，則（    ）A． B．C． D．     4．（多選）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為1，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則（    ）A．與能構(gòu)成一組基底 B．C．在向量上的投影向量的模為 D．的最大值為     5．已知，，且，則的取值范圍是___________.     6．已知與為相反向量，若，，則，夾角的余弦的最小值為______．     7．若，則的取值范圍是______.      8．向量，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則向量，所成角的余弦值是__；向量，所張成的平行四邊形的面積是__．      9．在△中，已知，，，設(shè)點為邊上一點，點為線段延長線上的一點，且.(1)當且是邊上的中點時，設(shè)與交于點，求線段的長；(2)若，求的最小值.    

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