1．數(shù)列的定義
按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．
2．數(shù)列的分類
3.數(shù)列的表示法
數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法．
4．數(shù)列的通項公式
如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．
5．數(shù)列的遞推公式
如果已知數(shù)列的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．
6．a(chǎn)n與Sn的關(guān)系
若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，
則an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1?n＝1?，,Sn－Sn－1?n≥2?.))
eq \([常用結(jié)論])
1．數(shù)列{an}是遞增數(shù)列?an＋1＞an恒成立．
2．數(shù)列{an}是遞減數(shù)列?an＋1＜an恒成立．
[基礎(chǔ)自測]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達．( )
(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個．( )
(3)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對?n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
(4)若已知數(shù)列{an}的遞推公式為an＋1＝eq \f(1,2an－1)，且a2＝1，則可以寫出數(shù)列{an}的任何一項．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．(教材改編)數(shù)列－1，eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，－eq \f(1,5)，…的一個通項公式為( )
A．a(chǎn)n＝±eq \f(1,n) B．a(chǎn)n＝(－1)n·eq \f(1,n)
C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1eq \f(1,n) D．a(chǎn)n＝eq \f(1,n)
B [由a1＝－1，代入檢驗可知選B.]
3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為( )
A．15 B．16 C．49 D．64
A [當n＝8時，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]
4．把3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為以這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形(如圖所示)．
則第6個三角形數(shù)是( )
A．27 B．28 C．29 D．30
B [由題圖可知，第6個三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]
5．(教材改編)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq \f(?－1?n,an－1)(n≥2)，則a5＝( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,3) C.eq \f(8,5) D.eq \f(2,3)
D [a2＝1＋eq \f(1,a1)＝2，a3＝1＋eq \f(－1,a2)＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，a4＝1＋eq \f(1,a3)＝1＋2＝3，a5＝1＋eq \f(－1,a4)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).]
1．數(shù)列0，eq \f(2,3)，eq \f(4,5)，eq \f(6,7)，…的一個通項公式為( )
A．a(chǎn)n＝eq \f(n－1,n＋1)(n∈N*)
B．a(chǎn)n＝eq \f(n－1,2n＋1)(n∈N*)
C．a(chǎn)n＝eq \f(2?n－1?,2n－1)(n∈N*)
D．a(chǎn)n＝eq \f(2n,2n＋1)(n∈N*)
C [注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù)，對照選項排除即可．]
2．數(shù)列{an}的前4項是eq \f(3,2)，1，eq \f(7,10)，eq \f(9,17)，則這個數(shù)列的一個通項公式是an＝__________.
eq \f(2n＋1,n2＋1) [數(shù)列{an}的前4項可變形為eq \f(2×1＋1,12＋1)，eq \f(2×2＋1,22＋1)，eq \f(2×3＋1,32＋1)，eq \f(2×4＋1,42＋1)，故an＝eq \f(2n＋1,n2＋1).]
3．寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：
(1)3,5,7,9，…；
(2)eq \f(1,2)，－eq \f(3,4)，eq \f(7,8)，－eq \f(15,16)，eq \f(31,32)，…；
(3)3,33,333,3 333，…；
(4)－1,1，－2,2，－3,3….
[解] (1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1.
(2)數(shù)列中各項的符號可通過(－1)n＋1表示．每一項絕對值的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…，
所以an＝(－1)n＋1eq \f(2n－1,2n).
(3)將數(shù)列各項改寫為eq \f(9,3)，eq \f(99,3)，eq \f(999,3)，eq \f(9 999,3)，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…，
所以an＝eq \f(1,3)(10n－1)．
(4)數(shù)列的奇數(shù)項為－1，－2，－3，…可用－eq \f(n＋1,2)表示，
數(shù)列的偶數(shù)項為1,2,3，…可用eq \f(n,2)表示．
因此an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(n＋1,2)?n為奇數(shù)?，,\f(n,2)?n為偶數(shù)?.))
[規(guī)律方法] 由前幾項歸納數(shù)列通項的常用方法及具體策略
?1?常用方法：觀察?觀察規(guī)律?、比較?比較已知數(shù)列?、歸納、轉(zhuǎn)化?轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列?、聯(lián)想?聯(lián)想常見的數(shù)列?等方法.
?2?具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對值特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用?－1?k或?－1?k＋1，k∈N*處理.
【例1】 (1)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.
(2)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3)，則{an}的通項公式an＝________.
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,6n－5，n≥2)) (2)(－2)n－1 [(1)當n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
當n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當n＝1時，不滿足上式．
故數(shù)列的通項公式為an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))
(2)由Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3)，得當n≥2時，Sn－1＝eq \f(2,3)an－1＋eq \f(1,3)，
兩式相減，得an＝eq \f(2,3)an－eq \f(2,3)an－1，
∴當n≥2時，an＝－2an－1，即eq \f(an,an－1)＝－2.
又n＝1時，S1＝a1＝eq \f(2,3)a1＋eq \f(1,3)，a1＝1，
∴an＝(－2)n－1.]
[規(guī)律方法] 1.已知Sn求an的三個步驟,?1?先利用a1＝S1求出a1；
?2?用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1?n≥2?便可求出當n≥2時an的表達式；
?3?注意檢驗n＝1時的表達式是否可以與n≥2的表達式合并.
2.Sn與an關(guān)系問題的求解思路,根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化.
?1?利用an＝Sn－Sn－1?n≥2?轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；
?2?利用Sn－Sn－1＝an?n≥2?轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.
(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n＋1，則數(shù)列的通項公式an＝________.
(2)在數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列的通項公式an＝________.
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2)) (2)－2n－1 [(1)當n＝1時，a1＝S1＝3＋1＝4，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.
顯然當n＝1時，不滿足上式．
∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2.))
(2)依題意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，兩式相減得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以數(shù)列{an}是以a1＝－1為首項、2為公比的等比數(shù)列，an＝－2n－1.]
?考法1 形如an＋1＝an＋f(n)，求an
【例2】 在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式．
[解] (1)∵an＋1－an＝3n＋2，
∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝eq \f(n?3n＋1?,2)(n≥2)．
當n＝1時，a1＝eq \f(1,2)×(3×1＋1)＝2符合公式，
∴an＝eq \f(3,2)n2＋eq \f(n,2).
?考法2 形如an＋1＝anf(n)，求an
【例3】 已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2nan，求數(shù)列{an}的通項公式．
[解] ∵an＋1＝2nan，∴eq \f(an＋1,an)＝2n，∴eq \f(an,an－1)＝2n－1(n≥2)，
∴an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1
＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)
＝2eq \f(n?n－1?,2).
又a1＝1適合上式，故an＝.
?考法3 形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.
【例4】 已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求數(shù)列{an}的通項公式．
[解] ∵an＋1＝3an＋2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＝1，∴a1＋1＝2，
故數(shù)列{an＋1}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，
∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1.
[規(guī)律方法] 由遞推關(guān)系式求通項公式的常用方法
?1?已知a1且an－an－1＝f?n?，可用“累加法”求an，即an＝?an－an－1?＋?an－1－an－2?＋…＋?a3－a2?＋?a2－a1?＋a1.
?2?已知a1且＝f?n?，可用“累乘法”求an，即an＝·…··a1.
?3?已知a1且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q?an＋k??其中k可由待定系數(shù)法確定?，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列{an＋k}.
?4?形如an＋1＝?A，B，C為常數(shù)?的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.
根據(jù)下列條件，求數(shù)列{an}的通項公式．
(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n；
(2)a1＝eq \f(1,2)，an＝eq \f(n－1,n＋1)an－1(n≥2)；
(3)a1＝1，an＋1＝2an＋3；
(4)a1＝1，an＋1＝eq \f(2an,an＋2).
[解] (1)由題意知an＋1－an＝2n，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1.
(2)因為an＝eq \f(n－1,n＋1)an－1(n≥2)，
所以當n≥2時，eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n＋1)，
所以eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n＋1)，eq \f(an－1,an－2)＝eq \f(n－2,n)，…，eq \f(a3,a2)＝eq \f(2,4)，eq \f(a2,a1)＝eq \f(1,3)，
以上n－1個式子相乘得eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a3,a2)·eq \f(a2,a1)＝eq \f(n－1,n＋1)·eq \f(n－2,n)·…·eq \f(2,4)·eq \f(1,3)，
即eq \f(an,a1)＝eq \f(1,n＋1)×eq \f(1,n)×2×1，所以an＝eq \f(1,n?n＋1?).
當n＝1時，a1＝eq \f(1,1×2)＝eq \f(1,2)，與已知a1＝eq \f(1,2)相符，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq \f(1,n?n＋1?).
(3)由an＋1＝2an＋3得an＋1＋3＝2(an＋3)．
又a1＝1，∴a1＋3＝4.
故數(shù)列{an＋3}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，
∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
(4)因為an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，a1＝1，所以an≠0，
所以eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,2)，即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2).
又a1＝1，則eq \f(1,a1)＝1，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以1為首項，eq \f(1,2)為公差的等差數(shù)列．
所以eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(n,2)＋eq \f(1,2).所以an＝eq \f(2,n＋1)(n∈N*).
1．(2014·全國卷Ⅱ)數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq \f(1,1－an)，a8＝2，則a1＝________.
eq \f(1,2) [∵an＋1＝eq \f(1,1－an)，
∴an＋1＝eq \f(1,1－an)＝eq \f(1,1－\f(1,1－an－1))＝eq \f(1－an－1,1－an－1－1)
＝eq \f(1－an－1,－an－1)＝1－eq \f(1,an－1)
＝1－eq \f(1,\f(1,1－an－2))＝1－(1－an－2)＝an－2，
∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.
∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.
而a2＝eq \f(1,1－a1)，∴a1＝eq \f(1,2).]
2．(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________.
－eq \f(1,n) [∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
∵Sn≠0，∴eq \f(1,Sn)－eq \f(1,Sn＋1)＝1，即eq \f(1,Sn＋1)－eq \f(1,Sn)＝－1.
又eq \f(1,S1)＝－1，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是首項為－1，公差為－1的等差數(shù)列．
∴eq \f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－eq \f(1,n).]
3．(2016·全國卷Ⅲ)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，aeq \\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通項公式．
[解] (1)由題意可得a2＝eq \f(1,2)，a3＝eq \f(1,4).
(2)由aeq \\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因為{an}的各項都為正數(shù)，所以eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2).
故{an}是首項為1，公比為eq \f(1,2)的等比數(shù)列，因此an＝eq \f(1,2n－1).分類標準
類型
滿足條件
項數(shù)
有窮數(shù)列
項數(shù)有限
無窮數(shù)列
項數(shù)無限
單調(diào)性
遞增數(shù)列
an＋1>an
an＋1

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