?第17講 數(shù)列求和5種常考題型總結(jié)
【題型目錄】
題型一：分組求和法
題型二：裂項(xiàng)相消法求和
題型三：錯(cuò)位相減法求和
題型四：先求和，再證不等式
題型五：先放縮，再求和
【典型例題】
【例1】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.


【例2】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，且滿(mǎn)足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列中前40項(xiàng)的和.

【例3】設(shè)是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在數(shù)列的任意與項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，求的值．


【題型專(zhuān)練】
1.已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，．
(1)求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，請(qǐng)?jiān)冖伲虎诔傻缺葦?shù)列；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問(wèn)題.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.


3．（2022·廣東廣州·一模）已知公差不為0的等差數(shù)列中，，是和的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(2)保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求的值.


4.已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，設(shè).
(1)求的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)將插入中，插入中，插入中，，依此規(guī)律得到新數(shù)列，求該數(shù)列前20項(xiàng)的和.




題型二：裂項(xiàng)相消法求和
【例1】首項(xiàng)為4的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，其中成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求．

【例2】已知數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿(mǎn)足．
(1)求實(shí)數(shù)的值，使得是等比數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．


【例3】數(shù)列的前n項(xiàng)和，.
(1)求；
(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.



【例4】（湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列為等差數(shù)列.
(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的通項(xiàng)公式.




【例5】已知數(shù)列滿(mǎn)足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求．


【題型專(zhuān)練】
1．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，且成等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求.


2．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.



3.已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．





4.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列滿(mǎn)足________，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．
從①???②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中的橫線(xiàn)上并作答.



5．已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，且，記.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.



題型三：錯(cuò)位相減法求和
【例1】已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，為的前n項(xiàng)和，滿(mǎn)足，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的取值范圍.


【例2】已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列滿(mǎn)足，且，，設(shè).
(1)證明：為等比數(shù)列；
(2)求的前項(xiàng)和.

【例3】已知數(shù)列的首項(xiàng).
(1)求；
(2)記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.


【例4】已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列前n項(xiàng)和為，若．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，且數(shù)列前n項(xiàng)和為，求證：．


【例5】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．


【題型專(zhuān)練】
1．若公比為c的等比數(shù)列的首項(xiàng)且滿(mǎn)足．
(1)求c的值；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

2．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若存在且,使得成立,求實(shí)數(shù)的最小值.

3．已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.


4.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.
(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.


5.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，．
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．



題型四：先求和，再證不等式
【例1】設(shè)為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，已知，且．
(1)證明：{}是等比數(shù)列；
(2)若成等差數(shù)列，記，證明＜．





【例2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，___________，.在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.
①；②；③
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意的，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.




【例3】等差數(shù)列中，前三項(xiàng)分別為，前項(xiàng)和為，且.
(1)求和的值；
(2)求=
(3)證明:




【例4】已知數(shù)列滿(mǎn)足，.
(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使，求的取值范圍.





【題型專(zhuān)練】
1．已知數(shù)列滿(mǎn)足：.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.


2.已知數(shù)列滿(mǎn)足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．



3．已知數(shù)列的首項(xiàng)，，.
(1)證明：為等比數(shù)列；
(2)證明：.



4．已知數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，，
(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和.證明：




5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，，
（i）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
（ii）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求成立的的最小值.


6．已知數(shù)列滿(mǎn)足且，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.


題型五：先放縮，再求和
【例1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為， 當(dāng)時(shí)，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求證：．


【例2】已知數(shù)列單調(diào)遞增且，前項(xiàng)和滿(mǎn)足，數(shù)列滿(mǎn)足，且，.
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;
(2)若，求證：.

【例3】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，
(1)求和
(2)求證：．


【例4】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且．
(1)求；
(2)求證：．


【題型專(zhuān)練】
1.已知數(shù)列滿(mǎn)足：，，.
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，，求證：.




2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列前n項(xiàng)積為，且．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求證：．




3.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；
(2)設(shè)，證明：.




4．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且,是的前項(xiàng)和.
(1)求；
(2)若為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.


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