第08講抽象函數(shù)7種導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造-【高考備考題型講義】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)?？碱}型分類講義（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第8講抽象函數(shù)7種導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造
【題型目錄】
題型一：具體函數(shù)抽象化解不等式
題型二：構(gòu)造冪函數(shù)型解不等式
題型三：構(gòu)造指數(shù)函數(shù)型解不等式
題型四：構(gòu)造對數(shù)函數(shù)型解不等式
題型五：構(gòu)造三角函數(shù)型解不等式
題型六：構(gòu)造型函數(shù)解不等式
題型七：復(fù)雜型：二次構(gòu)造
【典例例題】
題型一：具體函數(shù)抽象化解不等式
【例1】（2022·廣東·南海中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，若成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由奇偶性的定義得出函數(shù)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式變形為，利用單調(diào)性得出，從而可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
解：函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
，函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時，，，
則函數(shù)在上為增函數(shù)，
由得，
由偶函數(shù)的性質(zhì)得，
由于函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即，
整理得，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
【題型專練】
1．（2022·貴州遵義·高二期末（理））已知函數(shù)，設(shè)，，，則a，b，c的大小為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函數(shù)解析式求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)大于零恒成立，故確定函數(shù)單調(diào)性，比較自變量大小確定函數(shù)值a，b，c的大小即可.
【詳解】
解：因?yàn)椋瑒t，所以
又時，，所以恒成立
所以在上單調(diào)遞增；
又，，
所以，則.
故選：A.
2．（2022·上?！?fù)旦附中高二期末）設(shè)，若，則x的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
奇偶性定義判斷奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，再應(yīng)用奇偶、單調(diào)性求x的范圍.
【詳解】
由且，易知：為奇函數(shù)，
所以，
又，故在上遞增，
所以，可得.
故答案為：
題型二：構(gòu)造冪函數(shù)型解不等式
【例1】（2022·黑龍江·哈師大附中高二期末）已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)滿足，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（???????）
A．（0，2022） B．（2022，+∞） C．（2023，+∞） D．（2022，2023）
【答案】D
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，使得，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】
由題設(shè)，所以在上單調(diào)遞減，又，即，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，綜上可得：.
故選：D.
【例2】（2022·四川雅安·高二期末（理））設(shè)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且，當(dāng)時，，則不等式的解集為______．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得在為單調(diào)遞減函數(shù)，進(jìn)而得到函數(shù)為奇函數(shù)，且在為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】
設(shè)，可得，
因?yàn)楫?dāng)時，，可得，
所以在為單調(diào)遞減函數(shù)，
又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且，可得，
則滿足，所以函數(shù)也為奇函數(shù)，
所以在為單調(diào)遞減函數(shù)，且，
當(dāng)時，由，即，即，可得；
當(dāng)時，由，即，即，可得；
所以不等式的解集為.
故答案為：.
【例3】（2022·河南信陽·高二期中（理））已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，由題意可知在上單調(diào)遞增，再對分情況討論，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出不等式的解集.
【詳解】
由，
（1）當(dāng)時，可得，
即，
即，
構(gòu)造函數(shù)，
所以函數(shù)單調(diào)遞增，
則，此時，即滿足；
（2）當(dāng)時，可得，
由函數(shù)遞增，則，此時或，即滿足；
（3）當(dāng)時，，即滿足.
綜上，.
故選：A.
【例4】已知定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，恒有．則不等式的解集為（???????）．
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】
先通過得到原函數(shù)為增函數(shù)且為偶函數(shù)，再利用到軸距離求解不等式即可.
【詳解】
構(gòu)造函數(shù)，
則
由題可知，所以在時為增函數(shù)；
由為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)；
又，即
即
又為開口向上的偶函數(shù)
所以，解得或
故選：D
【點(diǎn)睛】
此題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù)，偶函數(shù)解不等式等知識點(diǎn)，屬于較難題目.
【例5】函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
設(shè)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和題設(shè)條件，求得函數(shù)在上為增函數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為，即，利用單調(diào)性，即可求解.
【詳解】
由題意，設(shè)函數(shù)，
則，
因?yàn)槭嵌x在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，
所以，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
又由，即，
即，所以，解得，
即不等式的解集為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系及應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與計(jì)算能力.

【題型專練】
1．（2021·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高三階段練習(xí)（理））定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時，.則（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由題構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)可得函數(shù)在(0，+∞)上為減函數(shù)，且為偶函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性即得.
【詳解】
設(shè)，則，
又當(dāng)時，，
∴，
則函數(shù)在(0，+∞)上為減函數(shù)，
∵是定義在上的偶函數(shù)，
∴，
即g(x)為偶函數(shù)，
所以，即，故A錯誤；
，即，故B錯誤；
，即
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
所以，故C錯誤，D正確.
故選：D.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合條件可判斷函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，即得.
2．（2022·黑龍江·哈爾濱市阿城區(qū)第一中學(xué)校高二期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，且，則不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)并得出函數(shù)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得出函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可以即可求解.
【詳解】
設(shè)，則
因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，
所以，
所以是上的偶函數(shù)，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以?br /> 所以．
對于不等式，
當(dāng)時，，即，解得；
當(dāng)時，，即，解得，
所以不等式的解集是．
故答案為：
【點(diǎn)睛】
解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而討論新函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解不等式的解集.
3.設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有則不等式的解集為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令，確定在上是減函數(shù)，不等式等價為，根據(jù)單調(diào)性解得答案.
【詳解】
由，得，
即，令，
則當(dāng)時，得，即在上是減函數(shù)，
，，
即不等式等價為，
在是減函數(shù)，由得，
即，又，解得，故.
故選:：.
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性解不等式，構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
4.已知是定義在上的奇函數(shù)，且時，，又，則的解集為（?????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，則，由題設(shè)易知上，且在上是奇函數(shù)，即在、都單調(diào)遞減，同時可知，利用單調(diào)性求的解集，即為的解集.
【詳解】
令，則，
由時，知：，
∴在上，，單調(diào)遞減，又上為奇函數(shù)，
∴，故也是奇函數(shù)，
∴在上單調(diào)遞減，又，即有，
∴的解集，即的解集為.
故選：C
5.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)，求其導(dǎo)數(shù)結(jié)合條件得出單調(diào)性，再結(jié)合的奇偶性，得出的函數(shù)值的符號情況，從而得出答案.
【詳解】
設(shè)，則，
∵ 當(dāng)時，，
當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減.
由于是奇函數(shù)，所以,是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.
又，所以當(dāng)或時，；
當(dāng)或時，.
所以當(dāng)或時，.
故選：B.
題型三：構(gòu)造指數(shù)函數(shù)型解不等式
【例1】（2022·四川省資陽中學(xué)高二期末（理））已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，則原不等式等價于，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可；
【詳解】
解：令，，則，因?yàn)椋矗?br /> 所以，即在上單調(diào)遞減，又，所以，
所以不等式，即，即，
即，解得，所以原不等式的解集為.
故答案為：
【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的，都有，且，則不等式的解集為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)函數(shù)，根據(jù)題意可判斷在上單調(diào)遞減，再求出，不等式整理得，所以，利用單調(diào)性解抽象不等式即可.
【詳解】
設(shè)函數(shù)，
所以，因?yàn)椋?br /> 所以，即，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?br /> 所以，因?yàn)?，整理得?br /> 所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以.
故選：C.
【點(diǎn)睛】
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則不等式的解集為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先證明出為周期為8的周期函數(shù)，把轉(zhuǎn)化為.記，利用導(dǎo)數(shù)判斷出在R上單調(diào)遞減，把原不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.
【詳解】
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，
所以，.
所以，，所以.
令，則.
令上式中t取t-4，則，所以.
令t取t+4，則，所以.
所以為周期為8的周期函數(shù).
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
令，得：，所以，所以，即為，所以.
記，所以.
因?yàn)?，所以，所以在R上單調(diào)遞減.
不等式可化為，即為.
所以.
故選：C
【點(diǎn)睛】
解不等式的常見類型：
(1)一元二次不等式用因式分解法或圖像法；
(2)指對數(shù)型不等式化為同底的結(jié)構(gòu)，利用單調(diào)性解不等式；
(3)解抽象函數(shù)型不等式利用函數(shù)的單調(diào)性.
【例4】（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高二期末）已知可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為，f（0）=2022，若對任意的，都有，則不等式的解集為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可知在上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性求解即可.
【詳解】
令對任意的，
都有，在上單調(diào)遞增，
又，
不等式的解集，
故選：D.
【例5】（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)討，，且，則不等式的解集為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)判斷出當(dāng)x>0時, 單調(diào)遞增，得到當(dāng)x>2時，從而；當(dāng)時，，從而.由為奇函數(shù)得到不等式的解集.
【詳解】
構(gòu)造函數(shù)，則當(dāng)時，，所以當(dāng)x>0時單調(diào)遞增.
因?yàn)閒(2)=0，所以，所以當(dāng)x>2時，從而.
當(dāng)時，，從而.
又奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，所以的解集為.
故答案為: .

【題型專練】
1.（2022·陜西榆林·三模（理））已知是定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且，，則下列結(jié)論一定成立的是（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可得，進(jìn)而可得答案.
【詳解】
令，則，則是增函數(shù)，
故，即，可得.
故選：D
2.（2022·江西·萍鄉(xiāng)市上栗中學(xué)高二階段練習(xí)（理））定義在上的函數(shù)滿足（為自然對數(shù)的底數(shù)），其中為的導(dǎo)函數(shù)，若，則的解集為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
構(gòu)造新函數(shù)，并利用函數(shù)單調(diào)性把抽象不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式即可解決.
【詳解】
設(shè)，則，所以等價于，
由，可得
則，
所以在上單調(diào)遞增，所以由，得．
故選：D
3.（2022·安徽省蚌埠第三中學(xué)高二開學(xué)考試）已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的，都有，且，則不等式的解集為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.
【詳解】
構(gòu)造函數(shù)，則，因?yàn)?，所以恒成立，故單調(diào)遞減，變形為，又，所以，所以，解得：，故答案為：.
故選：A
4.若在上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿足，則的解集是_________________
【答案】
【解析】
【分析】
由題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)遞減，利用單調(diào)性解不等式.
【詳解】
設(shè)，則，
因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，所以單調(diào)遞減，
又得，由等價于，
所以，即的解集是.
故答案為：
5.若定義在上的函數(shù)滿足，，則不等式為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
把不等式化為，構(gòu)造函數(shù)令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.
【詳解】
由題意，不等式，即，
令，可得，
因?yàn)榍?，可知，所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br /> 所以的解集為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算的逆用，其中解答中結(jié)合題意構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查構(gòu)造思想，以及推理與運(yùn)算能力.
題型四：構(gòu)造對數(shù)函數(shù)型解不等式
【例1】（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高二階段練習(xí)（文））定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足，，則不等式的解集為（???????）
A．（－∞，0） B．（－∞，1）
C．（0，+∞） D．（1，+∞）
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題干條件構(gòu)造函數(shù)，，得到其單調(diào)遞減，從而求解不等式.
【詳解】
設(shè)，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以?br /> 且，
所以由得：
結(jié)合單調(diào)性可得：，解得：，
故選：C
【例2】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，其導(dǎo)函數(shù)為，若當(dāng)時，則不等式的解集為______．
【答案】
【解析】
【分析】
依據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性把抽象不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式去求解即可.
【詳解】
當(dāng)時，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，易知，
故當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，；
而，
而為奇函數(shù)，
則當(dāng)時，當(dāng)?shù)慕鉃椋?br /> 故當(dāng)時，的解為或，
故不等式的解集為．
故答案為：
【例3】已知是定義在上的奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且滿足:則不等式的解集為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)給定含導(dǎo)數(shù)的不等式構(gòu)造函數(shù)，由此探求出在上恒負(fù)，在上恒正，再解給定不等式即可.
【詳解】
令，，則，在上單調(diào)遞減，而，
因此，由得，而，則，由得，而，則，又，
于是得在上，，而是上的奇函數(shù)，則在上，，
由得：或，即或，解得或，
所以不等式的解集為.
故選：D
【題型專練】
1.（2022·陜西漢中·高二期末（文））定義在上的函數(shù)滿足，則不等式的解集為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
令，根據(jù)題意得到函數(shù)在上為單調(diào)遞增，把不等式，可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】
由題意，函數(shù)滿足，
令，可得
所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增，且，
又由不等式，可得，所以，解得，
即不等式的解集為.
故答案為：.
2.（2022·河北·石家莊二中高二期末）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且當(dāng)時，則不等式的解集為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由條件得出關(guān)于成中心對稱，進(jìn)一步得出函數(shù)的單調(diào)性，然后再根據(jù)題意可得，或，從而可得出答案.
【詳解】
由得關(guān)于成中心對稱．
令，可得
當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增.
由關(guān)于成中心對稱且，故在上單調(diào)遞增
由，則，或
解得，或，故
故選：A
3.（多選）已知函數(shù)的定義域是，其導(dǎo)函數(shù)是，且滿足，則下列說法正確的是（???????）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，構(gòu)造，由題意，得到單調(diào)遞增，進(jìn)而利用的單調(diào)性，得到，再整理即可求解
【詳解】
設(shè)，可得，單調(diào)遞增，又因?yàn)?br /> ，，，且，，得，，整理得，AC正確；
故選：AC
題型五：構(gòu)造三角函數(shù)型解不等式
【例1】已知偶函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，有成立，則關(guān)于x的不等式的解集為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由題意，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，再把不等式，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.
【詳解】
由題意，設(shè)，則，
當(dāng)時，因?yàn)椋瑒t有，
所以在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)樵谏鲜桥己瘮?shù)，可得，
所以是偶函數(shù)，
由，可得，即，即
又由為偶函數(shù)，且在上為減函數(shù)，且定義域?yàn)?，則有，
解得或，
即不等式的解集為，
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，其中解答中構(gòu)造新函數(shù)，求得函數(shù)的奇偶性和利用題設(shè)條件和導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查構(gòu)造思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.
【例2】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)是.有，則關(guān)于x的不等式的解集為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令，根據(jù)題設(shè)條件，求得，得到函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，再把不等式化為，結(jié)合單調(diào)性和定義域，即可求解.
【詳解】
由題意，函數(shù)滿足，
令，則
函數(shù)是定義域內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，
由于，關(guān)于的不等式可化為，
即，所以且，解得，
不等式的解集為.
故選：B
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：構(gòu)造法求解與共存問題的求解策略：
對于不給出具體函數(shù)的解析式，只給出函數(shù)和滿足的條件，需要根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造抽象函數(shù)，再根據(jù)條件得出構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用單調(diào)性解決問題，常見類型：（1）型；（2）型；（3）為常數(shù)型.

【題型專練】
1.已知可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．當(dāng)時，，則不等式的解集為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，并依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去求解不等式的解集.
【詳解】
當(dāng)時，，則
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又可導(dǎo)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)
則是上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，
由，可得，則，
則時，不等式
可化為
又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，
則有，解之得
故選：D
2.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).當(dāng)時，，則不等式的解集為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，則經(jīng)變形后得，進(jìn)而得到在時單增，結(jié)合單調(diào)性證出是定義在上的偶函數(shù)，再去“f”，即可求解
【詳解】
令，，
當(dāng)時，，，即函數(shù)單調(diào)遞增．
又，時，，
是定義在上的奇函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù)．
不等式，
即，即，
，①，
又，故②，
由①②得不等式的解集是．
故選：C
【點(diǎn)睛】
本題考查利用構(gòu)造函數(shù)法解不等式，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性的應(yīng)用，一般形如的式子，先構(gòu)造函數(shù)，再設(shè)法證明的奇偶性與增減性，進(jìn)而去“f”解不等式
3.奇函數(shù)定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)是，當(dāng)時，有，則關(guān)于的不等式的解集為
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【詳解】
根據(jù)題意，可構(gòu)造函數(shù) 其導(dǎo)數(shù)
當(dāng)時，有，其導(dǎo)數(shù)在上為增函數(shù)，又由為奇函數(shù)，即，
則，即函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時，，不等式
又由函數(shù)為偶函數(shù)且在上激增，
則解得
此時的取值范圍為；
當(dāng)時，，不等式
同理解得此時的取值范圍為；
綜合可得：不等式的解集為
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性．
題型六：構(gòu)造型函數(shù)解不等式
【例1】設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對任意的實(shí)數(shù)都有，當(dāng)時，.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【詳解】
構(gòu)造函數(shù)法
令，則，函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)椋?，故為奇函?shù)，于是在上為減函數(shù)，而不等式可化為，則，即.選A.
【例2】設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對任意的，有，且在上有，則不等式的解集是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
構(gòu)造函數(shù)，由已知得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性解抽象不等式，可得選項(xiàng).
【詳解】
設(shè)，
∵，即，即，故是奇函數(shù)，
由于函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，所以，函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)在上連續(xù).
∵在上有，∴，
故在單調(diào)遞增，
又∵是奇函數(shù)，且在上連續(xù)，∴在上單調(diào)遞增，
∵，
∴，
即，∴，故，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，從而求解抽象不等式的問題，構(gòu)造合適的函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，屬于較難題.
【例3】（2022·重慶八中高二期末）已知函數(shù)滿足：，，且．若角滿足不等式，則的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，，并判斷函數(shù)為上的奇函數(shù)，再根據(jù)，可得在上單調(diào)遞減，最后進(jìn)行求解得的取值范圍.
【詳解】
解：構(gòu)造函數(shù)，，
由化為：，
，\函數(shù)為上的奇函數(shù)，
則，在上單調(diào)遞減．
若角滿足不等式，則，
即，，解得：．
故選：A.
【題型專練】
1.設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)，都有，當(dāng)時，，若，則實(shí)數(shù)的最小值是（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)等式可得出函數(shù)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得知函數(shù)在上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的性質(zhì)得出該函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得出，利用函數(shù)的單調(diào)性和偶函數(shù)的性質(zhì)解出該不等式即可.
【詳解】
構(gòu)造函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)，都有，
則，
所以，函數(shù)為偶函數(shù)，.
當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由偶函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，即，
即，則有，
由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，解得，
因此，實(shí)數(shù)的最小值為，故選A.
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)不等式的求解，同時也涉及函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判斷，難點(diǎn)在于根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)，并利用定義判斷奇偶性以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.
2.設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對于任意的實(shí)數(shù)，有，當(dāng)時，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
構(gòu)造，由，可得為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】
，
令，且，則在上單調(diào)遞減.
又

為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減.
，且
代入得，
轉(zhuǎn)化為，即
由于在上遞減，則，解得：
故選：C.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：利用進(jìn)行抽象函數(shù)構(gòu)造，常見類型：
（1）利用與的構(gòu)造，常用構(gòu)造形式有：出現(xiàn)“”用，出現(xiàn)“”用；
（2）利用與的構(gòu)造，常用構(gòu)造形式有：出現(xiàn)，構(gòu)造函數(shù)；出現(xiàn)，構(gòu)造函數(shù)；
3.設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，，有，在上有，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而研究其單調(diào)性和奇偶性，
將變形為，再利用的單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】
令，
，有，．
所以為R上的偶函數(shù)，又在上有，
所以，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
又，所以，
即，，解之得，.
故選B.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查構(gòu)造函數(shù)并研究其單調(diào)性和奇偶性、利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，屬難題.
題型七：復(fù)雜型：二次構(gòu)造
【例1】已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若，，則在上（???????）
A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．有極大值 D．有極小值
【答案】A
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，，可得出，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，可得出的符號，由此可得出結(jié)論.
【詳解】
構(gòu)造函數(shù)，則，
所以，，則，
設(shè)，則，，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.
所以，，對任意的恒成立，
因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
結(jié)論點(diǎn)睛：四種常用的導(dǎo)數(shù)構(gòu)造法：
（1）對于不等式（或），構(gòu)造函數(shù)；
（2）對于不等式（或），構(gòu)造函數(shù)；
（3）對于不等式（或）（其中為常數(shù)且），構(gòu)造函數(shù)；
（4）對于不等式（或）（其中為常數(shù)），構(gòu)造函數(shù).
【例2】定義在上的函數(shù)滿足，且，則（???????）
A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值
C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值
【答案】D
【解析】
【分析】
將代入，推出，然后再判斷左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號，從而確定的極值情況.
【詳解】
因?yàn)椋遥?br /> 所以，①
令，則，
又，記，
所以.
當(dāng)時，，遞減；當(dāng)時，，遞增.
結(jié)合①當(dāng)時，，所以的最小值為0，即，
因?yàn)?，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號），所以既沒有最大值，也沒有最小值.
故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值，還考查了構(gòu)造轉(zhuǎn)化求解問題的能力,屬于較難題.
【題型專練】
1.設(shè)函數(shù)滿足：，，則時，（???????）
A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值
C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，又無極小值
【答案】B
【解析】
【分析】
首先構(gòu)造函數(shù)，由已知得，從而有，令，求得，這樣可確定是增函數(shù)，由可得的正負(fù)，確定的單調(diào)性與極值．
【詳解】
，
令，則，
所以，
令，則，
即，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，而，
所以當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；
故有極小值，無極大值，故選B.
【點(diǎn)睛】
本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，，求導(dǎo)后表示出，然后再一次令，確定單調(diào)性，確定正負(fù)，得出結(jié)論．
2.函數(shù)滿足：，，則當(dāng)時，（???????）
A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值
C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，也無極小值
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)已知條件，構(gòu)造函數(shù)，則，且，求出，再進(jìn)行二次求導(dǎo)，研究函數(shù)的正負(fù)，得到在上單調(diào)遞減，由此判斷函數(shù)的極值情況.
【詳解】
因?yàn)?，所以?br /> 令，則，且，
所以，
令，則，
令，解得：，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值，
則，故在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
則當(dāng)時，既無極大值，也無極小值.
故選：D
【點(diǎn)睛】
（1）求極值需研究函數(shù)的單調(diào)性；
（2）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的本質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小.

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