第4課  平面向量的數(shù)乘運(yùn)算  課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.了解向量數(shù)乘的概念.2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算.3.理解并掌握向量共線定理及其判定方法． 1.在熟悉課本知識(shí)的基礎(chǔ)上，了解并充分掌握向量數(shù)乘的概念.2.在掌握向量加減與數(shù)乘定義的基礎(chǔ)上，理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算.3.準(zhǔn)確理解并掌握向量共線定理及其判定方法．   知識(shí)點(diǎn)01  向量數(shù)乘的定義一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)    ，這種運(yùn)算叫做向量的     ，記作λa，其長度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.當(dāng)λ＝－1時(shí)，(－1)a＝－a. 【即學(xué)即練1】　設(shè)，為不共線向量，，，，則下列關(guān)系式中正確的是（     ）A． B． B．C． D．  知識(shí)點(diǎn)02  向量數(shù)乘的運(yùn)算律1．設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，那么(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ a.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特別地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2．向量的線性運(yùn)算向量的  、  、  運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.  【即學(xué)即練2】設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，若向量與的方向相同，則________.   知識(shí)點(diǎn)03  向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.【即學(xué)即練3】已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，滿，，則點(diǎn)依次是的（    ）A．重心，外心 B．內(nèi)心，外心 C．重心，內(nèi)心 D．垂心，外心   答疑解惑　向量共線定理中為什么規(guī)定a≠0?答案　若將條件a≠0去掉，即當(dāng)a＝0時(shí)，顯然a與b共線．(1)若b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.(2)若b＝0，則對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，都有b＝λa.   考法01  向量的線性運(yùn)算 【典例1】(1)若a＝2b＋c，則化簡3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于(　　)A．－a   B．－bC．－c   D．以上都不對(duì) 反思感悟　向量線性運(yùn)算的基本方法(1)類比法：向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項(xiàng)”“公因式”是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．(2)方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過程中多注意觀察，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用運(yùn)算律，簡化運(yùn)算． 【變式訓(xùn)練】若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝________.    考法02  用已知向量表示其他向量【典例2】設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若＝a，＝b，則＝________.(用a，b表示)  反思感悟 用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法(2)方程法當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程． 【變式訓(xùn)練】如圖，在?ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，若＝a，＝b，則等于(　　)A.a－b   B.a＋bC．a＋b   D．a－b    考法03  向量共線的判定及應(yīng)用 【典例3】在△ABC中，若點(diǎn)D滿足＝2，則等于(　　)A.＋   B.－C.－   D.＋   反思感悟(1)證明或判斷三點(diǎn)共線的方法一般來說，要判定A，B，C三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．(2)利用向量共線求參數(shù)的方法已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解． 【變式訓(xùn)練】設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)向量．(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實(shí)數(shù)k的值．         題組A  基礎(chǔ)過關(guān)練2022年12月22日高中數(shù)學(xué)作業(yè)2022.12.15 一、單選題1．如圖，E，F分別是矩形ABCD的邊CD，BC的中點(diǎn)，則（    ）A． B．C． D．     2．在中，點(diǎn)D在BC邊上，，則（    ）A． B． C． D．   3．在△ABC中，，，若，則（    ）A． B． C． D．   4．如圖所示，在中，點(diǎn)是線段上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)， 則（       ）A．  B． C．  D．    5．是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則點(diǎn)必在（    ）A．內(nèi)部 B．在直線上C．在直線上 D．在直線上   6．若，，是任意三個(gè)空間向量，，則下列關(guān)系式中不成立的是（    ）A． B．C． D．   7．在中，D為BC上一點(diǎn).若，則的最小值為（    ）A． B． C． D．   8．已知等邊的邊長為，D為中點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．    9．（多選）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會(huì)現(xiàn)象.如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形圖中的正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，則下列說法正確的是（    ）A． B．C． D．和能構(gòu)成一組基底   10．（多選）莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星（5個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成正五邊形）是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系在如圖所示的正五角星中，，則（    ）A． B．C． D．   ． 11．古代典籍《周易》中的“八卦”思想對(duì)我國的建筑有一定影響．圖1是受“八卦”啟示設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗．在正八邊形中，若，則______．    12．如圖，已知，若，則_________，_________.      題組B  能力提升練 1．已知向量，不共線，若，，，則（    ）A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線C．A，C，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線   2．在中，已知是邊上一點(diǎn)，若，則（    ）A．2 B．１C．-2 D．－1   3．已知中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則“”為“點(diǎn)為重心”（    ）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要   4．已知向量，不共線，且，，若與反向共線，則實(shí)數(shù)λ的值為（　 ）A．1 B．C．1或 D．或   5．已知是平面上的4個(gè)定點(diǎn)，不共線，若點(diǎn)滿足，其中，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（    ）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心   6．設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則（    ）A． B． C． D．    7．已知向量與不共線，且與共線，則___________．   8．在△ABC中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，且滿足AE＝2ED，若，則λ＋μ＝_________．   9．P是梯形ABCD外一點(diǎn)，，則_____．   10．（1）已知，是兩個(gè)不共線的向量，向量，，求（用，表示）.（2）設(shè)，是不共線的兩個(gè)非零向量.若與共線，求實(shí)數(shù)的值.     題組C  培優(yōu)拔尖練 1．點(diǎn)P是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（    ）A． B．3 C． D．   2．已知為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，若滿足則（    ）A． B． C． D．   3．已知中，，，，是的平分線上一點(diǎn)，且.若內(nèi)（不包含邊界）的一點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．   4．設(shè)O是的外心，滿足，，若，則的面積是A．4 B． C．8 D．6    5．在中，為邊上任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且滿足，則的最小值為________.   6．已知向量滿足，則的最大值是_________   7．已知等邊三角形的邊長為1，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，AD、BE相交于點(diǎn)O．有下列命題：①；②若，則；③若，則；④設(shè)M為內(nèi)部(含邊界)任一點(diǎn)，則的最大值是．其中所有真命題的序號(hào)為______．   8．三角形蘊(yùn)涵大量迷人性質(zhì)，例如：若點(diǎn)在內(nèi)部，用分別代表、、的面積，則有．現(xiàn)在假設(shè)銳角三角形頂點(diǎn)所對(duì)的邊長分別為為其垂心，的單位向量分別為，則_________．  

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