知識梳理.極值與最值
1．函數(shù)的極值
(1)函數(shù)的極小值：
函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．
(2)函數(shù)的極大值：
函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．
2．函數(shù)的最值
(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．
(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．
題型一. 極值、最值的概念
1．函數(shù)y＝xsinx+csx的一個極小值點為（ ）
A．xB．xC．x＝πD．x
【解答】解：y＝f（x）＝xsinx+csx，
∴f′（x）＝sinx+xcsx﹣sinx＝xcsx，
令f′（x）＝0，解得x＝0或xkπ，k∈Z，
易得，函數(shù)在（0，）單調(diào)遞增，（）單調(diào)遞減，故x為函數(shù)的極大值點，
函數(shù)在（，0）單調(diào)遞減，（﹣π，）單調(diào)遞減增故x為函數(shù)的極大值點，
函數(shù)在（）單調(diào)遞減，在（）單調(diào)遞增，x＝π不是極值點，x為函數(shù)的極小值點．
故選：D．
2．（2017·全國2）若x＝﹣2是函數(shù)f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的極值點，則f（x）的極小值為（ ）
A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．1
【解答】解：函數(shù)f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1，
可得f′（x）＝（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，
x＝﹣2是函數(shù)f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的極值點，
可得：f′（﹣2）＝（﹣4+a）e﹣3+（4﹣2a﹣1）e﹣3＝0，即﹣4+a+（3﹣2a）＝0．
解得a＝﹣1．
可得f′（x）＝（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1，
＝（x2+x﹣2）ex﹣1，函數(shù)的極值點為：x＝﹣2，x＝1，
當x＜﹣2或x＞1時，f′（x）＞0函數(shù)是增函數(shù)，x∈（﹣2，1）時，函數(shù)是減函數(shù)，
x＝1時，函數(shù)取得極小值：f（1）＝（12﹣1﹣1）e1﹣1＝﹣1．
故選：A．
3．（2013·全國2）已知函數(shù)f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．?x0∈R，f（x0）＝0
B．函數(shù)y＝f（x）的圖象是中心對稱圖形
C．若x0是f（x）的極小值點，則f（x ）在區(qū)間（﹣∞，x0）上單調(diào)遞減
D．若x0是f（x）的極值點，則f′（x0 ）＝0
【解答】解：
A、對于三次函數(shù)f （x ）＝x3+ax2+bx+c，
A：由于當x→﹣∞時，y→﹣∞，當x→+∞時，y→+∞，
故?x0∈R，f（x0）＝0，故A正確；
B、∵f（x）+f（x）＝（x）3+a（x）2+b（x）+c+x3+ax2+bx+c2c，
f（）＝（）3+a（）2+b（）+cc，
∵f（x）+f（x）＝2f（），
∴點P（，f（））為對稱中心，故B正確．
C、若取a＝﹣1，b＝﹣1，c＝0，則f（x）＝x3﹣x2﹣x，
對于f（x）＝x3﹣x2﹣x，∵f′（x）＝3x2﹣2x﹣1
∴由f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，）∪（1，+∞）
由f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（，1）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（﹣∞，），（1，+∞），減區(qū)間為：（，1），
故1是f（x）的極小值點，但f（x ）在區(qū)間（﹣∞，1）不是單調(diào)遞減，故C錯誤；
D：若x0是f（x）的極值點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義，則f′（x0 ）＝0，故D正確．
由于該題選擇錯誤的，故選：C．
4．已知函數(shù)f（x）＝x3+ax2﹣4x+5在x＝﹣2處取極值（a∈R）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[﹣3，3]上的最大值．
【解答】解：（1）由f（x）＝x3+ax2﹣4x+5，得f'（x）＝3x2+2ax﹣4，
∵函數(shù)f（x）在x＝﹣2處取極值，∴f'（﹣2）＝0，∴a＝2，
經(jīng)檢驗，a＝2符合題意，∴f（x）＝x3+2x2﹣4x+5．
（2）由（1）知f'（x）＝3x2+4x﹣4＝（3x﹣2）（x+2），
∴x∈[﹣3，﹣2）時，f'（x）＞0；時，f'（x）＜0；時，f'（x）＞0；
∴x∈[﹣3，﹣2）時，f（x）單調(diào)遞增；時，f（x）單調(diào)遞減；時，f（x）單調(diào)遞增；
∴f（x）的最大值只可能為f（﹣2）或f（3），又f（﹣2）＝13，f（3）＝38，
∴函數(shù)f（x）在[﹣3，3]上的最大值為f（3）＝38．
題型二.已知極值、最值求參
考點1.利用二次函數(shù)根的分布
1．若函數(shù)f（x）＝x3﹣3bx+b在區(qū)間（0，1）內(nèi)有極小值，則b的取值范圍是（ ）
A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，0）
【解答】解：由題意，得f′（x）＝3x2﹣3b，
令f′（x）＝0，則x＝±，
∵函數(shù)在（，）上f′（x）＜0，函數(shù)遞減，在（，+∞）上f′（x）＞0，函數(shù)遞增
∴x時，函數(shù)取得極小值
∵函數(shù)f（x）＝x3﹣3bx+b在區(qū)間（0，1）內(nèi)有極小值，
∴01，
∴b∈（0，1）
故選：B．
2．已知函數(shù)f（x）x3ax2+x在區(qū)間（，3）上既有極大值又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（2，）D．（2，）
【解答】解：函數(shù)f（x）x3ax2+x，求導(dǎo)f′（x）＝x2﹣ax+1，
由f（x）在（，3）上既有極大值又有極小值，則f′（x）＝0在（，3）內(nèi)應(yīng)有兩個不同實數(shù)根．
，解得：2＜a，
實數(shù)a的取值范圍（2，），
故選：C．
考點2.參變分離
3．若函數(shù)f（x）x2+x+1在區(qū)間（，3）上有極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（2，）B．[2，）C．（2，）D．[2，）
【解答】解：∵函數(shù)f（x）x2+x+1，
∴f′（x）＝x2﹣ax+1，
若函數(shù)f（x）x2+x+1在區(qū)間（，3）上有極值點，
則f′（x）＝x2﹣ax+1在區(qū)間（，3）內(nèi)有零點
由x2﹣ax+1＝0可得a＝x
∵x∈（，3），
∴2≤a，
當a＝2時，函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)等于零時值只有1，可是兩邊的單調(diào)性相同，所以a不能等于2．
故選：C．
4．已知函數(shù)，若x＝2是函數(shù)f（x）的唯一極值點，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）
【解答】解：∵函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
∴f′（x）k，
∵x＝2是函數(shù)f（x）的唯一一個極值點，
∴x＝2是導(dǎo)函數(shù)f′（x）＝0的唯一根，
∴ex﹣kx2＝0在（0，+∞）無變號零點，
即k在x＞0上無變號零點，令g（x），
因為g'（x），
所以g（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在x＞2 上單調(diào)遞增，
所以g（x）的最小值為g（2），
所以必須k，
故選：A．
考點3.分類討論
5．已知函數(shù)f（x）＝ax（a+1）lnx+1在（0，1]上的最大值為3，則實數(shù)a＝ e ．
【解答】解：f′（x）＝a，
令g（x）＝（ax﹣1）（x﹣1），x∈（0，1），
①當a≤1時，ax﹣1≤x﹣1＜0，
∴g（x）＞0，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）max＝f（1）＝a，即a＝3（舍去），
②當a＞1時，x∈（0，），g（x）＞0，f′（x）＞0；x∈（，1）時，g（x）＜0，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減，
∴f（x）max＝f（），2﹣a﹣（a+1）ln3，即a﹣（a+1）lna+1＝0，即a﹣（a+1）lna+1＝0，
令h（x）＝x﹣（x+1）lnx+1（x＞1），h′（x）＝﹣lnx0，
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，且h（e）＝0，
∴a＝e，
故答案為：e．
6．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)f（x）的極值點；
（2）若f（x）極大值大于1，求a的取值范圍．
【解答】解：
（1）①a≤0時，f（x）在單減，單增，極小值點為
②時，f（x）在（0，a）單增，單減，單增，極小值點為，極大值點為x＝a
③時，f（x）在（0，+∞）單增，無極值點．
④時，f（x）在單增，單減，（a，+∞）單增，極小值點為x＝a，極大值點為
（2）由（1），a≤0和時，無極大值，不成立．
當時，極大值，解得，∵，∴．
當時，極大值，
得，令t＝a2，則，在t＝4取得極大值g（4）＞0，且g（1）＝0，
而，而g（t）在（1，e）單增，∴g（t）＞0解為（1，e），
則，
綜上．
7．已知函數(shù)f（x）＝lnx（a∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為，求a的值．
【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x），x＞0，
當a≥0時，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）遞增；
當a＜0時，由f′（x）＞0可得x＞﹣a，則f（x）在（﹣a，+∞）遞增；
（2）由f（x）在[1，e]上的最小值可能為端點處的函數(shù)值或極值，
若f（1）＝﹣a為最小值，可得﹣a，即a，
由（1）可得f（x）在[1，）遞減，在（，e]遞增，
故f（x）在x處取得最小值，故不成立；
若f（e）＝1為最小值，可得1，即ae，
由（1）可得f（x）在[1，e）遞減，在（e，e]遞增，
故f（x）在xe處取得最小值，故不成立；
若f（﹣a）＝ln（﹣a）+1為最小值，可得ln（﹣a）+1，即a，
由（1）可得f（x）在[1，）遞減，在（，e]遞增，
故f（x）在x處取得最小值，故成立．
則a．
考點4.初探隱零點——設(shè)而不求，虛設(shè)零點
8．（2013·湖北）已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）＝x（lnx﹣ax）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2）（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵f′（x）＝lnx+1﹣2ax，（x＞0）
令f′（x）＝0，由題意可得lnx＝2ax﹣1有兩個解x1，x2?函數(shù)g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有兩個零點?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．
．
①當a≤0時，g′（x）＞0，f′（x）單調(diào)遞增，因此g（x）＝f′（x）至多有一個零點，不符合題意，應(yīng)舍去．
②當a＞0時，令g′（x）＝0，解得x，
∵x，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴x是函數(shù)g（x）的極大值點，則0，即0，
∴l(xiāng)n（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．
故當0＜a時，g（x）＝0有兩個根x1，x2，且x1x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，
∴x1＜1x2，從而可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，x1）上遞減，在區(qū)間（x1，x2）上遞增，在區(qū)間（x2，+∞）上遞減．
∴f（x1）＜f（1）＝﹣a＜0，f（x2）＞f（1）＝﹣a．
故選：D．
9．已知f（x）＝（x﹣1）2+alnx在上恰有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：f（x）＝（x﹣1）2+alnx，則f′（x）＝2x﹣2（x＞0），
令f′（x）＝0，得2x2﹣2x+a＝0，
由題意知2x2﹣2x+a＝0在（，+∞）上有2個根x1，x2，
故，解得：a，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，
由求根公式得x1，2，
∵x1＜x2，∴x2，
∵a，∴x2，
則
＝x2+2（1﹣x2）ln（1﹣x2）＝x2﹣1+2（1﹣x2）ln（1﹣x2）+1（x2），
令t＝1﹣x2，則t，
設(shè)g（t）＝﹣t+2tlnt+1（t），則g′（t）＝1+2lnt，
易知g′（t）在（，）上單調(diào)遞增，
故g′（t）＝1+2lnt＜1﹣2ln2＝ln0，
故當t時，函數(shù)g（t）為減函數(shù)，
∴g（t）2ln1ln2，且g（t）2×lnln1ln2，
∴∈（ln2，ln2）．
故選：D．
10．（2017·全國2）已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（1）求a；
（2）證明：f（x）存在唯一的極大值點x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．
【解答】解：（1）因為f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），
則f（x）≥0等價于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，求導(dǎo)可知h′（x）＝a．
則當a≤0時h′（x）＜0，即y＝h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
所以當x0＞1時，h（x0）＜h（1）＝0，矛盾，故a＞0．
因為當0＜x時h′（x）＜0、當x時h′（x）＞0，
所以h（x）min＝h（），
又因為h（1）＝a﹣a﹣ln1＝0，
所以1，解得a＝1；
另解：因為f（1）＝0，所以f（x）≥0等價于f（x）在x＞0時的最小值為f（1），
所以等價于f（x）在x＝1處是極小值，
所以解得a＝1；
（2）由（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，
令f′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，記t（x）＝2x﹣2﹣lnx，則t′（x）＝2，
令t′（x）＝0，解得x，
所以t（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，
所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，又t（）0，所以t（x）在（0，）上存在唯一零點，
所以t（x）＝0有解，即f′（x）＝0存在兩根x0，x2，
且不妨設(shè)f′（x）在（0，x0）上為正、在（x0，x2）上為負、在（x2，+∞）上為正，
所以f（x）必存在唯一極大值點x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，
所以f（x0）x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2x0，
由x0可知f（x0）＜（x0）max；
由f′（）＜0可知x0，
所以f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，）上單調(diào)遞減，
所以f（x0）＞f（）；
綜上所述，f（x）存在唯一的極大值點x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．
課后作業(yè).極值、最值
1．若函數(shù)f（x）＝（x2+ax+3）ex在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，﹣3]
【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝（2x+a）ex+（x2+ax+3）ex＝[x2+（a+2）x+a+3]ex，
若函數(shù)f（x）＝（x2+ax+3）ex在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個極值點，
等價為f′（x）＝0在[0，+∞）上只要一個變號根，
即f′（0）＜0，即可此時a+3＜0，得a＜﹣3，
當a＝﹣3時，f′（x）＝（x2﹣x）ex，
由f（x）＝0得x＝0或x＝1，即x＝1是函數(shù)的一個極值點，滿足條件，
綜上a≤﹣3，
即實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣3]，
故選：D．
2．已知函數(shù)有三個極值點，則a的取值范圍是（ ）
A．（0，e）B．C．（e，+∞）D．
【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝ex+xex﹣ax2﹣ax，
若函數(shù)有三個極值點，
等價為f′（x）＝ex+xex﹣ax2﹣ax＝0有三個不同的實根，
即（1+x）ex﹣ax（x+1）＝0，
即（x+1）（ex﹣ax）＝0，
則x＝﹣1，則ex﹣ax＝0，有兩個不等于﹣1的根，
則a，
設(shè)h（x），
則h′（x），
則由h′（x）＞0得x＞1，由h′（x）＜0得x＜1且x≠0，
則當x＝1時，h（x）取得極小值h（1）＝e，
當x＜0時，h（x）＜0，
作出函數(shù)h（x），的圖象如圖，
要使a有兩個不同的根，
則滿足a＞e，
即實數(shù)a的取值范圍是（e，+∞），
故選：C．
3．已知f（x）＝ex，g（x）＝lnx，若f（t）＝g（s），則當s﹣t取得最小值時，f（t）所在區(qū)間是（ ）
A．（ln2，1）B．（，ln2）C．（，）D．（，）
【解答】解：令f（t）＝g（s）＝a，即et＝lns＝a＞0，
∴t＝lna，s＝ea，
∴s﹣t＝ea﹣lna，（a＞0），
令h（a）＝ea﹣lna，
h′（a）＝ea
∵y＝ea遞增，y遞減，
故存在唯一a＝a0使得h′（a）＝0，
0＜a＜a0時，ea，h′（a）＜0，
a＞a0時，ea，h′（a）＞0，
∴h（a）min＝h（a0），
即s﹣t取最小值時，f（t）＝a＝a0，
由零點存在定理驗證0的根的范圍：
a0時，0，
a0＝ln2時，0，
故a0∈（，ln2），
故選：B．
4．已知函數(shù)f（x）＝lnx+x2﹣ax+a（a＞0）有兩個極值點x1、x2（x1＜x2），則f（x1）+f（x2）的最大值為（ ）
A．﹣1﹣ln2B．1﹣ln2C．2﹣ln2D．3﹣ln2
【解答】解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）2x﹣a，
由題意可知2x2﹣ax+1＝0在（0，+∞）上有兩個不同的解x1，x2，
所以x1+x2，x1x2，且，解得a＞2，
所以f（x1）+f（x2）＝lnx1+x12﹣ax1+a+lnx2+x22﹣ax2+a，
＝ln（x1x2）+x12+x22﹣a（x1+x2）+2a2a﹣ln2﹣1（a﹣4）2+3﹣ln2≤3﹣ln2，
當a＝4時，等號成立，
故f（x1）+f（x2）的最大值為3﹣ln2．
故選：D．
5．已知函數(shù)，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）的極值大于0？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）
①當a＝0時，f′（x），∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當a≠0時，令f′（x）＝0得ax2+x+1＝0，△＝1﹣4a．
（?。┊敗鳌?，即時，f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
（ⅱ）當△＞0，即時，方程ax2+x+1＝0的兩個實根分別為 ，．
若，則x1＜0，x2＜0，此時，當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增若a＜0，則x1＞0，x2＜0，
此時，當x∈（0，x1）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當x∈（x1，+∞）時，f′（x）＜0f（x）單調(diào)遞減，
綜上，當a＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當a≥0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
（2）：由（1）得當a≥0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）無極值；
當a＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
則f（x）有極大值，其值為，其中．
而，
∴，
設(shè)函數(shù)h（x）＝lnx，x＞0，則h′（x）0，
則h（x）＝lnx在（0，+∞）上為增函數(shù)．
又h（1）＝0，故h（x）＞0等價于x＞1．
因而0等價于x1＞1．
即在a＜0時，方程ax2+x+1＝0的大根大于1，
設(shè)?（x）＝ax2+x+1，由于?（x）的圖象是開口向下的拋物線，且經(jīng)過點（0，1），對稱軸，則只需?（1）＞0，即a+2＞0
解得a＞﹣2，而a＜0，
故實數(shù)a的取值范圍為（﹣2，0）．

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