?2.4 單擺
基礎(chǔ)知識(shí)梳理

一、單擺及單擺的回復(fù)力
1.單擺
(1)如果細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長(zhǎng)度相比也可以忽略，這樣的裝置就叫做 .單擺是實(shí)際擺的理想化模型.
(2)單擺的平衡位置：擺球 時(shí)所在的位置.
2.單擺的回復(fù)力
(1)回復(fù)力的來(lái)源：如圖所示，擺球的重力沿圓弧 方向的分力提供回復(fù)力.

(2)回復(fù)力的特點(diǎn)：在偏角很小時(shí)，sin θ≈ ，所以單擺的回復(fù)力為F＝ ，即小球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成 ，方向總是指向 位置，單擺的運(yùn)動(dòng)可看成是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).
二、單擺的周期
1.單擺振動(dòng)的周期與擺球 無(wú)關(guān)，在振幅較小時(shí)與 無(wú)關(guān)，但與 有關(guān)，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期越長(zhǎng).
2.單擺的周期公式T＝ .
典型例題分析

考點(diǎn)一：?jiǎn)螖[的回復(fù)力
【例1】關(guān)于單擺，下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．?dāng)[球受到的回復(fù)力是它所受的合力
B．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，所受的合力不為零
C．?dāng)[球的回復(fù)力等于重力和擺線拉力的合力
D．?dāng)[球在任意位置處，回復(fù)力都不等于重力和擺線拉力的合力
【變式練習(xí)】
1．關(guān)于單擺的振動(dòng)，以下說(shuō)法正確的是（????）
A．?dāng)[球擺到最高點(diǎn)時(shí)，所受合外力為零
B．?dāng)[球擺到最高點(diǎn)時(shí)，所受合外力指向懸點(diǎn)
C．?dāng)[球擺到最低點(diǎn)時(shí)，所受合外力指向懸點(diǎn)
D．?dāng)[球擺到最低點(diǎn)時(shí)，所受合外力為零
2．單擺振動(dòng)時(shí)的回復(fù)力是（　?。?br /> A．懸線對(duì)擺球的拉力
B．?dāng)[球所受重力沿圓弧切線方向的分力
C．?dāng)[球所受的重力
D．?dāng)[球所受重力和懸線對(duì)擺球拉力的合力
考點(diǎn)二：分析單擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度、加速度和位移的變化
【例2】關(guān)于單擺，下列說(shuō)法中正確的是（　?。?br /> A．單擺擺球的回復(fù)力指向平衡位置
B．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)加速度為零
C．?dāng)[球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，所受合力等于零
D．?dāng)[角很小時(shí)，擺球所受合力的大小跟擺球相對(duì)平衡位置的位移大小成正比
【變式練習(xí)】
1．一單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在偏角增大的過(guò)程中，擺球的（　　）
A．位移不變 B．速度增大 C．回復(fù)力增大 D．機(jī)械能增大
2．關(guān)于單擺擺球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的受力，下列結(jié)論中正確的是（　?。?br /> A．?dāng)[球受重力、擺線的拉力、回復(fù)力、向心力的作用
B．?dāng)[球的回復(fù)力最大時(shí)，向心力為零；回復(fù)力為零時(shí)，向心力最大
C．?dāng)[球的回復(fù)力最大時(shí)，擺線中的拉力大小比擺球的重力大
D．?dāng)[球的向心力最大時(shí)，擺球的加速度方向沿?cái)[球的運(yùn)動(dòng)方向
考點(diǎn)三：影響單擺周期的因素、單擺周期公式
【例3】小球（半徑很小可忽略）在光滑的圓槽內(nèi)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，為了使振動(dòng)周期變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，可采取的方法是（　?。?br />
A．將小球質(zhì)量減為原來(lái)的一半 B．將其振幅變?yōu)樵瓉?lái)的2倍
C．將圓槽半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍 D．將圓槽半徑變?yōu)樵瓉?lái)的4倍
【變式練習(xí)】
1．如圖所示，置于地面上的一單擺在小振幅條件下擺動(dòng)的周期為T0，下列說(shuō)法中正確的是（　?。?br />
A．單擺擺動(dòng)過(guò)程，繩子的拉力始終大于擺球的重力
B．單擺擺動(dòng)過(guò)程，繩子的拉力始終小于擺球的重力
C．將該單擺置于高空中相對(duì)于地球靜止的氣球中，其擺動(dòng)周期為T> T0
D．小球所受重力和繩的拉力的合力提供單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力
2．在擺角很小的情況下，單擺的擺動(dòng)可近似認(rèn)為是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．單擺的周期與擺長(zhǎng)成正比
B．單擺的擺球在擺動(dòng)過(guò)程中受到的回復(fù)力方向總是指向平衡位置
C．單擺的擺球從平衡位置出發(fā)到再次回到平衡位置的時(shí)間為一個(gè)周期
D．單擺的擺球從最高點(diǎn)回到平衡位置的過(guò)程中，擺球的切向加速度逐漸增大
方法探究

一、單擺的回復(fù)力
1.單擺向心力來(lái)源：細(xì)線拉力和重力沿徑向的分力的合力.
2.單擺回復(fù)力來(lái)源：重力沿圓弧切線方向的分力F＝mgsin θ提供使擺球振動(dòng)的回復(fù)力.
3.回復(fù)力的大?。涸谄呛苄r(shí)，擺球的回復(fù)力滿足F＝－kx，此時(shí)擺球的運(yùn)動(dòng)可看成是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).
二、單擺的周期
1.伽利略發(fā)現(xiàn)了單擺運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，惠更斯得出了單擺的周期公式并發(fā)明了擺鐘.
2.單擺的周期公式：T＝2π.
3.對(duì)周期公式的理解
(1)單擺的周期公式在單擺偏角很小時(shí)成立(偏角為5°時(shí)，由周期公式算出的周期和準(zhǔn)確值相差0.01%).
(2)公式中l(wèi)是擺長(zhǎng)，即懸點(diǎn)到擺球球心的距離l＝l線＋r球.
(3)公式中g(shù)是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定.
(4)周期T只與l和g有關(guān)，與擺球質(zhì)量m及振幅無(wú)關(guān)，所以單擺的周期也叫固有周期.
課后小練

一、單選題
1．關(guān)于單擺，下列說(shuō)法中正確的是（　　）
A．?dāng)[球運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是它重力沿切線方向上的分力
B．?dāng)[球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中加速度的方向始終指向平衡位置
C．?dāng)[球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)軌跡上的同一點(diǎn)，加速度是改變的
D．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，加速度為零
2．了解物理規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，學(xué)會(huì)像科學(xué)家那樣去觀察和思考，往往比掌握知識(shí)本身更重要。以下說(shuō)法中符合歷史事實(shí)的是（　　）
A．開普勒通過(guò)對(duì)行星觀測(cè)記錄的研究，得出了行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道為橢圓
B．伽利略首先引入了瞬時(shí)速度、加速度的概念，麥克斯韋第一次提出了電場(chǎng)的概念
C．富蘭克林命名了正電荷和負(fù)電荷，同時(shí)還測(cè)定了元電荷的電量
D．牛頓發(fā)現(xiàn)了單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式，并得出了周期與振幅、擺球質(zhì)量無(wú)關(guān)
3．如圖所示為同一地點(diǎn)的兩單擺甲、乙的振動(dòng)圖像，下列說(shuō)法不正確的是（　　）

A．甲擺的振幅比乙擺大，甲的擺長(zhǎng)大于乙的擺長(zhǎng)
B．甲擺的周期等于乙擺的周期
C．在時(shí)甲擺正經(jīng)過(guò)平衡位置向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)
D．在時(shí)乙的速率大于甲的速率
4．為使簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)單擺的周期變長(zhǎng)，可采取以下哪種方法（????）
A．振幅適當(dāng)加大 B．?dāng)[長(zhǎng)適當(dāng)加長(zhǎng)
C．?dāng)[球質(zhì)量增大 D．將單擺從上海移到北京
5．如圖所示為一單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度隨時(shí)間變化的圖像，不考慮空氣阻力的影響，下列說(shuō)法正確的是（　?。?br />
A．此單擺的擺長(zhǎng)約為1m
B．t=1s時(shí)單擺的回復(fù)力為零
C．若減小釋放單擺時(shí)的擺角，單擺的周期變小
D．將此單擺從赤道移至北極，單擺的周期變大
6．惠更斯利用擺的等時(shí)性發(fā)明了帶擺的計(jì)時(shí)器，叫擺鐘。擺鐘運(yùn)行時(shí)克服摩擦所需的能量由重錘勢(shì)能提供，運(yùn)動(dòng)的速率由鐘擺控制。旋轉(zhuǎn)鐘擺下端的螺母可以使擺上的圓盤沿?cái)[桿上下移動(dòng)，如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（???）

A．當(dāng)擺鐘不準(zhǔn)時(shí)需要調(diào)整圓盤的上、下位置
B．?dāng)[鐘快了應(yīng)使圓盤沿?cái)[桿上移
C．由冬季變?yōu)橄募緯r(shí)應(yīng)使圓盤沿?cái)[桿下移
D．把擺鐘從廣州移到北京應(yīng)使圓盤沿?cái)[桿上移
7．某同學(xué)在山頂找到一塊密度較大、體積較小、形狀不規(guī)則的石塊，用細(xì)線系住石塊使其在豎直平面內(nèi)小角度擺動(dòng)，測(cè)量石塊擺動(dòng)的周期和對(duì)應(yīng)的細(xì)線長(zhǎng)度，改變細(xì)線的長(zhǎng)度，得到多組周期的平方和對(duì)應(yīng)的細(xì)線長(zhǎng)度，描點(diǎn)得到如圖所示的圖像，則山頂?shù)闹亓铀俣却笮∽罱咏ā　。?br />
A． B．
C． D．
8．甲、乙兩位同學(xué)分別使用圖甲中所示的同一套裝置，觀察單擺做運(yùn)動(dòng)時(shí)的振動(dòng)圖像。已知兩人實(shí)驗(yàn)時(shí)所用的擺長(zhǎng)相同，落在同一木板上的細(xì)砂分別形成的曲線如圖乙中N1、N2所示。下列關(guān)于兩圖線相關(guān)的分析正確的是（　?。?br />
A．N1表示砂擺振動(dòng)的幅度較大，N2表示砂擺振動(dòng)的幅度較小
B．N1與N2振動(dòng)的周期相同
C．N1對(duì)應(yīng)的木板運(yùn)動(dòng)速度比N2對(duì)應(yīng)的木板運(yùn)動(dòng)速度小
D．N1對(duì)應(yīng)的砂擺擺到最低點(diǎn)時(shí)，擺線的拉力比N2對(duì)應(yīng)的拉力大
二、多選題
9．一單擺的擺動(dòng)角度小于5°，其振動(dòng)圖像如圖所示，g取。下列說(shuō)法正確的是（　?。?br />
A．、時(shí)刻擺球加速度相同
B．t=0.8s時(shí)擺球的速度為零
C．單擺的振動(dòng)周期為0.8s
D．單擺的擺長(zhǎng)約為64cm
10．同一地點(diǎn)，兩個(gè)單擺的振動(dòng)圖像如圖所示，則（　　）

A．甲、乙兩個(gè)擺球的質(zhì)量之比為1：2
B．甲、乙兩個(gè)擺的擺長(zhǎng)之比為1：4
C．甲、乙兩個(gè)擺的周期之比為1：2
D．甲、乙兩個(gè)擺的振幅之比為1：2
11．關(guān)于機(jī)械振動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體其振動(dòng)能量與振幅有關(guān)
B．做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在平衡位置所受到的合外力一定為零
C．做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過(guò)同一位置時(shí)的位移和加速度一定相等
D．做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的單擺的振幅越大，周期越大
12．將一測(cè)力傳感器連接到計(jì)算機(jī)上就可以測(cè)量快速變化的力，如圖（a）所示點(diǎn)為單擺的懸點(diǎn)，將傳感器接在擺線與點(diǎn)之間，現(xiàn)將小球拉到點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，則擺球在豎直平分內(nèi)的之間來(lái)回?cái)[動(dòng)，其中點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)最低位置，擺角小于5°且是未知量。如圖（b）所示是由于計(jì)算得到細(xì)線對(duì)擺球的拉力大小隨時(shí)間變化的圖像，且圖中時(shí)刻為擺球從點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻，據(jù)圖中和題中信息（取），下列說(shuō)法中正確的有（????）

A．該單擺的周期為
B．該單擺的擺長(zhǎng)為
C．增大擺球質(zhì)量，周期將變大
D．?dāng)[球質(zhì)量與拉力最值的關(guān)系可表示為
三、解答題
13．如圖所示，使漏斗在一個(gè)固定的豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，沿垂直于該平面的方向勻速拉動(dòng)薄板，觀察從擺動(dòng)的漏斗中漏出的細(xì)沙在板上形成的曲線，并思考以下問(wèn)題。
（1）不拉動(dòng)木板時(shí)，讓沙擺擺動(dòng)起來(lái)，細(xì)沙的分布特點(diǎn)是直線還是曲線？?jī)蛇叺纳匙佣噙€是中間的沙子多？說(shuō)明了什么？
（2）勻速拉動(dòng)木板時(shí)，落在薄板上細(xì)沙的位置和各時(shí)刻擺球（漏斗）的位置有什么關(guān)系？
（3）細(xì)沙在薄板上形成什么形狀的曲線？有什么意義？
（4）為什么要?jiǎng)蛩倮瓌?dòng)木板？

14．如圖甲所示，O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，將力傳感器接在擺球與O點(diǎn)之間。時(shí)刻在A點(diǎn)釋放擺球，擺球在豎直面內(nèi)的A、C之間來(lái)回?cái)[動(dòng)，其中B點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低位置。圖乙為細(xì)線對(duì)擺球的拉力大小F隨時(shí)間t變化的曲線。已知擺長(zhǎng)為，A、B之間的最大擺角為（取，）。求：
（1）當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮。?br /> （2）擺球在A點(diǎn)時(shí)回復(fù)力的大??；
（3）擺球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大動(dòng)能。


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