第2課  平面向量的加法運(yùn)算  課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀  理解并掌握向量加法的概念.  掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運(yùn)用這兩個(gè)法則作兩個(gè)向量的加法運(yùn)算.3.了解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能作圖解釋向量加法運(yùn)算律的合理性．1、通過(guò)閱讀課本在數(shù)量加法的基礎(chǔ)上，理解向量加法與數(shù)量加法的異同.2、熟練運(yùn)用掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運(yùn)用這兩個(gè)法則在題目中靈活的作兩個(gè)向量的加法運(yùn)算.3、.在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，深刻掌握兩個(gè)或者多個(gè)相連接加法的交換律和結(jié)合律，并能作圖解釋向量加法運(yùn)算律的合理性，把運(yùn)算律的應(yīng)用范圍進(jìn)行拓廣.   知識(shí)點(diǎn)01  向量加法的定義及其運(yùn)算法則1．向量加法的定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．2．向量求和的法則向量求和的法則三角形法則已知非零向量a，b，在平面內(nèi)取任意一點(diǎn)A，作＝a，＝b，則向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝.這種求向量和的方法，稱(chēng)為向量加法的三角形法則．對(duì)于零向量與任意向量a，規(guī)定a＋0＝0＋a＝a平行四邊形法則以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b，以OA，OB為鄰邊作?OACB，則以O為起點(diǎn)的向量(OC是?OACB的對(duì)角線)就是向量a與b的和．把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則 位移的合成可以看作向量加法的三角形法則的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的物理模型．【即學(xué)即練1】化簡(jiǎn)等于（    ）A． B． C． D．答案C解析 .故選:C.   知識(shí)點(diǎn)02  向量加法的運(yùn)算律交換律a＋b＝b＋a結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【即學(xué)即練2】[多選]如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計(jì)算正確的是（    ）A． B．C． D．  解析：選ACD　由平行四邊形加法法則可得：，A正確；由三角形加法法則，B錯(cuò)誤；，C正確；，D正確.故選：ACD知識(shí)點(diǎn)03  向量加法的實(shí)際應(yīng)用【即學(xué)即練3】在靜水中船的速度為，水流的速度為，若船沿垂直于水流的方向航行，求船實(shí)際行進(jìn)的方向的正切值(相當(dāng)于與河岸的夾角).答案　答案見(jiàn)解析.解析　如圖所示，表示船速，表示水速，以、為鄰邊作，則表示船實(shí)際航行的方向.所以在中，.所以船實(shí)際行進(jìn)的方向的正切值為.  考法01  向量的加法法則 【典例1】已知在邊長(zhǎng)為2的等邊中，向量，滿足，，則（    ）A．2 B． C． D．3 答案　C解析　如圖所示：設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，由題可知：.故選：C.【變式訓(xùn)練】1．已知是非零向量，則，，，，中，與向量相等的向量的個(gè)數(shù)為（　　）A．5 B．4C．3 D．2答案  A解析  因?yàn)橄蛄康募臃M足交換律和結(jié)合律，所以，，，，都等于，故選：A2．在中，是邊上的點(diǎn)且，若則______．答案  ##解析  因?yàn)樵?/span>中，是邊上的點(diǎn)且，所以，即，所以，，即故答案為：  考法02  相等加法運(yùn)算律的應(yīng)用【典例2】如圖所示，在中，與相交于點(diǎn).(1)用和分別表示和；(2)若，求實(shí)數(shù)和的值.答案  (1)，(2) 解析 （1）由，可得.（2）（2）設(shè)，將代入，則有，即，解得，故，即.【變式訓(xùn)練】1．如圖，正六邊形ABCDEF中，則（    ）A． B． C． D．答案  D解析  由已知，ABCDEF為正六邊形，所以，,所以.故選：D. 2．（多選）在平行四邊形中，點(diǎn)，分別是邊和的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，則有（    ）A． B．C． D．答案  AC解析  如圖所示：對(duì)A，，又，即，故A正確；對(duì)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，設(shè)為與的交點(diǎn)，由題意可得：是的重心，故，，故C正確；對(duì)D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.    題組A  基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．已知平面向量、、，下列結(jié)論中正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則答案    B解析    對(duì)于選項(xiàng)A：若、為非零向量，，但不一定等于，故不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可知、同向，于是可知、共線，即，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若為零向量，，不一定能推出，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，但是兩個(gè)向量方向不一定相同，故不可以推出，故D錯(cuò)誤；故選：B2．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（    ）A．向量與向量長(zhǎng)度相等 B．單位向量都相等C．的長(zhǎng)度為，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)答案    B解析    因?yàn)?/span>，所以和互為相反向量，長(zhǎng)度相等，方向相反，故A選項(xiàng)正確；單位向量長(zhǎng)度都為，但方向不確定，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)零向量的概念，易知C選項(xiàng)正確；向量只與長(zhǎng)度和方向有關(guān)，與位置無(wú)關(guān)，故任一非零向量都可以平行移動(dòng)，故D選項(xiàng)正確；故選：B.3．如圖所示，已知在中，是邊上的中點(diǎn)，則（    ）A． B．C． D．答案    B解析    由于是邊上的中點(diǎn)，則..故選：B.4．中，M，N分別為AC，BC的中點(diǎn)，AN與BM交于點(diǎn)O，下列表達(dá)正確的是（    ）A． B．C． D．答案    D 解析    取中點(diǎn)，連,則點(diǎn)為的重心，，即，故選：D.5．在中，已知為上一點(diǎn)，若，則（    ）A． B． C． D．答案    B解析    因?yàn)?/span>，所以.故選：B.6．若的邊上兩點(diǎn)，滿足，則（    ）A． B．C． D．答案    C解析    若是等邊三角形時(shí)，，故A，B錯(cuò)誤因?yàn)?/span>，所以是的三等分點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)，則也是的中點(diǎn)，所以，，即.故C正確；若，則，，D錯(cuò)誤故選：C 7．（多選）下列說(shuō)法中，正確的是（    ）A．若向量，滿足，與同向，則B．若兩個(gè)非零向量，滿足，則，是互為相反向量C．的充要條件是與重合，與重合D．模為是一個(gè)向量方向不確定的充要條件答案    BD解析    對(duì)A：向量不可比較大小，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：若兩個(gè)非零向量，滿足，則，且方向相反，故，互為相反向量，B正確；對(duì)C：與重合，與重合，故，充分性成立；但，根據(jù)向量可平移性，不一定有與重合，與重合，必要性不滿足，C錯(cuò)誤；對(duì)D：模為的向量是零向量，其方向不確定，故充分性成立；一個(gè)向量方向不確定，是零向量，其模為，必要性成立，即模為是一個(gè)向量方向不確定的充要條件，D正確.故選：BD.8．（多選）下列說(shuō)法中，正確的是（    ）A．模為是一個(gè)向量方向不確定的充要條件B．若向量，滿足，與同向，則C．若兩個(gè)非零向量，滿足，則，是互為相反向量D．的充要條件是與重合，與重合答案    AC解析    解：對(duì)于A，只有零向量的模長(zhǎng)為，且方向是任意的，因?yàn)槟ｉL(zhǎng)為的向量方向是不確定的，所以充分性成立，因?yàn)橐粋€(gè)方向不確定的向量的模長(zhǎng)為，所以必要性成立，故A正確，對(duì)于B，表達(dá)錯(cuò)誤，向量既有大小又有方向，它的模長(zhǎng)可以比較大小，其本身不能比較大小，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由可得，即與模長(zhǎng)相等，方向相反，所以，互為相反向量，故C正確，對(duì)于D，由于向量可以平行移動(dòng)，所以由不一定能得到與重合，與重合，故D錯(cuò)誤，故選：AC． 9．在中，點(diǎn)滿足，則與的面積比為___________．答案    ##解析    取邊的中點(diǎn)，連接，如圖所示，因?yàn)?/span>，即，所以，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.故答案為：10．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，E為中點(diǎn)，若，，，則__________．答案    解析    解：)=．故答案為：.11．向量的和、向量的加法：已知向量和，______________，則向量叫作與的和，記作：____________．求兩個(gè)向量_________的運(yùn)算叫作向量的加法．答案         在平面內(nèi)取任取一點(diǎn)O，作，          和12．在中，是邊上的點(diǎn)且，若則______．答案    ##解析    解：因?yàn)樵?/span>中，是邊上的點(diǎn)且，所以，即，所以，，即故答案為： 題組B  能力提升練 1．若非零向量滿足，則(    )A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?/span>，∴.若與共線，由則中有一個(gè)必為零向量，與不共線，即，.同理知無(wú)法判斷之間的大小關(guān)系.故選：C.2．已知是正三角形，則下列等式中不成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)?/span>，,所以，故正確；對(duì)于B，因?yàn)?/span>,(為中點(diǎn))，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?/span>(為中點(diǎn)),(為中點(diǎn)),所以，故正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，，所以，故正確.故選：B.3．若非零不共線的向量滿足，則（    ）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】                  （2）由非零向量，滿足當(dāng)，不共線時(shí), 可考慮構(gòu)造等腰三角形, 如圖（1）所示, , 則. 在圖（1）中, , 不能比較與的大小; 在圖（2）中, 由, 得, 所以 為的直角三角形. 易知, 由三角形中大角對(duì)大邊, 得.故選：C4． 為非零向量，且，則（    ）A．，且與方向相同 B．是共線向量且方向相反C． D．無(wú)論什么關(guān)系均可【答案】A【詳解】當(dāng)兩個(gè)非零向量不共線時(shí)，的方向與的方向都不相同，且；當(dāng)兩個(gè)非零向量同向時(shí)， 的方向與的方向都相同，且；當(dāng)兩個(gè)非零向量反向時(shí)且，的方向與的方向相同，且，所以對(duì)于非零向量 ，且，則，且與方向相同.故選：A. 5．（多選）下列關(guān)于向量的敘述正確的是（    ）A．向量的相反向量是B．模為1的向量是單位向量，其方向是任意的C．若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，且，則D．若向量與滿足關(guān)系，則與共線【答案】ABD【詳解】解：A向量的相反向量是，正確：B.模為1的向量是單位向量，其方向是任意的，正確：C.若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，且，則，不正確，因?yàn)?/span>與可能方向相反；D.若向量與滿足關(guān)系，∴，則與共線，正確.故選：ABD6．（多選）設(shè)是內(nèi)部（不含邊界）的一點(diǎn)，以下可能成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】對(duì)于A：如下圖所示，可知在內(nèi)部，故成立；對(duì)于B：如下圖所示，可知在外部，故不成立；對(duì)于C：因?yàn)?/span>，如下圖所示，可知在內(nèi)部，故成立；對(duì)于D：因?yàn)?/span>，如下圖所示，可知在外部，故不成立；故選：AC.7．一架救援直升飛機(jī)從地沿北偏東60°方向飛行了40 km到達(dá)地，再由地沿正北方向飛行40 km到達(dá)地，求此時(shí)直升飛機(jī)與地的相對(duì)位置.【答案】直升飛機(jī)位于地北偏東30°方向，且距離地km處【詳解】如圖所示，設(shè)，分別是直升飛機(jī)的位移，則表示兩次位移的合位移，即.在中，.在中，，，即此時(shí)直升飛機(jī)位于地北偏東30°方向，且距離地km處.8．在靜水中船的速度是，水流的速度是.如果船從岸邊出發(fā)，沿垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸，那么船行進(jìn)方向應(yīng)指向何處？實(shí)際航速為多少？【答案】船的航行方向與水流方向成，船的實(shí)際航速為【詳解】解：設(shè)表示水流的速度，表示船實(shí)際航行的速度，表示船行駛的速度，則四邊形為平行四邊形.所以，，因?yàn)?/span>，于是，所以，，故船的航行方向與水流方向成，船的實(shí)際航速為.  題組C  培優(yōu)拔尖練1．如圖，D，E，F分別為的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則（    ）A． B．C． D．答案    A解析    解：，，分別是的邊，，的中點(diǎn)，，，，則，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤；故選：A．2．如圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則（    ）A． B．0 C． D．答案    A解析    連接OB.由正六邊形的性質(zhì)，可知與都是等邊三角形，∴四邊形OABC是平行四邊形，，，故選:A. 3．（多選）在中，設(shè)，，，，則下列等式中成立的是（    ）A． B． C． D．答案    ABD解析    由向量加法的平行四邊形法則，知成立，故也成立；由向量加法的三角形法則，知成立，不成立.故選：ABD4．（多選）設(shè)，是任一非零向量，則在下列結(jié)論中，正確的是（    ）A． B．C． D．答案    AC解析    由題意，，易知A, C正確，B錯(cuò)誤；平面向量不能比較大小，故D錯(cuò)誤.故選：AC. 5．在中，，且，，（其中），且，若，分別為線段，中點(diǎn)，當(dāng)線段取最小值時(shí)________答案              解析    連接,如圖所示：由等腰三角形中，知 所以是的中線， 同理可得 又， 故當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí).故填.6．在一次抗洪搶險(xiǎn)中，某救生艇發(fā)動(dòng)機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動(dòng)，失去動(dòng)力的救生艇在洪水中漂行，此時(shí)，風(fēng)向是北偏東，風(fēng)速是；水的流向是正東方向，流速是，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏東___________，大小是____________．答案           解析  如圖風(fēng)速為風(fēng)速是，即水的流速是，即則救生艇速度大小即為由題可知：四邊形為菱形且所以，且所以救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏東，大小為故答案為：， 7.如圖，小船要從處沿垂直河岸的方向到達(dá)對(duì)岸處，此時(shí)水流的速度為6km/h，測(cè)得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向前行駛，求小船在靜水中速度的大小及方向.答案    小船在靜水中的速度的大小為，方向與水流方向的夾角為，其中，.解析    設(shè)表示小船垂直于河岸行駛的速度，表示水流的速度，如圖：連接BC，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線，兩條直線交于點(diǎn)D，則四邊形ACBD為平行四邊形，所以就是小船在靜水中的速度.在中，，，，，∴小船在靜水中的速度的大小為10 km/h，方向與水流方向的夾角為，其中，.8．一艘船在水中航行，水流速度與船在靜水中航行的速度均為.如果此船實(shí)際向南偏西方向行駛，然后又向西行駛，你知道此船在整個(gè)過(guò)程中的位移嗎?答案    兩次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小為.解析    用表示船的第一次位移，用表示船的第二次位移，根據(jù)向量加法的三角形法則知：，可表示兩次位移的和位移.由題意知，在中，，則，，在等腰中，，，，，兩次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小為.

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