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1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a與數(shù)對(x，y)是一一對應(yīng)的，把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，其中a在x軸上的坐標(biāo)是x，a在y軸上的坐標(biāo)是y.3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.4．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共線?x1y2－x2y1＝0.1．若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.2．已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點坐標(biāo)為；已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為.[基礎(chǔ)自測]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底． ( )(2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2. ( )(3)相等向量的坐標(biāo)相同． ( )(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成＝.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于 ( )A．5 B. C. D．13B [因為a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝.]3．如圖，在△ABC中，BE是邊AC的中線，O是邊BE的中點，若＝a，＝b，則＝( )
A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋bD [＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＝a＋b，故選D.]4．(教材改編)已知A(－2，－3)，B(2,1)，C(1,4)，D(－7，t)，若與共線，則t＝________.－4 [＝(4,4)，＝(－8，t－4)，由∥得4(t－4)＝－32，解得t＝－4.]5．(教材改編)已知?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點D的坐標(biāo)為________．(1,5) [設(shè)D(x，y)，則由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即解得]
平面向量基本定理及其應(yīng)用
1．在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是( )A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)B [當(dāng)e1與e2不共線時，可表示a.當(dāng)e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)時，(－1)×(－2)≠5×2，因此e1與e2不共線，故選B.]2．在△ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點，且AP＝AB，BQ＝BC，若＝a，＝b，則＝( )A.a＋b B．－a＋bC.a－b D．－a－bA [由題意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.故選A.]3．如圖，向量a－b等于( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2C．e1－3e2 D．3e1－e2C [根據(jù)向量的減法和加法的三角形法則知a－b＝e1－3e2，故選C.][規(guī)律方法] 平面向量基本定理應(yīng)用的實質(zhì)和一般思路?1?應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.?2?用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.易錯警示：在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便.另外，要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理. 
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
【例1】 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c等于( )A. B.C. D.(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________．(3)平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C(－1，c)，(c＞0)，且||＝2，若＝λ＋μ，則實數(shù)λ＋μ的值為________．(1)D (2)－3 (3)－1 [(1)由已知3c＝－a＋2b＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c＝.(2)由向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，則解得故m－n＝－3.(3)因為||＝2，所以||2＝1＋c2＝4，因為c＞0，所以c＝.因為＝λ＋μ，所以(－1，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)，所以λ＝－1，μ＝，所以λ＋μ＝－1.][規(guī)律方法] 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧?1?利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).?2?解題過程中，常利用“向量相等，則坐標(biāo)相同”這一結(jié)論，由此可列方程?組?進(jìn)行求解.
已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)．[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴解得(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點．∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴＝(9，－18)． 
平面向量共線的坐標(biāo)表示 【例2】 已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)當(dāng)k為何值時，ka－b與a＋2b共線？(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三點共線，求m的值．[解] (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.(2)法一：∵A，B，C三點共線，∴＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴，解得m＝.法二：＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三點共線，∴∥.∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝.[規(guī)律方法] 平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略?1?利用兩向量共線求參數(shù)，如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a＝?x1，y1?，b＝?x2，y2?，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便.?2?利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa?λ∈R?，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量. (1)(2019·沈陽模擬)已知平面向量a＝(1，m)，b＝(－3,1)且(2a＋b)∥b，則實數(shù)m的值為( )A. B．－ C. D．－(2)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k應(yīng)滿足的條件是________．(1)B (2)k≠1 [(1)2a＋b＝(－1,2m＋1)，由題意知－3(2m＋1)＝－1，解得m＝－，故選B.(2)若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則向量，不共線．因為＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.]
1．(2015·全國卷Ⅰ)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝( )A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)A [法一：設(shè)C(x，y)，則＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以從而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故選A.法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故選A.]2．(2016·全國卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________.－6 [∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.]
3．(2018·全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________. [由題意得2a＋b＝(4,2)，因為c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝.]
這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案 第8章_第7節(jié)_拋物線（含答案解析），共11頁。
這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案 第8章_第6節(jié)_雙曲線（含答案解析），共9頁。
這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案 第8章_第5節(jié)_橢圓（含答案解析），共10頁。
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