第08講函數(shù)模型及其應(yīng)用（五大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第08講函數(shù)模型及其應(yīng)用
目錄
1、幾種常見的函數(shù)模型：
2、解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：
（1）審題：弄清題意，識(shí)別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；
（2）建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用已有知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；
（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；
（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．
題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型
【例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個(gè)重要依據(jù).在一個(gè)限速為的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但還是相碰了.事后現(xiàn)場(chǎng)勘查，測(cè)得甲車的剎車距離略超過，乙車的剎車距離略超過.已知甲車的剎車距離與車速之間的關(guān)系為，乙車的剎車距離與車速之間的關(guān)系為.請(qǐng)判斷甲、乙兩車哪輛車有超速現(xiàn)象（）
A．甲、乙兩車均超速B．甲車超速但乙車未超速
C．乙車超速但甲車未超速D．甲、乙兩車均未超速
【答案】C
【解析】對(duì)于甲車，令，即
解得（舍）或，所以甲未超速；
對(duì)于甲車，令，即
解得（舍）或，所以乙超速；
故選:C.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖為某小區(qū)七人足球場(chǎng)的平面示意圖，為球門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線上距離邊線米的點(diǎn)處接球，此時(shí)，假設(shè)甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時(shí)甲離上方端線的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：，，
所以，且，
所以，
又，所以，解得，即，
設(shè)，，則，
，所以在中，
有，
令，所以，
所以，
因?yàn)椋?，則要使最大，
即要取得最小值，即取得最大值，
即在取得最大值，
令，，
所以的對(duì)稱軸為：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即最大，此時(shí)，即，
所以，所以，即為獲得最佳的射門角度（即最大），
則射門時(shí)甲離上方端線的距離為：.
故選：B.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·云南·統(tǒng)考二模）下表是某批發(fā)市場(chǎng)的一種益智玩具的銷售價(jià)格：
張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買這種玩具，贈(zèng)送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（）
A．116件B．110件C．107件D．106件
【答案】C
【解析】設(shè)購(gòu)買的件數(shù)為，花費(fèi)為元，
則，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以最多可購(gòu)買這種產(chǎn)品件，
故選：C.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機(jī)遇，開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另投入成本萬(wàn)元.其中，若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價(jià)為70元，則該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為（）
A．720萬(wàn)元B．800萬(wàn)元
C．875萬(wàn)元D．900萬(wàn)元
【答案】C
【解析】該企業(yè)每年利潤(rùn)為
當(dāng)時(shí)，
在時(shí)，取得最大值；
當(dāng)時(shí)，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），即在時(shí)，取得最大值；
由，可得該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為.
故選：C
【解題方法總結(jié)】
1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個(gè)問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值．
2、構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，不重不漏．
題型二：對(duì)勾函數(shù)模型
【例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某企業(yè)投入萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加萬(wàn)元．為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為，設(shè)備年平均費(fèi)用為萬(wàn)元，
則年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為，
所以年的平均費(fèi)用為（萬(wàn)元），
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為.
故選：B.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時(shí)期內(nèi)，成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2018年1月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營(yíng)發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x萬(wàn)件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t萬(wàn)元之間滿足函數(shù)關(guān)系式已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬(wàn)元，產(chǎn)品每1萬(wàn)件進(jìn)貨價(jià)格為32萬(wàn)元，若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)貨價(jià)的”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，則該公司最大月利潤(rùn)是___________萬(wàn)元.
【答案】
【解析】根據(jù)題意，得到，進(jìn)而得到月利潤(rùn)的表示，結(jié)合基本不等式，即可求解.由題意，產(chǎn)品的月銷量萬(wàn)件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用萬(wàn)元之間滿足，
即，
所以月利潤(rùn)為
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，
即月最低利潤(rùn)為萬(wàn)元.
故答案為: .
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）迷你KTV是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場(chǎng)中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中，，曲線段是圓心角為的圓弧，設(shè)該迷你KTV橫截面的面積為，周長(zhǎng)為，則的最大值為___________．（本題中取進(jìn)行計(jì)算）
【答案】
【解析】設(shè)圓弧的半徑為，根據(jù)題意可得：
令，則
根據(jù)基本不等式，，當(dāng)卻僅當(dāng) ，即時(shí)取“=”.
，時(shí)，
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形截去同心扇形所得部分．已知扇環(huán)周長(zhǎng)，大扇形半徑，設(shè)小扇形半徑，弧度，則
①關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式_________．
②若雕刻費(fèi)用關(guān)于x的解析式為，則磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為________．
【答案】，；
【解析】由題意可知，，，，
所以，，，
扇環(huán)周長(zhǎng)，
解得，
磚雕面積即為圖中環(huán)形面積，記為，
則
，
即雕刻面積與雕刻費(fèi)用之比為，
則，
令，則，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)（即）取等號(hào)，
所以磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為.
故答案為：，；
【解題方法總結(jié)】
1、解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；
2、利用模型求解最值時(shí)，注意取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件．
題型三：指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型
【例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng)．該企業(yè)2021年初有資金150萬(wàn)元，資金的年平均增長(zhǎng)率固定，每三年政府將補(bǔ)貼10萬(wàn)元．若要實(shí)現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬(wàn)元的目標(biāo)，資金的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)為（參考值：）（）
A．10%B．20%C．22%D．32%
【答案】B
【解析】由題意，設(shè)年平均增長(zhǎng)率為，則，
所以，故年平均增長(zhǎng)率為20%.
故選：B
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）近年來，天然氣表觀消費(fèi)量從2006年的不到m3激增到2021年的m3. 從2000年開始統(tǒng)計(jì)，記k表示從2000年開始的第幾年，，.經(jīng)計(jì)算機(jī)擬合后發(fā)現(xiàn)，天然氣表觀消費(fèi)量隨時(shí)間的變化情況符合，其中是從2000年后第k年天然氣消費(fèi)量，是2000年的天然氣消費(fèi)量，是過去20年的年復(fù)合增長(zhǎng)率.已知2009年的天然氣消費(fèi)量為m3，2018年的天然氣消費(fèi)量為m3，根據(jù)擬合的模型，可以預(yù)測(cè)2024年的天然氣消費(fèi)量約為（）
（參考數(shù)據(jù)：，
A．m3B．m3
C．m3D．m3
【答案】B
【解析】據(jù)題意，，兩式相除可得，
又因?yàn)椋?br>故選：B．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）血氧飽和度是血液中被氧結(jié)合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結(jié)合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).正常人體的血氧飽和度一般情況下不低于，否則為供養(yǎng)不足.在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型:描述血氧飽和度（單位）隨機(jī)給氧時(shí)間（單位:時(shí)）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，為參數(shù).已知，給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為，若使血氧飽和度達(dá)到正常值，則給氧時(shí)間至少還需要（）小時(shí).（參考數(shù)據(jù):）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意可得，，則，，
所以，
則使血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時(shí)間至少還需要小時(shí).
故選：D.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學(xué)物質(zhì)，是昆蟲之間起化學(xué)通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學(xué)分子語(yǔ)言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲信息素在生產(chǎn)中有較多的應(yīng)用，尤其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的病蟲害的預(yù)報(bào)和防治中較多使用．研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測(cè)得的信息素濃度y滿足，其中k，a為非零常數(shù)．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測(cè)得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為，則b＝（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】由題意，，
所以），
即．又，所以．
因?yàn)?，所以?br>故選：B．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動(dòng)物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動(dòng)物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)初始狀態(tài)為，則，，
又，，即，
，，，，．
故選：D．
【解題方法總結(jié)】
1、在解題時(shí)，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來越快（底數(shù)大于1）的一類函數(shù)模型，與增長(zhǎng)率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型．
2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求解最值問題．
題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問題
【例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：，其中為時(shí)間（單位：），為環(huán)境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度），假設(shè)在室內(nèi)溫度為的情況下，一桶咖啡由降低到需要.則的值為_________．
【答案】
【解析】由題意，把，，，代入中，
得，所以，
所以，解得.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)碳14會(huì)按照確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，照此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量與死亡時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，（其中為生物死亡之初體內(nèi)的碳14含量，為死亡時(shí)間（單位：年），通過測(cè)定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為，則該生物的死亡時(shí)間大約是______年前．
【答案】
【解析】由題意，生物體內(nèi)碳14含量與死亡時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，
因?yàn)闇y(cè)定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為，
令，可得，所以，解得年.
故答案為：年.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）隨時(shí)間（小時(shí)）變化的規(guī)律近似滿足表達(dá)式《酒后駕車與醉酒駕車的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)處罰》規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量不得超過毫克/毫升此駕駛員至少要過小時(shí)后才能開車___________.（精確到小時(shí)）
【答案】4
【解析】當(dāng)時(shí)，由得，
解得，舍去；
當(dāng)時(shí)，由得，即，
解得，
因?yàn)?，所以此駕駛員至少要過4小時(shí)后才能開車.
故答案為：4
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）能源是國(guó)家的命脈，降低能源消耗費(fèi)用是重要抓手之一，為此，某市對(duì)新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層. 某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價(jià)，每厘米厚的隔熱層造價(jià)成本是9萬(wàn)元人民幣. 又根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30 年間的每年的能源消耗費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度（單位：厘米）滿足關(guān)系：，經(jīng)測(cè)算知道，如果不建隔熱層，那么30年間的每年的能源消耗費(fèi)用為10萬(wàn)元人民幣. 設(shè)為隔熱層的建造費(fèi)用與共30年的能源消耗費(fèi)用總和，那么使達(dá)到最小值時(shí)，隔熱層厚度__________厘米.
【答案】
【解析】由題意得，當(dāng)時(shí)，，解得，
又，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某地在20年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長(zhǎng)，GDP的值（單位，億元）與時(shí)間（單位：年）之間的關(guān)系為，其中為時(shí)的值.假定，那么在時(shí)，GDP增長(zhǎng)的速度大約是___________.（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：，當(dāng)取很小的正數(shù)時(shí)，
【答案】0.52
【解析】由題可知，
所以，
所以,
即GDP增長(zhǎng)的速度大約是.
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵
（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．
（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．
（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn)．
題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題
【例5】（2023·浙江·高三專題練習(xí)）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長(zhǎng)的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為120°的等腰梯形（如圖）水渠底面與側(cè)面的修建造價(jià)均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬(wàn)元，當(dāng)過水橫斷面面積最大時(shí)，水果的深度（即梯形的高）約為（）（參考數(shù)據(jù)：）
A．0.58米B．0.87米C．1.17米D．1.73米
【答案】B
【解析】如圖設(shè)橫截面為等腰梯形，于，，
要使水橫斷面面積最大，則此時(shí)資金3萬(wàn)元都用完，
則，解得米，
設(shè)，則，故，且，
梯形的面積，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，
即當(dāng)過水橫斷面面積最大時(shí)，水果的深度（即梯形的高）約為0.87米.
故選：B.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·北京·高三北京市八一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質(zhì)減少50%，若要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需要過濾（）
（參考數(shù)據(jù)：）
A．2次B．3次C．4次D．5次
【答案】D
【解析】設(shè)經(jīng)過次過濾后，水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，
則，即，
不等式兩邊取常用對(duì)數(shù)得：，解得：，
故至少需要過濾5次.
故選：D
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿足方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，得
因?yàn)椋?br>所以，
即，
解得，
所以
【解題方法總結(jié)】
構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟
（1）建模：抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；
（2）推理、演算：對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；
（3）評(píng)價(jià)、解釋：對(duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)、解釋、返回到原來的實(shí)際問題中去，得到實(shí)際問題的解．
1.（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69) （）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?，，所以，所以?br>設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為天，
則，所以，所以，
所以天.
故選：B.
2.（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（）
A．10名B．18名C．24名D．32名
【答案】B
【解析】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，
，故至少需要志愿者名.
故選：B
【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
3.（2018·浙江·高考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一，凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為，，，則當(dāng)時(shí)，___________，___________．
【答案】
【解析】考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異．
（2）理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”等術(shù)語(yǔ)的含義．
（3）會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用．
2020年II卷第3題，5分
2020年I卷第6題，5分
高考對(duì)函數(shù)模型的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．2024年高考可能結(jié)合函數(shù)與生活應(yīng)用進(jìn)行考察，對(duì)學(xué)生建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力綜合考察．
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
，為常數(shù)且
反比例函數(shù)模型
，為常數(shù)且
二次函數(shù)模型
，，為常數(shù)且
指數(shù)函數(shù)模型
，，為常數(shù)，，，
對(duì)數(shù)函數(shù)模型
，，為常數(shù)，，，
冪函數(shù)模型
，為常數(shù)，
一次購(gòu)買件數(shù)
5-10件
11-50件
51-100件
101-300件
300件以上
每件價(jià)格
37元
32元
30元
27元
25元

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