?第21講 拋物線定義及性質(zhì)?？?種題型
【考點(diǎn)分析】
考點(diǎn)一：拋物線定義
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．
考點(diǎn)二：拋物線焦點(diǎn)弦焦半徑公式

圖1-3-1 圖1-3-2
焦半徑：，，．
焦點(diǎn)弦：．
三角形面積：．
【題型目錄】
題型一：拋物線的定義及方程
題型二：拋物線的性質(zhì)
題型三：拋物線焦點(diǎn)弦焦半徑
題型四：有關(guān)三角形面積問(wèn)題
題型五：拋物線中的最值問(wèn)題
【典型例題】
題型一：拋物線的定義及方程
【例1】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)滿(mǎn)足，則（????）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式列出方程，求出的值.
【詳解】由拋物線定義知：，所以，解得：.
故選：A
【例2】拋物線的準(zhǔn)線方程是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，即可解出．
【詳解】可化為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．
故選：B．
【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上的點(diǎn)，若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且該圓面積為，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知的外心的橫坐標(biāo)為，求出點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離，即為外接圓的半徑，再利用圓的面積公式可求得的值.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，易知的外心的橫坐標(biāo)為，
點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，所以，的外接圓的半徑為，
由題意可得，因?yàn)椋獾?
故選：D.
【例4】數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)，如圖，吉林大學(xué)的校門(mén)是一拋物線形水泥建筑物，若將校門(mén)輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線的一部分，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，校門(mén)最高點(diǎn)到地面距離約為18米，則校門(mén)位于地面寬度最大約為（????）

A．18米 B．21米 C．24米 D．27米
【答案】C
【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出的值，即可得到拋物線方程，再令求出的值，即可得解.
【詳解】解：拋物線，即，
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，
所以拋物線即為，令，則，解得，
所以校門(mén)位于地面寬度最大約為米.
故選：C
【例5】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓C過(guò)點(diǎn)，則圓C的方程為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出圓心的縱坐標(biāo)，再結(jié)合圓過(guò)的點(diǎn)求解作答.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線：，設(shè)，令弦AB的中點(diǎn)為E，

而圓心C是線段的中點(diǎn)，又，即有，，
顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)直線，由消去x得：，
則，，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，
于是得圓C的半徑，圓心，而圓C過(guò)點(diǎn)，
則有，即，解得，
因此圓C的圓心，半徑，圓C的方程為.
故選：B
【題型專(zhuān)練】
1.已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，則下列說(shuō)法正確的是（???????）
A．焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為1 B．焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為
C．準(zhǔn)線l的方程為 D．對(duì)稱(chēng)軸為x軸
【答案】C
【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，表示焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線，即得答案.
【詳解】將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程
所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為，焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為，對(duì)稱(chēng)軸為y軸
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程表示其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題.
2.拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，，則M到y(tǒng)軸的距離是（???????）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】設(shè)，由拋物線的定義，即，即可求出答案.
【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為：
設(shè)，由拋物線的定義知：，即，
即，所以M到y(tǒng)軸的距離是.
故選：B.
3.已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的一點(diǎn)， 若， 則 (為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是（???????）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【分析】由題可得，利用拋物線的定義可得，利用三角形的面積公式結(jié)合條件即得，
【詳解】由題可得，因?yàn)椋?br /> 所以，，
所以為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是.
故選：A.
4．（2022·廣東廣州·高二期末）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（???????）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】寫(xiě)出拋物線的準(zhǔn)線方程，由圓的方程得圓心和半徑，由已知得圓心到準(zhǔn)線的距離為半徑，從而求出.
【詳解】因?yàn)?，所以拋物線準(zhǔn)線為
又 ，所以圓心坐標(biāo)為 ，半徑為2
由已知得：圓心到準(zhǔn)線的距離為半徑，則 ，所以
故選：C.
5.位于德國(guó)東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱(chēng)，它的橋形可以近似地看成拋物線，該橋的高度為5m，跨徑為12m，則橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_____m．

【答案】##3.6
【分析】首先建立直角坐標(biāo)系，再根據(jù)拋物線所過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.
【詳解】以拋物線的最高點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線的解析式為，，
因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)，所以，可得，
所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．
故答案為：
題型二：拋物線的性質(zhì)
【例1】拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則（???????）
A．2 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)D，等邊三角形ABF中，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)代入雙曲線上方程可得答案．
【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)D，如圖，在等邊三角形ABF中，，，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，又點(diǎn)B在雙曲線上，故，解得．
故選：C．

【例2】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在拋物線C上，垂直l于點(diǎn)Q，與y軸交于點(diǎn)T，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】設(shè)直線交于點(diǎn)，則可得，從而可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則可求出的橫坐標(biāo)，然后利用拋物線的定義可求得結(jié)果.
【詳解】由，得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線，
設(shè)直線交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，
因?yàn)椤?，?br /> 所以，
因?yàn)榇怪眑于點(diǎn)Q，
所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
當(dāng)時(shí)，，得，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)與F相同，
所以，
故選：B

【例3】已知，是拋物線上位于不同象限的兩點(diǎn)，分別過(guò)，作的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，若，，則（????）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】不妨令第二象限，Q在第一象限，根據(jù)拋物線的定義，可求得坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，從而得直線方程，聯(lián)立可得交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用距離公式即可求得的值.
【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，
如圖所示，根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)性，不妨令第二象限，Q在第一象限，

根據(jù)拋物線的定義，可知
所以的縱坐標(biāo)為1，的縱坐標(biāo)為4，則，．
由得，得，所以拋物線在，兩點(diǎn)處的切線斜率分別為和2，
得到兩條切線方程并聯(lián)立，解得，則，
所以．
故選：B
【例4】已知點(diǎn)A是拋物線C：上一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以點(diǎn)O為圓心，以的長(zhǎng)為半徑的圓與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，且，則的值是（???????）
A． B．6 C． D．7
【答案】C
【分析】，由題意確定為等邊三角形，進(jìn)而表示A點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程，求得a的值，結(jié)合拋物線的焦半徑公式即可求得答案.
【詳解】由知： ；
設(shè)，結(jié)合圓和拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得 ，結(jié)合，
得為等邊三角形，
不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，則A的坐標(biāo)為，
因?yàn)辄c(diǎn)A是拋物線C：上一點(diǎn)，所以，
所以，得A的坐標(biāo)為，
故，
故選：C
【例5】（2022·全國(guó)·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（???????）
A．直線的斜率為 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由，求得，為鈍角即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】

對(duì)于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；
對(duì)于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，
設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，
則，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由拋物線定義知：，C正確；
對(duì)于D，，則為鈍角，
又，則為鈍角，
又，則，D正確.
故選：ACD.

【題型專(zhuān)練】
1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)的直線與拋物線交于點(diǎn)A、，與直線交于點(diǎn)，若，，則（????）
A．1 B．3 C．2 D．4
【答案】B
【分析】作出輔助線，由拋物線定義得到，，設(shè)，則，根據(jù)，求出，進(jìn)而根據(jù)求出，得到答案.
【詳解】設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，作，，垂足分別為，

則．根據(jù)拋物線定義知，，
又，，所以，，
設(shè)，因?yàn)椋裕?br /> 則．
所以，又，可得，所以，
所以，
可得，即．
故選：B
2.已知拋物線過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，若為焦點(diǎn)，直線，分別交拋物線于，兩點(diǎn)，則（???????）
A． B．
C．A，，三點(diǎn)共線 D．
【答案】AC
【分析】設(shè)直線方程聯(lián)立拋物線方程消參，利用定義表示出，然后由韋達(dá)定理和解不等式可判斷A；用坐標(biāo)表示出，利用韋達(dá)定理表示后，由m的范圍可判斷B；設(shè)直線NF，借助韋達(dá)定理表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后由斜率是否相等可判斷C；根據(jù)M和P的橫坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合AN斜率可判斷D.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)，
所以，所以拋物線方程為
設(shè)
設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，代入整理得：
則，，即或

又
由定義可知，，
所以，故A正確；
所以
又，故B錯(cuò)誤；
記
設(shè)直線NF方程為，代入整理得：
則，，同理可得
因?yàn)椋?br /> ，所以A，，三點(diǎn)共線，C正確；
因?yàn)椋?，所?br /> 由上可知，直線AM的斜率，所以，所以，D錯(cuò)誤.
故選：AC

3.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線C上，O為原點(diǎn)，若為等腰三角形，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)可能為（???????）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)，分別表示出，，再分類(lèi)討論即可求解.
【詳解】由拋物線的解析式，可知，準(zhǔn)線，設(shè)，
由拋物線的定義可知，
又，.
當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，即，解得或（舍），此時(shí)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.
只有選項(xiàng)C符合題意.
故選：C
4.設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于，兩點(diǎn)，若，且的面積為，則（???????）
A． B．是等邊三角形
C．點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3 D．拋物線的方程為
【答案】BC
【分析】根據(jù)題意，作出示意圖，結(jié)合拋物線的定義，焦半徑公式，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷選擇.
【詳解】根據(jù)題意，作出示意圖,


因?yàn)橐訤為圓心，|FA|為半徑的圓交于B，D兩點(diǎn)，∠ABD＝90°，
由拋物線的定義可得|AB|＝|AF|＝|BF|，
所以是等邊三角形，故B正確；
所以∠FBD＝30°.
因?yàn)榈拿娣e為|BF|2＝9，
所以|BF|＝6.故A錯(cuò)誤；
又點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為|BF|sin 30°＝3＝p，故C正確；
則該拋物線的方程為y2＝6x.故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
5.已知：的焦點(diǎn)為，斜率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則（???????）
A． B．為線段的中點(diǎn)
C． D．
【答案】AB
【分析】由題意可得直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線方程得到，．求出的值，過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，得到為線段的中點(diǎn)即得解.
【詳解】解：易知，由題意可得直線的方程為．
由，消去并整理，得，
解得，．
由，得，
∴．
過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，易知，
∴，∴．.
∵，∴為線段的中點(diǎn)．
故選：AB．


6.已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，A，B，C為E上三點(diǎn)，且，則___________．
【答案】12
【分析】根據(jù)題意可得F為△ABC的重心，根據(jù)重心坐標(biāo)公式解得，再結(jié)合拋物線定義代入整理計(jì)算．
【詳解】由題意知，設(shè)，，，
，F(xiàn)為△ABC的重心
，即，
則．
故答案為：12．
題型三：拋物線焦點(diǎn)弦焦半徑
【例1】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于點(diǎn)A，B，若若直線l的斜率為k，則k=（???????）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】由條件結(jié)合拋物線的定義，解三角形求直線l的斜率.
【詳解】當(dāng)在軸上方時(shí)，過(guò)分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，過(guò)作于，設(shè)，則，所以，
所以，
同理可得當(dāng)在軸下方時(shí)，的值為，
故選：C.

【例2】已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，分別為在上的射影，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A．若直線的傾斜角為，則
B．若，則直線的斜率為
C．若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則三點(diǎn)共線
D．
【答案】ACD
【分析】對(duì)于A，求出直線的方程，代入拋物線方程中，整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后利用弦長(zhǎng)公式可求出，對(duì)于B，設(shè)1，代入拋物線方程，整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，再由，得，從而可求出的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線的斜率，對(duì)于C，同選項(xiàng)B，利用根與系數(shù)關(guān)系后，計(jì)算即可，對(duì)于D，同選項(xiàng)B，利用根與系數(shù)關(guān)系后，計(jì)算即可
【詳解】若直線的傾斜角為，則，
令，由消可得，
所以，故正確；
設(shè)1，令，由，
消可得
，，所以，
所以，
所以或
所以.即，故錯(cuò)誤；
設(shè)，令，，
消可得
，
所以，即三點(diǎn)共線，故C正確；
設(shè)，令，由
消可得
，，
所以，
即，故正確.
故選：ACD.
【例3】已知拋物線 ， 過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作軸的垂線，垂足分別為C，D， 則的最小值為（??????）
A． B．2 C．3 D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)拋物線的定義可得，直線與拋物線聯(lián)立求出焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，討論最值求解.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€為，所以，焦點(diǎn)
設(shè)，
根據(jù)拋物線的定義可得，，
所以，
所以,即
因?yàn)檫^(guò)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，所以直線的斜率不等于0，
設(shè)為，
聯(lián)立，得，
所以，，
所以，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最小值為4，
則有最小值為2.
故選:B.
【題型專(zhuān)練】
1.（2022·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（???????）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.
【詳解】由題意得，，則，
即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，
所以.
故選：B
2.設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則（???????）
A． B．8 C．12 D．
【答案】B
【分析】由題意得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線方程，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式可得出答案.
【詳解】依題意可知拋物線焦點(diǎn)為，直線AB的方程為，
代入拋物線方程得，可得，
根據(jù)拋物線的定義可知直線AB的長(zhǎng)為．
故選：B．
3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（???????）
A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B，利用距離公式及弦長(zhǎng)公式可判斷C、D.
【詳解】將點(diǎn)的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯(cuò)誤；
，所以直線的方程為，
聯(lián)立，可得，解得，故B正確；
設(shè)過(guò)的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，
聯(lián)立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正確；
因?yàn)?，?br /> 所以，而，故D正確.
故選：BCD
4.已知拋物線的焦點(diǎn)F，過(guò)F分別作直線與C交于A，B兩點(diǎn)，作直線與C交于D，E兩點(diǎn)，若直線與的斜率的平方和為1，則的最小值為_(kāi)________
【答案】24
【分析】根據(jù)給定條件，將直線、的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出、，再借助均值不等式求解作答.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)直線與的斜率分別為，，有，
直線：，由消去y并整理得：，
設(shè)，則，
，直線：，同理，
于是得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以的最小值為24.
故答案為：24
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．
題型四：有關(guān)三角形面積問(wèn)題
【例1】經(jīng)過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線l的斜率為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】設(shè)直線斜率為，直線方程為，設(shè)，直線方程代入拋物線方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后由弦長(zhǎng)公式得弦長(zhǎng)，再求得原點(diǎn)到直線的距離，求出面積后可得值．
【詳解】由已知，
設(shè)直線斜率為，直線方程為，設(shè)，
由得，
，，
，
又到直線的距離為，
所以，．
故答案為：．
【例2】拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)?在第一象限），則的值等于________.
【答案】
【分析】由題意可知直線過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為，設(shè)，則 ，，求出，結(jié)合三角形面積公式即可求解
【詳解】因?yàn)橹本€可化為，
所以過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為，
設(shè)，則 ，，
解得，，
代入得，，
所以，
故答案為：
【題型專(zhuān)練】
1.斜率為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則三角形的面積是（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】寫(xiě)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)，再求出原點(diǎn)到直線距離，求出三角形面積.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
則斜率為的直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立得：
，
設(shè)，不妨設(shè)，，
則，
點(diǎn)O到直線AB的距離為，
所以△AOB的面積為
故選：B
2.已知斜率為的直線過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)且與拋物線相交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，若與的面積之比為2，則的值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)直線：， 與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)與的面積之比為2，利用拋物線定義得到，再結(jié)合韋達(dá)定理求解.
【詳解】解：如圖所示：

由拋物線：，得，
設(shè)直線：，，，
由得，
所以，，
由已知和拋物線定義知：，
則有，即，
所以
解得，，.
故選：D
題型五：拋物線中的最值問(wèn)題
【例1】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且，則直線OM的斜率的最大值為（???????）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)出，P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)及拋物線方程，得到，從而表達(dá)出直線OM的斜率，利用基本不等式求出最大值.
【詳解】因?yàn)椋O(shè)，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則要想求解直線OM的斜率的最大值，此時(shí)，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，解得：，由于，所以，即，由于，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故直線OM的斜率的最大值為.
故選：C
【例2】已知P為拋物線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，為平面內(nèi)一定點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．
【答案】5
【分析】利用拋物線的定義，將轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再由三點(diǎn)共線求最小值.
【詳解】由題意，拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，

當(dāng)共線時(shí)，和最??；過(guò)點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，所以最小值為5.
故答案為：5.
【例3】已知F是拋物線的焦點(diǎn)，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（???????）
A．的最小值為1 B．的最小值為
C．的最小值為4 D．的最小值為
【答案】AC
【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)判斷A，根據(jù)圓的性質(zhì)判斷B，結(jié)合拋物線的定義判斷C，D.
【詳解】拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，作出圖象，

對(duì)選項(xiàng)A：由拋物線的性質(zhì)可知：的最小值為，選項(xiàng)A正確；
對(duì)選項(xiàng)B：注意到F是定點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可知：的最小值為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)CD：過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，由拋物線定義可知，故，的最小值為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離，故最小值為4，從而選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：AC.
【例4】已知拋物線及圓，過(guò)的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A，P，Q，B四點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.
【答案】13
【分析】根據(jù)圓心即為拋物線C的焦點(diǎn)F，利用拋物線的定義，結(jié)合基本不等式求解.
【詳解】解：如圖所示：

圓心即為拋物線C的焦點(diǎn)F.
所以，
由拋物線的定義，，
所以，
又易知：，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.???
所以的最小值為13，
故答案為：13
【題型專(zhuān)練】
1.已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，過(guò)焦點(diǎn)作直線的垂線，此時(shí)最小，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式即可求解.
【詳解】直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，過(guò)焦點(diǎn)作直線的垂線，
如下圖所示，此時(shí)最小，為點(diǎn)到直線的距離.


，則．
故選：B．
【點(diǎn)睛】拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離．牢記它對(duì)解題非常有益．
2.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，則________；設(shè)點(diǎn)是拋物線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是的對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_______.
【答案】???? ，???
【分析】空1：設(shè)直線聯(lián)立方程可得，根據(jù)題意可得，代入可解得；空2：根據(jù)拋物線定義取到最大值即最小，此時(shí)直線與拋物線相切，利用導(dǎo)數(shù)求切線分析求解．
【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，
聯(lián)立方程消去得，可得
∵，則可得：，可得，解得
過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則可得
若取到最大值即最小，此時(shí)直線與拋物線相切
，即，則
設(shè)，則切線斜率，切線方程為
切線過(guò)，代入得，解得，即
則，即
則的最大值為
故答案為：；．

3.（2021·甘肅·民勤縣第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試（文））已知為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值是______.
【答案】
【分析】根據(jù)題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程及圓的圓心坐標(biāo)、半徑，利用拋物線的定義可得點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離即為點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而得到動(dòng)點(diǎn)位于線段上時(shí)距離最小，計(jì)算即可求解.
【詳解】解：由題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
設(shè)點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，則，故，
所以當(dāng)動(dòng)點(diǎn)位于線段上時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離之和最小，
此時(shí).
故答案為：.

4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上的點(diǎn)的距離的最小值4．
(1)求；
(2)若點(diǎn)在圓上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．
【答案】(1)2，(2)
【分析】(1)由點(diǎn)F到圓M上的點(diǎn)最小值為4建立關(guān)于p的方程，解出即可；
(2) 根據(jù)題意，可知與切點(diǎn)弦所在直線：互為極點(diǎn)與極線，并聯(lián)立方程組求解得方程，通過(guò)韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式表達(dá)出，以及點(diǎn)到直線距離公式表達(dá)出點(diǎn)到直線的距離，從而寫(xiě)出面積表達(dá)式進(jìn)而求最大值.
【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，，∴與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得．
（2）
設(shè)點(diǎn)，，，由于點(diǎn)在圓上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，所以與切點(diǎn)弦所在直線：互為極點(diǎn)與極線，聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理可得，，，點(diǎn)到直線的距離為，∴，，由已知可得，∴當(dāng)時(shí)，的面積取最大值．
【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的綜合運(yùn)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系以及運(yùn)算求解能力，更要運(yùn)用到極點(diǎn)與極線的關(guān)系.


相關(guān)試卷

立體幾何常考解答題5種常見(jiàn)題型總結(jié)-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)?？碱}型分類(lèi)講義（新高考專(zhuān)用）：

這是一份立體幾何?？冀獯痤}5種常見(jiàn)題型總結(jié)-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)常考題型分類(lèi)講義（新高考專(zhuān)用），文件包含2024年高考立體幾何?？冀獯痤}5種常見(jiàn)題型總結(jié)解析版docx、2024年高考立體幾何常考解答題5種常見(jiàn)題型總結(jié)原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共144頁(yè)， 歡迎下載使用。

第20講 雙曲線高考6大?？蓟A(chǔ)題型總結(jié)-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)?？碱}型分類(lèi)講義（新高考專(zhuān)用）：

這是一份第20講 雙曲線高考6大常考基礎(chǔ)題型總結(jié)-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)?？碱}型分類(lèi)講義（新高考專(zhuān)用），文件包含第20講雙曲線高考6大?？蓟A(chǔ)題型總結(jié)解析版docx、第20講雙曲線高考6大?？蓟A(chǔ)題型總結(jié)原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共55頁(yè)， 歡迎下載使用。

第19講 橢圓中6種?？蓟A(chǔ)題型-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)?？碱}型分類(lèi)講義（新高考專(zhuān)用）：

這是一份第19講 橢圓中6種常考基礎(chǔ)題型-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)?？碱}型分類(lèi)講義（新高考專(zhuān)用），文件包含第19講橢圓中6種?？蓟A(chǔ)題型解析版docx、第19講橢圓中6種?？蓟A(chǔ)題型原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共98頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

第18講 直線與圓?？?種題型總結(jié)-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)常考題型分類(lèi)講義（新高考專(zhuān)用）

第18講 直線與圓?？?種題型總結(jié)-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)?？碱}型分類(lèi)講義（新高考專(zhuān)用）
第17講 數(shù)列求和5種常考題型總結(jié)-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)?？碱}型分類(lèi)講義（新高考專(zhuān)用）

第17講 數(shù)列求和5種常考題型總結(jié)-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)?？碱}型分類(lèi)講義（新高考專(zhuān)用）
第01講 函數(shù)的概念與性質(zhì)-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)常考題型分類(lèi)講義（新高考專(zhuān)用）

第01講 函數(shù)的概念與性質(zhì)-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)?？碱}型分類(lèi)講義（新高考專(zhuān)用）
備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)常考題型分類(lèi)講義 第21講 拋物線定義及性質(zhì)?？?種題型

備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)?？碱}型分類(lèi)講義 第21講 拋物線定義及性質(zhì)常考5種題型
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專(zhuān)區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部