\l "_Tc168140207" 01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 PAGEREF _Tc168140207 \h 2
\l "_Tc168140208" 02 知識導(dǎo)圖·思維引航 PAGEREF _Tc168140208 \h 3
\l "_Tc168140209" 03 考點突破·題型探究 PAGEREF _Tc168140209 \h 4
\l "_Tc168140210" 知識點1：幾種常見的函數(shù)模型 PAGEREF _Tc168140210 \h 4
\l "_Tc168140211" 知識點2：解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟 PAGEREF _Tc168140211 \h 5
\l "_Tc168140212" 題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型 PAGEREF _Tc168140212 \h 6
\l "_Tc168140213" 題型二：對勾函數(shù)模型 PAGEREF _Tc168140213 \h 9
\l "_Tc168140214" 題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型 PAGEREF _Tc168140214 \h 13
\l "_Tc168140215" 題型四：已知函數(shù)模型的實際問題 PAGEREF _Tc168140215 \h 15
\l "_Tc168140216" 題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題 PAGEREF _Tc168140216 \h 19
\l "_Tc168140217" 04真題練習(xí)·命題洞見 PAGEREF _Tc168140217 \h 23
\l "_Tc168140218" 05課本典例·高考素材 PAGEREF _Tc168140218 \h 25
\l "_Tc168140219" 06易錯分析·答題模板 PAGEREF _Tc168140219 \h 30
\l "_Tc168140220" 易錯點：函數(shù)模型應(yīng)用錯誤 PAGEREF _Tc168140220 \h 30
\l "_Tc168140221" 答題模板：數(shù)學(xué)建模 PAGEREF _Tc168140221 \h 30
知識點1：幾種常見的函數(shù)模型
【診斷自測】近年來，天然氣表觀消費量從2006年的不到m3激增到2021年的m3. 從2000年開始統(tǒng)計，記k表示從2000年開始的第幾年，，.經(jīng)計算機擬合后發(fā)現(xiàn)，天然氣表觀消費量隨時間的變化情況符合，其中是從2000年后第k年天然氣消費量，是2000年的天然氣消費量，是過去20年的年復(fù)合增長率.已知2009年的天然氣消費量為m3，2018年的天然氣消費量為m3，根據(jù)擬合的模型，可以預(yù)測2024年的天然氣消費量約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，
A．m3B．m3
C．m3D．m3
【答案】B
【解析】據(jù)題意，，兩式相除可得，
又因為，
故選：B．
知識點2：解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟
（1）審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；
（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；
（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；
（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題．
【診斷自測】長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)＝×100）來衡量每座水庫的水位情況．假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：
（ⅰ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；
（ⅱ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；
（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變．
記x為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個y關(guān)于x的函數(shù)解析式：
①；②；③；④．
則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的個數(shù)為（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】① ，
該函數(shù)在時函數(shù)值為，超過了范圍，不合題意；
② 為增函數(shù)，且
且，則，符合題意；
③ ，當(dāng)時，不合題意
④ ，當(dāng)時，，
故該函數(shù)在上單調(diào)遞增，又
設(shè)
即，
易知在上為減函數(shù)
由在上連續(xù)，且，
，
則存在，有
當(dāng)，；
當(dāng)，；
故在遞增，在遞減.
，
故上
即上
故④符合題意，
所以②④滿足題意，
故選：B.

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型
【典例1-1】我國的煙花名目繁多，其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一．制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂．如果煙花距地面的高度h（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關(guān)系為，那么煙花沖出后在爆裂的最佳時刻距地面高度約為（ ）
A．26米B．28米C．31米D．33米
【答案】C
【解析】，.
故選：C
【典例1-2】（2024·云南·二模）下表是某批發(fā)市場的一種益智玩具的銷售價格：
張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（ ）
A．116件B．110件C．107件D．106件
【答案】C
【解析】設(shè)購買的件數(shù)為，花費為元，
則，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以最多可購買這種產(chǎn)品件，
故選：C.
【方法技巧】
1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值．
2、構(gòu)造分段函數(shù)時，要準(zhǔn)確、簡潔，不重不漏．
【變式1-1】（2024·安徽淮南·一模）我國在2020年9月22日在聯(lián)合國大會提出，二氧化碳排放力爭于2030年前實現(xiàn)碳達峰，爭取在2060年前實現(xiàn)碳中和．為了響應(yīng)黨和國家的號召，某企業(yè)在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該技術(shù)處理總成本y（單位：萬元）與處理量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，當(dāng)處理量x等于多少噸時，每噸的平均處理成本最少（ ）
A．120B．200C．240D．400
【答案】D
【解析】由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，取得最小值240，
當(dāng) 時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時取得最小值200，
綜上，當(dāng)每月得理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低為200元，
故選：D
【變式1-2】（2024·高三·黑龍江佳木斯·期中）在新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測是新冠肺炎確診的有效快捷手段，在某醫(yī)院成為新冠肺炎核酸檢測定點醫(yī)院并開展檢測工作的第n天，設(shè)每個檢測對象從接受檢測到檢測報告生成的平均耗時為（單位：小時），已知與n之間的函數(shù)關(guān)系為（，為常數(shù)），并且第16天的檢測過程平均耗時16小時，第64天和第67天的檢測過程平均耗時均為8小時，那么可得第49天的檢測過程平均耗時大約為（ ）
A．7小時B．8小時C．9小時D．10小時
【答案】C
【解析】由已知可得，當(dāng)時，函數(shù)為定值；當(dāng)時，顯然函數(shù)為單調(diào)函數(shù).則根據(jù)數(shù)值分析可得， .所以有，解得.
因為，所以.
故選：C.
【變式1-3】近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大方便某共享單車公司計劃在甲、乙兩座城市共投資萬元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每座城市至少要投資萬元由前期市場調(diào)研可知：甲城市收益單位：萬元與投入單位：萬元滿足，乙城市收益單位：萬元與投入單位：萬元滿足，則投資這兩座城市收益的最大值為 （ ）
A．萬元B．萬元C．萬元D．萬元
【答案】B
【解析】由題意可知：，
設(shè)投資這兩座城市收益為，
則有，
令，則有，
該二次函數(shù)的對稱軸為，且開口向下，
所以，
故選：B
題型二：對勾函數(shù)模型
【典例2-1】（2024·廣東韶關(guān)·二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計算公式是，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單位：元）是（ ）
A．10000B．10480C．10816D．10818
【答案】C
【解析】設(shè)矩形場地的長為米，則寬為米，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
所以平整這塊場地所需的最少費用為元.
故選：C
【典例2-2】（2024·高三·北京朝陽·期末）根據(jù)經(jīng)濟學(xué)理論，企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)量受勞動投入、資本投入和技術(shù)水平的影響，用表示產(chǎn)量，表示勞動投入，表示資本投入，表示技術(shù)水平，則它們的關(guān)系可以表示為，其中.當(dāng)不變，與均變?yōu)樵瓉淼谋稌r，下面結(jié)論中正確的是（ ）
A．存在和，使得不變
B．存在和，使得變?yōu)樵瓉淼谋?br>C．若，則最多可變?yōu)樵瓉淼谋?br>D．若，則最多可變?yōu)樵瓉淼谋?br>【答案】D
【解析】設(shè)當(dāng)不變，與均變?yōu)樵瓉淼谋稌r，，
對于A，若，則，故A錯誤；
對于B，若和，則，故B錯誤；
對于C，若，則，即若，故C錯誤；
對于D，若，由，，可得，故D正確.
故選：D.
【方法技巧】
1、解決此類應(yīng)用題一定要注意函數(shù)定義域；
2、利用求解最值時，注意取等的條件．
【變式2-1】某合作社需要分裝一批蔬菜.已知這批蔬菜只由一名男社員分裝時，需要12天完成，只由一名女社員分裝時，需要18天完成.為了讓市民盡快吃到這批蔬菜，要求一天內(nèi)分裝完畢.由于現(xiàn)有的男?女社員人數(shù)都不足以單獨完成任務(wù)，所以需要若干名男社員和若干名女社員共同分裝.已知分裝這種蔬菜時會不可避免地造成一些損耗.根據(jù)以往經(jīng)驗，這批蔬菜分裝完畢后，參與任務(wù)的所有男社員會損耗蔬菜共80千克，參與任務(wù)的所有女社員會損耗蔬菜共30千克.則參與分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為（ ）
A．10B．15C．30D．45
【答案】B
【解析】設(shè)安排男社員名，女社員名，
根據(jù)題意，可得，平均損耗蔬菜量之和為，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
則分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為15.
故選：B.
【變式2-2】（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測）足球是一項深受人們喜愛的體育運動.如圖，現(xiàn)有一個11人制的標(biāo)準(zhǔn)足球場，其底線寬，球門寬，且球門位于底線的中間，在某次比賽過程中，攻方球員帶球在邊界線上的點處起腳射門，當(dāng)最大時，點離底線的距離約為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，所以；
記可得；
，
當(dāng)取最大時，取最大即可，
易知，此時取到最大值，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，
將代入可得.
故選：C
【變式2-3】（2024·黑龍江·二模）“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因為四邊形木板的一個內(nèi)角滿足，如圖，
設(shè)，由題設(shè)可得圓的直徑為，
故，因，為三角形內(nèi)角，故，
故，
故，
故，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
同理，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?br>故四邊形周長的最大值為，
故選：A.
題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型
【典例3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）遺忘曲線（又稱作“艾賓浩斯記憶曲線”）由德國心理學(xué)家艾·賓浩斯（H. Ebbinghaus）研究發(fā)現(xiàn)，描述了人類大腦對新事物遺忘的規(guī)律．人體大腦對新事物遺忘的循序漸進的直觀描述，人們可以從遺忘曲線中掌握遺忘規(guī)律并加以利用，從而提升自我記憶能力．該曲線對人類記憶認知研究產(chǎn)生了重大影響．陳同學(xué)利用信息技術(shù)擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率與初次記憶經(jīng)過的時間（小時）的大致關(guān)系：若陳同學(xué)需要在明天15時考語文考試時擁有復(fù)習(xí)背誦記憶的50%，則他復(fù)習(xí)背誦時間需大約在（ ）
A．14：30B．14：00C．13：30D．13：00
【答案】A
【解析】令，，，
∵，
∴他在考試前半小時復(fù)習(xí)即可，
∴他復(fù)習(xí)背誦時間需大約在14：30，
故選：A.
【典例3-2】（2024·陜西渭南·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)研究可知：在室溫下，某種綠茶用的水泡制，經(jīng)過后茶水的溫度為，且.當(dāng)茶水溫度降至?xí)r飲用口感最佳，此時茶水泡制時間大約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：）
A．B．C．8minD．
【答案】B
【解析】由題意可知，當(dāng)時，，則，解得，
所以，
當(dāng)時，，即，
則
，
所以茶水泡制時間大的為7 min.
故選：B.
【方法技巧】
1、在解題時，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的函數(shù)模型，與增長率、銀行利率等有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型．
2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型問題時，一般先需通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，然后再借助函數(shù)圖像求解最值問題．
【變式3-1】為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．現(xiàn)在加密密鑰為，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，則解密后得到的明文是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】由題可知加密密鑰為，
由已知可得，當(dāng)時，，
所以，解得，
故，顯然令，即，
解得，即．
故選：A.
【變式3-2】（2024·廣東梅州·模擬預(yù)測）某科創(chuàng)公司新開發(fā)了一種溶液產(chǎn)品，但這種產(chǎn)品含有的雜質(zhì)，按市場要求雜質(zhì)含量不得超過，現(xiàn)要進行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少，要使產(chǎn)品達到市場要求，對該溶液過濾的最少次數(shù)為 ．
（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】
【解析】設(shè)至少需要過濾次，可得，即，
兩邊取對數(shù)，可得，所以，
又因為，所以，所以使產(chǎn)品達到市場要求的過濾次數(shù)最少為次．
故答案為：.
【變式3-3】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）“阿托秒”是一種時間的國際單位，“阿托秒”等于秒，原子核內(nèi)部作用過程的持續(xù)時間可用“阿托秒”表示.《莊子?天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，如果把“一尺之棰”的長度看成1米，按照此法，至少需要經(jīng)過 天才能使剩下“棰”的長度小于光在2“阿托秒”內(nèi)走過的距離.（參考數(shù)據(jù)：光速為米/秒，）
【答案】31
【解析】依題意，光在2“阿托秒”內(nèi)走的距離為米，
經(jīng)過天后，剩余的長度米，由，得，
兩邊同時取對數(shù)，得，
而，則，所以至少需要經(jīng)過31天才能使其長度小于光在2“阿托秒”內(nèi)走的距離.
故答案為：31.
題型四：已知函數(shù)模型的實際問題
【典例4-1】（2024·北京昌平·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開始，經(jīng)過tmin后的溫度為，可選擇函數(shù)來近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達到最佳飲用口感時，需要放置的時間最接近的是（ ）
（參考數(shù)據(jù)：）
A．B．C．6minD．
【答案】B
【解析】由題可知，函數(shù)，
令，則，
兩邊同時取對可得：，即，
即.
故選：B.
【典例4-2】（2024·廣東茂名·一模）Gmpertz曲線用于預(yù)測生長曲線的回歸預(yù)測，常見的應(yīng)用有：代謝預(yù)測，腫瘤生長預(yù)測，有限區(qū)域內(nèi)生物種群數(shù)量預(yù)測，工業(yè)產(chǎn)品的市場預(yù)測等，其公式為：（其中，為參數(shù)）.某研究員打算利用該函數(shù)模型預(yù)測公司新產(chǎn)品未來的銷售量增長情況，發(fā)現(xiàn).若表示該新產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量，估計明年的產(chǎn)量將是今年的倍，那么的值為（為自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得到，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
依題意，明年的產(chǎn)量將是今年的倍，得：，
，即，解得.
，.
故選：A.
【方法技巧】
求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵
（1）認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．
（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，求出模型中的待定系數(shù)．
（3）利用該函數(shù)模型，求解實際問題，并進行檢驗．
【變式4-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若一段河流的蓄水量為立方米，每天水流量為立方米，每天往這段河流排水立方米的污水，則天后河水的污染指數(shù)為初始值，．現(xiàn)有一條被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以當(dāng)前的污染指數(shù)為初始值，若從現(xiàn)在開始停止排污水，要使河水的污染指數(shù)下降到初始值的，需要的天數(shù)大約是（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．98B．105C．117D．130
【答案】C
【解析】由題意可知：，，所以
設(shè)約天后，河水的污染指數(shù)下降到初始值的，即，
所以，
故選：C.
【變式4-2】（2024·四川涼山·三模）工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進行排放，廢氣中污染物含量（單位：mg/L）與過濾時間小時的關(guān)系為（，均為正的常數(shù)）．已知前5小時過濾掉了10%污染物，那么當(dāng)污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過（ ）（最終結(jié)果精確到1h，參考數(shù)據(jù)：，）
A．43hB．38hC．33hD．28h
【答案】D
【解析】∵廢氣中污染物含量與過濾時間小時的關(guān)系為，
令，得廢氣中初始污染物含量為，
又∵前5小時過濾掉了10%污染物，
∴，則，
∴當(dāng)污染物過濾掉50%時，，
則，
∴當(dāng)污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過.
故選：D.
【變式4-3】（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）中國地震臺網(wǎng)測定：2024年4月3日，中國臺灣花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級地震.已知地震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為，2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級地震，則它所釋放出來的能量約是中國臺灣花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級地震的多少倍？（ ）
A．98B．105C．355D．463
【答案】C
【解析】由題設(shè)，
日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級地震所釋放出來的能量，
中國臺灣花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級地震所釋放出來的能量，
所以.
故選：C.
【變式4-4】（2024·江蘇·一模）德國天文學(xué)家約翰尼斯·開普勒根據(jù)丹麥天文學(xué)家第谷·布拉赫等人的觀測資料和星表，通過本人的觀測和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律——繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長a與公轉(zhuǎn)周期T有如下關(guān)系：，其中M為太陽質(zhì)量，G為引力常量．已知火星的公轉(zhuǎn)周期約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長半軸長約為水星的（ ）
A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍
【答案】B
【解析】設(shè)火星的公轉(zhuǎn)周期為，長半軸長為，火星的公轉(zhuǎn)周期為，長半軸長為，
則，，且
得： ，
所以，，即：.
故選：B．
【變式4-5】（2024·山西長治·一模）研究人員用Gmpertz數(shù)學(xué)模型表示治療時長（月）與腫瘤細胞含量的關(guān)系，其函數(shù)解析式為，其中為參數(shù)．經(jīng)過測算，發(fā)現(xiàn)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．記表示第一個月，若第二個月的腫瘤細胞含量是第一個月的，那么的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依題意，，而，則，即，
又，解得，所以.
故選：D
題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題
【典例5-1】有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示：
則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】將各點分別代入各函數(shù)可知，最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是．
故選：D．
【典例5-2】（2024·高三·江西贛州·期末）“打水漂”是一種游戲：按一定方式投擲石片，使石片在水面上實現(xiàn)多次彈跳，彈跳次數(shù)越多越好．小樂同學(xué)在玩“打水漂”游戲時，將一石片按一定方式投擲出去，石片第一次接觸水面時的速度為，然后石片在水面上繼續(xù)進行多次彈跳．不考慮其他因素，假設(shè)石片每一次接觸水面時的速度均為上一次的，若石片接觸水面時的速度低于，石片就不再彈跳，沉入水底，則小樂同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】設(shè)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為，
由題意得，即，得.
因為，
所以，即.
故選：B.
【方法技巧】
構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟
（1）建模：抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型；
（2）推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進行推理或數(shù)學(xué)運算；
（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；
（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題．
【變式5-1】（2024·高三·北京·開學(xué)考試）某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質(zhì)減少50%，若要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需要過濾（ ）
（參考數(shù)據(jù)：）
A．2次B．3次C．4次D．5次
【答案】D
【解析】設(shè)經(jīng)過次過濾后，水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，
則，即，
不等式兩邊取常用對數(shù)得：，解得：，
故至少需要過濾5次.
故選：D
【變式5-2】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）凈水機通過分級過濾的方式使自來水逐步達到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其工作原理中有多次的棉濾芯過濾，其中第一級過濾一般由孔徑為5微米的棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì)，假設(shè)每一層棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，若過濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L，現(xiàn)要滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過2mg/L，則棉濾芯的層數(shù)最少為（參考數(shù)據(jù)：，）（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】A
【解析】設(shè)經(jīng)過層棉濾芯過濾后的大顆粒雜質(zhì)含量為，則，
令，解得，兩邊取常用對數(shù)得，即
即，因為，，
所以，解得，因為，所以的最小值為9．
故選：A
【變式5-3】（2024·湖南衡陽·一模）衡東土菜辣美鮮香，享譽三湘．某衡東土菜館為實現(xiàn)100萬元年經(jīng)營利潤目標(biāo)，擬制定員工的獎勵方案：在經(jīng)營利潤超過6萬元的前提下獎勵，且獎金（單位：萬元）隨經(jīng)營利潤（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不能超過利潤的．下列函數(shù)模型中，符合該點要求的是
（參考數(shù)據(jù)：，
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】對于函數(shù)：，當(dāng)時，，不符合題意；
對于函數(shù)：，當(dāng)時，，不符合題意；
對于函數(shù)：，不滿足遞增，不符合題意；
對于函數(shù)：，滿足，，增函數(shù)，
且，
結(jié)合圖象，與的圖象如圖所示：
符合題意，
故選：．
【變式5-4】（2024·福建福州·二模）經(jīng)多次實驗得到某種型號的汽車每小時耗油量（單位：）與速度（單位：）（）的數(shù)據(jù)如下表：
為描述與的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：，，.選出最符合實際的函數(shù)模型，解決下列問題：某高速公路共有三個車道，分別是外側(cè)車道、中間車道、內(nèi)側(cè)車道，車速范圍分別是，，（單位：）.為使百公里耗油量（單位：）最小，該型號汽車行駛的車道與速度為（ ）
A．在外側(cè)車道以行駛B．在中間車道以行駛
C．在中間車道以行駛D．在內(nèi)側(cè)車道以行駛
【答案】A
【解析】由題意，符合的函數(shù)模型需要滿足在，都可取，且由表可知，隨的增大而增大，則該函數(shù)模型應(yīng)為增函數(shù)，
不符合，
若選擇，則，，，與實際數(shù)據(jù)相差較大，所以不符合，
若選擇，則，，，，，最符合實際，
，
當(dāng)時，取得最小值為.
故選：A
【變式5-5】（2024·浙江·二模）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為120°的等腰梯形（如圖）水渠底面與側(cè)面的修建造價均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬元，當(dāng)過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．0.58米B．0.87米C．1.17米D．1.73米
【答案】B
【解析】如圖設(shè)橫截面為等腰梯形，于，，
要使水橫斷面面積最大，則此時資金3萬元都用完，
則，解得米，
設(shè)，則，故，且，
梯形的面積，
當(dāng)時，，
此時，
即當(dāng)過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為0.87米.
故選：B.
1．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由題意可知：，
對于選項A：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，故A正確；
對于選項B：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B錯誤；
對于選項C：因為，即，
可得，即，故C正確；
對于選項D：由選項A可知：，
且，則，
即，可得，且，所以，故D正確；
故選：ACD.
2．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ））2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：
.
設(shè)，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，得
因為，
所以，
即，
解得，
所以
3．（2020年新高考全國卷Ⅰ數(shù)學(xué)試題（山東卷））基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0 =1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
【答案】B
【解析】因為，，，所以，所以，
設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，
則，所以，所以，
所以天.
故選：B.
1．若某公司生產(chǎn)某種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收入R（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：臺）滿足函數(shù)：．
（1）將利潤（單位：元）表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；
（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（總收入=總成本+利潤）
【解析】（1）由題可知總成本為，
∴．
（2）當(dāng)，，
∴時，有最大值25000；
當(dāng)時，是減函數(shù)，
∴．
∴時，有最大值25000．
即當(dāng)每月生產(chǎn)300臺儀器時，利潤最大，最大利潤為25000元．
2．某地區(qū)上年度電價為0．8元，年用電量為，本年度計劃將電價下降到0．55元至0．75元之間，而用戶期望電價為0．4元．經(jīng)測算，下調(diào)電價后新增用電量和實際電價與用戶的期望電價的差成反比，且比例系數(shù)為（注：若與成反比，且比例系數(shù)為，則其關(guān)系表示為）．該地區(qū)的電力成本價為0．3元．
（1）下調(diào)后的實際電價為（單位：元），寫出新增用電量關(guān)于的函數(shù)解析式；
（2）寫出本年度電價下調(diào)后電力部門的收益（單位：元）關(guān)于實際電價（單位：元）的函數(shù)解析式；（注：收益=實際電量（實際電價－成本價））
（3）設(shè)，當(dāng)電價最低定為多少時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長?
【解析】（1）因為下調(diào)電價后新增用電量和實際電價元，與用戶的期望電價0．4元的差成反比，且比例系數(shù)為，
所以，依題意知用電量關(guān)于的函數(shù)表達式為，
（2）依題意知用電量增至，
所以，電力部門的收益為；
（3）依題意有，
整理得，
解此不等式組得．
答：當(dāng)電價最低定為0．6元仍可保證電力部門的收益比上年至少增長．
3．某商場經(jīng)營一批進價為30元/件的商品，在市場試銷中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x（單位：元）與日銷售量y（單位：件）之間有如下表所示的關(guān)系．
（1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對的對應(yīng)點，根據(jù)畫出的點猜想y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出一個函數(shù)解析式；
（2）設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P（單位：元），根據(jù)上述關(guān)系，寫出P關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求銷售單價為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤？
【解析】（1）如圖，猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)．
將代入得，解得．
∴y與x的一次函數(shù)解析式為．
（2），當(dāng)時，．
∴銷售單價為40元時，才能獲得最大日銷售利潤300元．
4．聲強級（單位：dB）由公式給出，其中I為聲強（單位：）．
（1）一般正常人聽覺能忍受的最高聲強為，能聽到的最低聲強為．求人聽覺的聲強級范圍．
（2）平時常人交談時的聲強約為，求其聲強級．
【解析】解：（1）．
．
因此人聽覺的聲強級范圍為．
（2）．
5．假設(shè)有一套住房的房價從2002年的20萬元上漲到2012年的40萬元，下表給出了兩種價格增長方式，其中是按直線上升的房價，是按指數(shù)增長的房價，t是2002年以來經(jīng)過的年數(shù)．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)的解析式；
（3）完成上表空格中的數(shù)據(jù)，并在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，然后比較兩種價格增長方式的差異．
【解析】解：（1）設(shè)，則，
．
（2）設(shè)（，且），則．
．
（3）圖象如圖．
由圖象可以看出，在前10年，按增長的價格始終高于按增長的價格，但10年后，的價格增長速度很快，遠遠超出的價格并且時間越長，差別越大．
6．某地由于人們健康水平的不斷提高，某種疾病的患病率正以每年15%的比例降低，要將當(dāng)前的患病率降低一半，需要多少年?
【解析】解：設(shè)今年的患病率為a，經(jīng)x年后的患病率為當(dāng)前的一半．則，即．∴大約需要4年．
7．從甲地到乙地的距離約為，經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量（單位：）與速度（單位：）（）的下列數(shù)據(jù)：
為了描述汽車每小時耗油量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：．
（1）選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，并寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）從甲地到乙地，這輛車應(yīng)以什么速度行駛才能使總耗油量最少？
【解析】（1）畫出散點圖如圖
由圖知應(yīng)選擇函數(shù)
將代入函數(shù)解析式得：
，解得：
（2）從甲地到乙地共需小時，設(shè)總耗油量為
則
當(dāng)時，y取最小值
從甲地到乙地，這輛車應(yīng)以的速度行駛才能使總耗油量最少
易錯點：函數(shù)模型應(yīng)用錯誤
易錯分析： 1、忽視函數(shù)定義域；2、計算錯誤或忽視計算過程中的細節(jié).
答題模板：數(shù)學(xué)建模
1、模板解決思路
數(shù)學(xué)建模的思路將問題轉(zhuǎn)化為常見的函數(shù)模型，然后根據(jù)已知條件解決問題.
2、模板解決步驟
第一步：審題
第二步：建模
第三步：解模
第四步：還原
【易錯題1】把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是θ1，空氣的溫度是θ0℃，那么t后物體的溫度θ（單位：）可由公式（k為正常數(shù)）求得.若，將55的物體放在15的空氣中冷卻，則物體冷卻到35所需要的時間為 .
【答案】2
【解析】將，，，
代入得，
所以，
，
所以，
即.
故答案為：2
【易錯題2】一種藥在病人血液中的量保持以上才有療效；而低于病人就有危險.現(xiàn)給某病人靜脈注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時20％的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過 小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效.（附：，，精確到）
【答案】
【解析】設(shè)應(yīng)在病人注射這種藥經(jīng)過小時后再向病人的血液補充這種藥，
則血液中的含藥量與注射后的時間的關(guān)系式為：，
依題意，可得，
整理可得，
所以，即，
由，
所以.
故在起經(jīng)過小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效.
故答案為：
考點要求
考題統(tǒng)計
考情分析
（1）利用函數(shù)模型解決問題
2023年I卷第10題，5分
2020年II卷第3題，5分
2020年I卷第6題，5分
高考對函數(shù)模型的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．2025年高考可能結(jié)合函數(shù)與生活應(yīng)用進行考察，對學(xué)生建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力綜合考察．
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異．
（2）理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義．
（3）會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用．
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
，為常數(shù)且
反比例函數(shù)模型
，為常數(shù)且
二次函數(shù)模型
，，為常數(shù)且
指數(shù)函數(shù)模型
，，為常數(shù)，，，
對數(shù)函數(shù)模型
，，為常數(shù)，，，
冪函數(shù)模型
，為常數(shù)，
一次購買件數(shù)
5-10件
11-50件
51-100件
101-300件
300件以上
每件價格
37元
32元
30元
27元
25元
x
2.01
3
4.01
5.1
6.12
y
3
8.01
15
23.8
36.04
40
60
90
100
120
5.2
6
8.325
10
15.6
聲源
與聲源的距離
聲壓級
燃油汽車
10
混合動力汽車
10
電動汽車
10
40
x
…
30
40
45
50
…
y
…
60
30
15
0
…
t
0
5
10
15
20
/萬元
20
30
40
50
60
/萬元
20
40
80

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