高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第4章_第1節(jié)_平面向量的概念及線性運(yùn)算（含答案解析）-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)．
(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．
2．向量的線性運(yùn)算
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.
eq \([常用結(jié)論])
1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點(diǎn)指向最后一個向量終點(diǎn)的向量，即eq \(A1A2,\s\up8(→))＋eq \(A2A3,\s\up8(→))＋eq \(A3A4,\s\up8(→))＋…＋An－1An＝eq \(A1An,\s\up8(→))，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．
2．若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則eq \(OP,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→)))．
3.eq \(OA,\s\up8(→))＝xeq \(OB,\s\up8(→))＋yeq \(OC,\s\up8(→))(x，y為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線，則x＋y＝1.
4．△ABC中，eq \(PA,\s\up8(→))＋eq \(PB,\s\up8(→))＋eq \(PC,\s\up8(→))＝0?點(diǎn)P為△ABC的重心．
[基礎(chǔ)自測]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．( )
(2)若a∥b，b∥c，則a∥c.( )
(3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要條件．( )
(4)△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，則eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→)))．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改編)如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的是( )
A.eq \(EF,\s\up8(→))＝eq \(CD,\s\up8(→)) B.eq \(AB,\s\up8(→))與eq \(DE,\s\up8(→))共線
C.eq \(BD,\s\up8(→))與eq \(CD,\s\up8(→))是相反向量 D.eq \(AE,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up8(→))|
D [選項(xiàng)D中，eq \(AE,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up8(→))，故D錯誤．]
3．對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
A [由a＋b＝0得a＝－b，根據(jù)向量共線定理知a∥b，但a∥bD?/a＋b＝0，故選A.]
4．(教材改編)如圖，?ABCD的對角線交于M，若eq \(AB,\s\up8(→))＝a，eq \(AD,\s\up8(→))＝b，用a，b表示eq \(MD,\s\up8(→))為( )
A.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b B.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b
C．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b D．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b
D [eq \(MD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up8(→))－\(AB,\s\up8(→))))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－a))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，故選D.]
5．(教材改編)化簡：
(1)(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(MB,\s\up8(→)))＋eq \(BO,\s\up8(→))＋eq \(OM,\s\up8(→))＝________.
(2)eq \(NQ,\s\up8(→))＋eq \(QP,\s\up8(→))＋eq \(MN,\s\up8(→))－eq \(MP,\s\up8(→))＝________.
(1)eq \(AB,\s\up8(→)) (2)0 [(1)原式＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BO,\s\up8(→))＋eq \(OM,\s\up8(→))＋eq \(MB,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→)).
(2)原式＝eq \(NP,\s\up8(→))＋eq \(PN,\s\up8(→))＝0.]
1．給出下列命題：
①若兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；
②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(DC,\s\up8(→))，則ABCD為平行四邊形；
③a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；
④已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．
其中正確命題的個數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A [①是錯誤的，兩個向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)．
②是正確的，因?yàn)閑q \(AB,\s\up8(→))＝eq \(DC,\s\up8(→))，所以|eq \(AB,\s\up8(→))|＝|eq \(DC,\s\up8(→))|且eq \(AB,\s\up8(→))∥eq \(DC,\s\up8(→))；又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形．
③是錯誤的，當(dāng)a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．
④是錯誤的，當(dāng)λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線．]
2．設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
D [向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3.]
[規(guī)律方法] 辨析向量有關(guān)概念的五個關(guān)鍵點(diǎn)
?1?向量定義的關(guān)鍵是方向和長度.
?2?非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制.
?3?相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等.
?4?單位向量是長度都是一個單位長度的向量.,?5?零向量的關(guān)鍵是方向沒有限制，長度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線.
【例1】 (1)在四邊形ABCD中，eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→))，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F，則( )
A.eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up8(→)) B.eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up8(→))
C.eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up8(→)) D.eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up8(→))
(2)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC.若eq \(DE,\s\up8(→))＝λ1eq \(AB,\s\up8(→))＋λ2eq \(AC,\s\up8(→))(λ1、λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．
(1)B (2)eq \f(1,2) [(1)在四邊形ABCD中，如圖所示，因?yàn)閑q \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→))，所以四邊形ABCD為平行四邊形．由已知得eq \(DE,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(EB,\s\up8(→))，由題意知△DEF∽△BEA，則eq \(DF,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up8(→))，所以eq \(CF,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OD,\s\up8(→))－\(OC,\s\up8(→))))＝eq \f(2,3)×eq \f(\(BD,\s\up8(→))－\(AC,\s\up8(→)),2)＝eq \f(\(BD,\s\up8(→))－\(AC,\s\up8(→)),3)，所以eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(CF,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(\(BD,\s\up8(→))－\(AC,\s\up8(→)),3)＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up8(→))，故選B.
(2)eq \(DE,\s\up8(→))＝eq \(DB,\s\up8(→))＋eq \(BE,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)(eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→)))＝－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up8(→))，所以λ1＝－eq \f(1,6)，λ2＝eq \f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq \f(1,2).]
[規(guī)律方法] 向量的線性運(yùn)算的求解方法
(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來求解．
(2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解．
(1)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq \(BC,\s\up8(→))＝3eq \(CD,\s\up8(→))，則( )
A.eq \(AD,\s\up8(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up8(→)) B.eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up8(→))－eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up8(→))
C.eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→)) D.eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up8(→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→))
(2)在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足eq \(AM,\s\up8(→))＝2eq \(MC,\s\up8(→))，eq \(BN,\s\up8(→))＝eq \(NC,\s\up8(→)).若eq \(MN,\s\up8(→))＝xeq \(AB,\s\up8(→))＋yeq \(AC,\s\up8(→))，則x＝________；y＝________.
(1)A (2)eq \f(1,2) －eq \f(1,6) [(1)因?yàn)閑q \(BC,\s\up8(→))＝3eq \(CD,\s\up8(→))，
所以eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up8(→))，
所以eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→)))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up8(→)).故選A.
(2)由題中條件得，eq \(MN,\s\up8(→))＝eq \(MC,\s\up8(→))＋eq \(CN,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))－eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up8(→))＝xeq \(AB,\s\up8(→))＋yeq \(AC,\s\up8(→))，所以x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,6).]
【例2】設(shè)兩個非零向量a與b不共線，
(1)若eq \(AB,\s\up8(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up8(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up8(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；
(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．
[解] (1)證明：∵eq \(AB,\s\up8(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up8(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up8(→))＝3(a－b)，
∴eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up8(→)).
∴eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(BD,\s\up8(→))共線，又∵它們有公共點(diǎn)B，
∴A，B，D三點(diǎn)共線．
(2)∵ka＋b和a＋kb共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是兩個不共線的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
[規(guī)律方法] 共線向量定理的3個應(yīng)用
(1)證明向量共線：對于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb(b≠0)，則a與b共線．
(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使eq \(AB,\s\up8(→))＝λeq \(AC,\s\up8(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線．
(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．
易錯警示：證明三點(diǎn)共線時，需說明共線的兩向量有公共點(diǎn)．
(1)已知向量eq \(AB,\s\up8(→))＝a＋3b，eq \(BC,\s\up8(→))＝5a＋3b，eq \(CD,\s\up8(→))＝－3a＋3b，則( )
A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線
C．A，C，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線
(2)(2019·黃山模擬)已知向量a，b是兩個不共線的向量，若向量m＝4a＋b與n＝a－λb共線，則實(shí)數(shù)λ的值為( )
A．－4 B．－eq \f(1,4) C.eq \f(1,4) D．4
(1)B (2)B [(1)∵eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2eq \(AB,\s\up8(→))，∴eq \(BD,\s\up8(→))，eq \(AB,\s\up8(→))共線，又有公共點(diǎn)B，
∴A，B，D三點(diǎn)共線．故選B.
(2)由題意知m＝kn，即4a＋b＝k(a－λb)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝4，,－kλ＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝4，,λ＝－\f(1,4)，))故選B.]
1．(2018·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則eq \(EB,\s\up8(→))＝( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up8(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up8(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up8(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up8(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up8(→)) D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up8(→))
A [由題可得eq \(EB,\s\up8(→))＝eq \(EA,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→))＝－eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→)))＋eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up8(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up8(→))，故選A.]
2．(2014·全國卷Ⅰ)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq \(EB,\s\up8(→))＋eq \(FC,\s\up8(→))＝( )
A.eq \(BC,\s\up8(→)) B.eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))
C.eq \(AD,\s\up8(→)) D.eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up8(→))
C [如圖，eq \(EB,\s\up8(→))＋eq \(FC,\s\up8(→))＝eq \(EC,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→))＋eq \(FB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))
＝eq \(EC,\s\up8(→))＋eq \(FB,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→)))
＝eq \f(1,2)·2eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→)).]
3．(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________.
eq \f(1,2) [∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，
即λa＋b＝ta＋2tb，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))]向量運(yùn)算
定義
法則
(或幾何意義)
運(yùn)算律
加法
求兩個向量和的運(yùn)算
三角形法則
平行四邊形法則
(1)交換律：
a＋b＝b＋a；
(2)結(jié)合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差
三角形法則
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ

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